探究動(dòng)量定理解決雙棒模型問(wèn)題

李衡

摘 ?要：動(dòng)量定理是高中物理題中解決問(wèn)題的主要方法和手段，學(xué)生需要嚴(yán)格牢記課上所講的重點(diǎn)內(nèi)容，運(yùn)用動(dòng)量定理靈活解決物理問(wèn)題。本文從動(dòng)量定理教材及分析展開(kāi)，探究了用動(dòng)量定理如何解決物理典型問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高中物理;動(dòng)量定理;解決問(wèn)題

一、動(dòng)量定理教材及學(xué)情分析

（一）教材分析

在物理新人教版的選修3-5教材中，有講解“動(dòng)量與動(dòng)量定理”的主要內(nèi)容。教材中，對(duì)于動(dòng)量知識(shí)這一節(jié)知識(shí)點(diǎn)的講解，通過(guò)前一節(jié)實(shí)驗(yàn)“探究碰撞中的不變量”為主題做為學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容的鋪墊，進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的引入，學(xué)習(xí)者提出了動(dòng)量的概念以及公式，再通過(guò)物理科學(xué)歷史和動(dòng)量的實(shí)驗(yàn)例題方法來(lái)進(jìn)一步加深了學(xué)生在動(dòng)量變化解決問(wèn)題的理解;引導(dǎo)他們推導(dǎo)其基本表達(dá)式，再通過(guò)“微元法”將動(dòng)量定理的應(yīng)用范圍由恒力轉(zhuǎn)移到非恒力，運(yùn)用動(dòng)量定理結(jié)合微元法處理的典型問(wèn)題，旨在幫助學(xué)生建立模型，提升物理核心素養(yǎng)，篇末介紹生活實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)動(dòng)量定理的實(shí)際應(yīng)用。

這節(jié)教材直接描述了“動(dòng)量”這一物理量，并沒(méi)有建立具體的情境或模型去激發(fā)學(xué)習(xí)者的思索，導(dǎo)致他們不僅沒(méi)有能夠徹底地認(rèn)識(shí)和運(yùn)用這一概念來(lái)解決相關(guān)的物理問(wèn)題，也起不到啟發(fā)和提高學(xué)生的科學(xué)思考能力的作用;教材在推導(dǎo)出動(dòng)量定理基本表達(dá)式之后缺少驗(yàn)證性的物理實(shí)驗(yàn)，不利于學(xué)生科學(xué)探究能力的培養(yǎng);學(xué)習(xí)動(dòng)量定理后，可引導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)量定理與已掌握的動(dòng)能定理進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，既能復(fù)習(xí)鞏固動(dòng)能定理的知識(shí)，也能理解兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在掌握了上節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容后，已經(jīng)能列舉出許多種關(guān)于物體碰撞的模型，還能夠掌握彈性碰撞和非彈性碰撞的異同點(diǎn)，也學(xué)會(huì)了動(dòng)量及其矢量性的相關(guān)知識(shí)。但學(xué)生對(duì)于動(dòng)量基本概念的理解和動(dòng)量定理的應(yīng)用方面存在一定困難，例如對(duì)物體進(jìn)行受力分析時(shí)，因漏掉某個(gè)力而導(dǎo)致分析物體合外力沖量出現(xiàn)錯(cuò)誤等。高二的學(xué)生已具備一定的抽象思維和邏輯思維，教師作為教學(xué)過(guò)程的主導(dǎo)者，需要去引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變認(rèn)知沖突，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)正確的理解。

二、動(dòng)量定理與電磁感應(yīng)結(jié)合初探

動(dòng)量定理內(nèi)容是物體所受外力總沖量等于動(dòng)量改變量，即 。沖量是力在時(shí)間上的累積，對(duì)于變力，如果獲知對(duì)某段時(shí)間 的平均作用力為 ，那么這個(gè)力的沖量 。由于部分導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致電磁感應(yīng)現(xiàn)象的發(fā)生，這時(shí)導(dǎo)體所受安培力為 ，且為變力，即 （ 為電流對(duì)時(shí)間的平均值）。那么，此安培力的沖量 。

依據(jù)電流的定義，公式 的主要研究對(duì)象應(yīng)該是通電導(dǎo)體的某個(gè)截面上的電荷量，且這個(gè)電流所要求的結(jié)果就是，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量，也就是對(duì)時(shí)間的平均值，變形后可以得 。這個(gè)電量表達(dá)式具有一般性，因此，不管流過(guò)導(dǎo)體的電流是否不變，只要代入這段時(shí)間內(nèi)電流的平均值，便可求出電荷量。

對(duì)某一由電磁感應(yīng)形成的電流回路來(lái)說(shuō)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，所求感生的電動(dòng)勢(shì)是為其電動(dòng)勢(shì)的平均值，再由 （為回路中的總電阻）即我們可以計(jì)算得到 ，繼而計(jì)算 。那么，回路中某一個(gè)通電半導(dǎo)體所承受的是安培力 在內(nèi)部的沖量 。如果 不發(fā)生改變，這時(shí)我們可以求出 ， 是一個(gè)導(dǎo)體移動(dòng)的距離。

下圖的圖1可以清楚的表示出以上的關(guān)系，通過(guò)下圖圖1的使用，計(jì)算題在做作答時(shí)，學(xué)生需要遵循循序漸進(jìn)的原則進(jìn)行公式的選取，同時(shí)應(yīng)該注意回答問(wèn)題的規(guī)范;于選擇題而言，應(yīng)快速篩選出一個(gè)最佳的公式來(lái)進(jìn)行定性分析或者是定量計(jì)算。

