感悟數學思想　遵循學習規律

吳波

數學思想是數學教學的精髓，它讓學生在掌握知識與技能的過程中不斷去“悟”，在知識的形成過程中不斷去體會。隨著數學核心素養的提出，學生學習數學，除了要掌握基本的數學知識和技能之外，最重要的是感悟、體會數學中所蘊含的基本數學思想。數學思想是可以支撐學生持續學習的動力。課堂中，我們要通過引導學生感悟數學基本思想，讓教學更符合學習規律。可以通過以下三個方面達成這一目標。

一、反復理解，螺旋上升

在新課程背景下，課程核心內容的設計、各知識點之間都存在著聯系。一些重要的數學思想和數學概念都體現了逐級遞進、螺旋上升的原則。課堂教學中貫穿著兩條主線：一條為由基本概念、基本公式等組成的數學知識的明線，另一條為隱藏在數學各個知識中的數學思想的暗線。

北師版《義務教育教科書·數學》五年級上冊第四單元“多邊形的面積”和第六單元“組合圖形的面積”這兩部分內容，教材螺旋上升式的編排不僅體現在知識點上，更體現在一些重要的數學思想上。作為教材四大組成部分之一的空間與圖形這一版塊，在全部的12冊教材中，冊冊有內容。我發現，關于這部分知識雖然安排得頻繁，但每冊的教學內容都很清楚，課與課之間都是相互聯系的。因此，在教給學生知識的同時，還應該滲透給學生一種連續的數學思想。如多邊形的面積是組合圖形面積的基礎，多邊形面積的探索方法——割補法，也是組合圖形解決問題最重要的方法。從這個角度上看，多邊形面積的教學，應該是這兩個教學單元的核心。“多邊形的面積”這一教學單元的知識前延為平行四邊形、三角形和梯形的特征，長方形面積、正方形面積的計算。學習多邊形的面積，學生要掌握多邊形面積的計算方法，并利用所學知識解決生活中的實際問題。本單元所對應的后續知識為探索其他平面圖形的面積。第六單元“組合圖形的面積”除了利用轉化思想，用割補法解決問題外，還要用估測、數方格等方法解決不規則圖形的面積問題。已有的經驗對學生來說是非常重要的，教學時要恰當地選取生活中的相關實例，激發已有的感性認知，通過觀察實驗，呈現出知識本身的形成過程，結合已有生活經驗和已掌握的舊知來展開課堂教學，促進學生對所學知識真正理解和掌握。

課堂上，學生在探索圖形面積的活動時，要經歷和體驗“猜想—驗證—建模—感受”的思維全過程。在教學“平行四邊形面積”一課時，教學重點應為猜想面積與什么有關。需要學生通過剪、拼進行驗證：平行四邊形的面積等于長乘寬。教學中，學生通過數格子的方法知道了平行四邊形的面積是多少，再借助平行四邊形的底跟高的數據大膽地猜測出面積可能與它們有關。這樣的猜想是否正確呢？可以沿平行四邊形的任意一條高剪開，把平行四邊形分割成兩部分，再拼成一個長方形。平行四邊形的底相當于長方形的長，平行四邊形的高相當于長方形的寬。得到結論：平行四邊形的面積等于底乘高。

這樣的課堂教學不再把學生當作被動接受知識的“容器”，學習知識應付考試也不再是追求的唯一目標。課堂中的重點在豐富學生的直接經驗上，學生結伴交流，可以發表自已的見解，可以動手折一折、畫一畫，這樣的參與既用到了腦，又用到了手、口、眼、耳，調動了所有感官的參與。

二、數形結合，抓住本源

數形結合是重要的數學思想，算法和算理都是抽象的知識，而小學生則是以形象思維為主，要想讓他們深刻理解數學知識背后蘊含的道理，就要把抽象的知識形象化，這就要運用數形結合的思想。形象思維和抽象思維是相輔相成的關系。形象思維是抽象思維的基礎，抽象思維是形象思維的提升。把它們真正做到有機聯系在一起的，就是數形結合的思想。此外，數形結合也證明了代數和幾何其實是一個有機的整體。其實，“數”與“形”本身就是一個有機的整體，比如楊輝三角，就是數與形的完美結合。到了函數部分，這種結合體現得更加明顯。所以中學階段，又把代數和幾何整合成一門學科，讓它們有機融合。與之相反，有的學生遇到難題寧可算不出來，也不愿意畫畫圖，這就是沒建立起數與形的聯系。所以小學階段，也要在教學中體現出這種思想，而不要讓學生覺得數是數，形是形，彼此一點關系也沒有。分數作為“三數”之一，它的地位是很重要的。相對于整數和小數，分數是非常抽象的，在平時的教學中我們常用形象的圖形來幫助學生理解分數的意義及分數的計算。

