基于蒙哥馬利域的ECC算法的優化

◆陳曼

基于蒙哥馬利域的ECC算法的優化

◆陳曼

（山東大學數學學院 山東 250013）

由于現代社會通訊技術的發展，使得消息的傳遞更加方便，但同時伴隨著消息被竊聽，泄露，篡改的危險。為了安全的傳遞消息，許多加密算法隨即被提出。本文主要討論基于離散對數問題的橢圓曲線加密方案，通過結合幾何與代數的思想來討論橢圓曲線的運算規律，提出基于蒙哥馬利域設計運行橢圓曲線加密解密程序，其相對于一般數域程序結果大概快了10倍。

橢圓曲線；蒙哥馬利算法；加密算法

1 引言

為了解決上述難題，Neal Koblitz 和Victor Miller 兩人在1985年分別獨立地提出了橢圓曲線加密算法。橢圓曲線加密方案相比于RSA加密算法，它運用了較高深的數學知識——橢圓曲線離散對數問題，這能夠減少對密鑰長度的要求，即橢圓曲線安全傳輸消息允許使用較短長度的密鑰。橢圓曲線密碼由于使用更短長度的密鑰，具有更小存儲容量，更慢帶寬的優勢，能夠廣泛應用在線上支付，手機智能卡，無線傳遞信息。經過幾十年的發展，橢圓曲線加密算法被各大國際組織機構廣泛的使用，許多國際組織如ANSI、IEEE、ISO將橢圓曲線標準化。到目前為止，橢圓曲線數字簽名機制ECDSA已成為經濟貿易傳輸信息的加密標準。因此，針對橢圓曲線密碼研究有效的優化算法，具有重要的實際用處和發展前景。

2 橢圓曲線密碼儲備知識

2.1 基本概念

稱為點乘運算，或為標量積。

2.2 橢圓曲線

設橢圓曲線是如下方程

可以推出橢圓曲線是齊次方程，且滿足

圖1 橢圓曲線運算法則

并且

2.4 橢圓曲線加密系統

（1）例如Alice選擇一條橢圓曲線，選擇橢圓曲線上p（3.10）作為橢圓曲線上的基點，且基點的階數是28。

（4）Bob需要計算

（5）Bob再將消息傳遞給Alice，因此Alice根據

人活著，并不會一切順利如意，但如果我們都有小草那種頑強拼搏，無私奉獻的精神，那我們的祖國必將充滿無限的生機與活力。

能夠得到M的值。

3 基于蒙哥馬利域上ECC算法的實現

橢圓曲線加密系統主要在于倍點運算。蒙哥馬利算法[4]利用完全剩余系的性質，在計時避免了的除法運算，能夠有效地提高模乘運算的速度。Montgomery算法的基本思想是：計算；設，，；，通常取；是r模n的逆，即；。因為，所以mod r、都可以通過簡單的移位操作實現，從而消去了最復雜的除法運算。

圖3 流程圖

計算

算法：

Step 1

具備烘干功能的洗烘一體機，已經在大眾消費者當中形成一部分固定需求，并引領出一種新興的生活方式，在線上線下均呈現出高速增長。中怡康監測數據顯示，2018年1-9月，洗烘一體機線上零售額同比增長41.5%，線下同比增長49.2%。

Step 2

Step 3 if then

return

else return

基于網絡爬蟲的調查數據一般都會存在不可避免的“硬傷”。網絡信息繁多而雜亂，有效信息占比過少而導致調查數據存在較大偏誤，本次探索性調查存在以下幾個缺陷：(1)有效招聘信息比例較低。大量招聘信息由于不規范或不完整，而被視為無效信息剔除。本文通過網絡爬蟲共采集了招聘信息17 346條，經過數據清理后的有效招聘只有6 826條，有效率不到四成。(2)無法獲取珠三角企業通過其他途徑發布的招聘信息。如企業委托獵頭公司引進高端人才或者在國外網站發布的招聘信息，都無法獲取。(3) “隱形”招聘需求無法獲取。由于國內外籍人才數量太少，大多特定領域的外籍人才幾乎不可能在國內找到，從而沒有發布招聘信息。

藝術家每次創作出的女性題材的畫面，應該充滿視覺的動力、極強手感性的大筆觸與大色域，創造出很有視覺的“摩擦力”，發出個性化的特殊藝術語言。當創作畫面時可用不多的書寫性線條或色塊創作出“近似形象”，而不需要達到很細微。這樣可使色塊或線條成為產生特定效果的刺激物，成為耐人尋味的主體，也即轉化成為畫中事、畫中物，這些色彩和線條組合即為“視覺力”的強有力場。

大數bitmap的實現：在C語言中，我們通過本來利用一般的思想的是一個數組位存一位數，存儲1024bit的大數需要初始化數組，但是可以利用更節省空間的方法。C語言unsigned int 的范圍是，一個數組位就可以存32bit（1個int = 4Byte.s = 4*8bit = 32 bit），1024比特用初始化數組可以儲存。在本程序中，我用a[0]代表實際數組的長度，因此1024比特位的大數需要用數組存儲。

橢圓曲線參數的方程：

q：B640000002A3A6F1D603AB4FF58EC74521F2934B1A7AEEDBE56F9B27E351457D

橢圓曲線上的點

：93DE051D62BF718FF5ED0704487D01D6E1E4086909DC3280E8C4E4817C66DDDD

：21FE8DDA4F21E607631065125C395BBC1C1C00CBFA6024350C464CD70A3EA616

：02E65B0762D042F51F0D23542B13ED8CFA2E9A0E7206361E013A283905E31F

計算所得。

比較直接用除法做運算以及選擇蒙哥馬利域的運算結果（圖4、圖5）。

圖4 所用時間

圖5 實驗結果比較圖

實驗結果表明基于蒙哥馬利域的橢圓曲線算法比一般數域下的速度快了10倍左右，其主要原因是一般除法太耗時間，而蒙哥馬利算法通過位移就可以實現除法。

4 結束語

橢圓曲線是具有深厚歷史，結合代數與幾何知識的加密方案。本文簡單介紹橢圓曲線的方程，運算性質，加密算法以及數字簽名。本文利用數組bitmap思想實現大數存儲，實現基于蒙哥馬利域下的橢圓曲線算法。

參考文獻：

[1]張方國.橢圓曲線在密碼中的應用：過去，現在，將來…[J].山東大學學報（理學版），2013，48（05）：1-3.

[2]陳恭亮.信息安全數學基礎[M].北京：清華大學出版社，2004：109-204.

[3]Andres.Elliptic curves and their application to crytography.Germany：University Augsburg，2001：11.

[4]賀令亞.蒙哥馬利算法在RSA中的應用研究[J].現代計算機（專業版），2014（29）：7-9.