北師版《義務教育教科書·數學》五年級下冊第三單元“分數乘法（三）”，這單元的主要內容是理解分數乘分數的意義，探索分數乘分數的計算方法。這是整個分數乘法中的重點和難點。分數乘法是數的運算，屬于抽象知識，而五年級的學生以形象思維為主。把抽象知識形象直觀地顯示出來，讓學生接受是一大難點。教學設計中我很好地運用了數形結合的思想，在課堂上采用了大量的直觀圖形來闡釋算法背后的算理。

師：把這張神奇的紙條對折，取一半，剩下的部分占整張紙條的多少？

課堂中所教的算法和算理，都是抽象的知識，要讓學生深刻理解數學背后的道理，就要把抽象的知識形象化，這就要運用數形結合的方法。本節課如果只是抽象地講“分子乘分子，分母乘分母”的話，學生只能會單純地運用這種方法去做題，而不明白為什么要分母相乘，分子相乘，弄不好還會與分數加減法混淆。用數形結合的方法，則能讓他們直觀地感受到，分母相乘就是求平均分成多少份，分子相乘就是取了多少份。明白算理后，每次計算，他們的頭腦中都會呈現直觀圖形，這才是真正的理解，而且不會產生混淆。從這個意義上說，數形結合就是在抽象知識和形象思維之間搭起的一座橋梁。建立數形結合的思想，對學生數學核心素養的形成和發展是極為重要的。

三、知識遷移，拓展思維

教育的目的之一應該是讓學生習得一種思維方式，無論將來從事什么工作，都可能會用到從學校學到的思維去解決和處理生活中的問題。在平時的教學中，學習新知識時要引導學生將已有的學習經驗進行有效地遷移，通過拆分、轉化，變成以前學過的知識去解決。而轉化的思想也是數學教學中最常用到的數學思想。

北師版《義務教育教科書·數學》五年級下冊第四單元“長方體的體積”這一課中，就可以如下進行知識遷移，拓展思維。

師：今天我給大家請來了一位學習小助手，棱長是1dm，體積呢？

生：1dm3。

師：這個1立方分米就是我們之前認識的體積單位，它有什么用呢？

生：可以知道組合圖形的體積。

師：通過數一數有多少個體積單位就知道了圖形的體積，我們來試一試，這個長方形也是由1立方分米搭成的，它的體積是多少？

生：60立方分米。

師：為什么？

生：每行有5個立方體，有4行，那么這一層就有20個，一共有3層，一共就有60個1立方分米，所以它的體積是60立方分米。

生：我們是用5×4×3知道了這個長方體一共還有60個1立方分米的小立方體，所以它的體積就是60立方分米。

師：想一想算式中的5、4、3分別表示什么？

生：5表示一行有5個，4表示有這樣的4行，3表示有這樣的3層，我們用每行5個乘4行乘3層就知道了含有多少個體積單位，也就是體積。

師：這個長方體的體積是多少？說起你的理由。

生：它的體積是400立方分米，因為它的長是10分米，寬是8分米，高是5分米，也就說明它一行可以擺10個，可以有8行，有這樣的5層。

師：算式中的10、8、5分別表示什么？

生：10表示長，也表示一行有10個。8表示寬，也表示有這樣的8行，5表示高，也表示有這樣的5層。

師：我們發現知道長方體的長、寬、高就意味著知道了每行擺幾個，擺幾行，擺幾層，就可以知道一共有多少個體積單位，也就知道了長方體的體積。

師：看這條線段有多長？

生：8分米。

師：為什么？

生：因為它里面還有8個1分米的長度單位。

以知識為本的課堂，重視的是教育的結果，有時候會缺少教育智慧。數學思想的形成，要在知識生成的過程中來完成，學生只有在探究知識的過程中才能體會到數學思想。如轉化的思想多用于借助舊知解決新知的過程中，能夠幫助學生通過有效地遷移完成對新知的探索，得出結論。學生只有經歷發現問題—提出問題—分析問題—解決問題的全過程，才能深刻感悟到數學思想的價值。數學中所有的概念、定義、公理、定理都需要經歷“猜想—實驗—觀察—分析—歸納—總結”的探究過程，如果學生只是掌握了最后一步結論，沒有經歷結論形成的過程，是體會不到數學思想的價值的。

本節課的價值在于引導學生利用已有的知識和經驗，對新知進行建構，對發展學生的數學思維起到了重要作用。在教學中，學生經歷了長方體的體積等于長乘寬乘高的探究全過程，運用轉化的思想解決了和長方體相關的實際問題。教育是為學生服務的，一切教學方法都應該從學生這個根本出發，因地制宜地去傳授更好的方法和知識。對于學生思維模式和數學思想的培養，是需要從每一次的課堂教學中去不斷升華的，教師要不斷滲透、學生要充分感悟數學思想，這樣才能讓數學教學更符合學習規律。

（責任編輯：楊強）