三、兩種雙棒模型建構(gòu)

（一）等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型

如圖1所示，足夠長(zhǎng)的水平光滑金屬導(dǎo)軌，分布著方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 。已知棒1、2質(zhì)量均為 ，長(zhǎng)度均為 ，電阻均為 ，其余部分電阻不計(jì);棒1以速度 向右運(yùn)動(dòng)，棒2無(wú)初速度;除勻強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)棒的作用外，等長(zhǎng)雙棒在水平方向無(wú)其他力作用。

1.運(yùn)動(dòng)分析

由于棒1切斷磁感應(yīng)線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，閉合電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。感生電流的方向可由右手定則判斷，雙桿上的安培力方向可由左手定則確定。由分析可知，棒1做變減速運(yùn)動(dòng)，棒2做變加速運(yùn)動(dòng)。雙桿運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的 圖像如圖2所示。

2.電流分析

棒2在安培力作用下向右運(yùn)動(dòng)也產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)勢(shì)與棒1產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)相反。如果棒1和棒2在某一時(shí)刻的移動(dòng)速度為 和 。回路電流由閉合電路的歐姆定律可求，回路電流大小 。可以看出，隨著棒1速度的 減小，棒2速度 增大，因此環(huán)路電流減小。當(dāng)二者速度相等，雙棒達(dá)到相對(duì)靜止，達(dá)到了相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，電路中此時(shí)電流為零，電路中的磁通保持不變。若為不等長(zhǎng)雙棒又該如何分析？本文后面會(huì)繼續(xù)分析。

3.動(dòng)量分析

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，雙棒的方向保持水平，且并無(wú)其它外力作用，由于兩棒等長(zhǎng)，我們可以推斷出其在水平方向上所受安培力合力為零，因此根據(jù)動(dòng)量守恒有 ，即 。從雙棒初態(tài)到穩(wěn)態(tài)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)棒1，由動(dòng)量定理有 ，式中 為時(shí)間間隔 內(nèi)的平均電流。因此，在回路橫截面的電荷量為 。

若 內(nèi)，雙棒平均速度分別為 、 ，則電流 ，有 。解得 ，此即雙棒發(fā)生的相對(duì)位移大小。

說(shuō)明：①若對(duì)棒2建立動(dòng)量定理方程，所得結(jié)果相同。② 的分析還有另一條思路。由法拉第電磁感應(yīng)定律有; 電流 ，電荷量 。解得 。

4.能量分析

在整個(gè)回路中，電流發(fā)熱。由能量守恒定律可以推算得出全過(guò)程雙棒系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱，即 。

（二）非等長(zhǎng)雙棒運(yùn)動(dòng)模型

如圖，光滑且足夠長(zhǎng)水平導(dǎo)軌置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)為 ，右側(cè)導(dǎo)軌間距是左側(cè)導(dǎo)軌間距2倍，導(dǎo)軌均足夠長(zhǎng)。質(zhì)量 的導(dǎo)體棒 和質(zhì)量 的導(dǎo)體棒 均垂直導(dǎo)軌放置，均處于靜止?fàn)顟B(tài)。 棒電阻為 ， 棒電阻為 ， 棒一直在左側(cè)間距為 的導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)， 棒則一直在右側(cè)間距為 的導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)給 一水平向右的初速度 。

1.運(yùn)動(dòng)分析

由于棒 切斷磁感應(yīng)線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，閉合電路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。感生電流的方向可由右手定則判斷，雙桿上的安培力方向可由左手定則確定，雙桿上的安培力方向可由左手定則確定。由分析可知， 棒作減速運(yùn)動(dòng)，棒 作加速運(yùn)動(dòng)。在這里尤其要注意的是，兩棒長(zhǎng)度不同，在二者速度想等時(shí)，回路中仍有感應(yīng)電流，只有當(dāng) 時(shí)，感應(yīng)電流消失，此后，兩棒相對(duì)靜止做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2.電流分析

棒 在安培力作用下向右運(yùn)動(dòng)也產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)勢(shì)與棒 產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)相反。如果棒 和棒 在某一時(shí)刻的移動(dòng)速度為 和 。棒 的有效長(zhǎng)度為 ，由閉合回路的歐姆定律可得，回路電流大小 。可以看出，隨著棒 速度的 減小，棒 速度 增大，因此環(huán)路電流減小。當(dāng)二者速度滿足 ，雙棒達(dá)到相對(duì)靜止，達(dá)到了相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，電路中此時(shí)電流為零，電路中的磁通保持不變。

3.動(dòng)量分析

非等長(zhǎng)雙棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，水平方向雖無(wú)其它外力作用，但由于兩棒長(zhǎng)度不等，導(dǎo)致二者在水平方向上所受安培力不等，致使雙棒系統(tǒng)合力不為零，由此判斷這個(gè)系統(tǒng)動(dòng)量并不守恒，因此不能根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)的關(guān)系式 來(lái)求出最終速度 這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果。這和前面分析最終二者速度滿足 相矛盾。

動(dòng)量既然不守恒，因此可對(duì)兩棒分別運(yùn)用動(dòng)量定理：則對(duì)棒 有 ，而對(duì)于棒 則滿足 ，兩式聯(lián)立可得 再結(jié)合穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)二者速度關(guān)系 ，便可得到 ， 的結(jié)果。同樣，我們還可求出通過(guò)導(dǎo)棒的電荷量，以 棒為例 ，即 。

4.能量分析

最后，我們?cè)賮?lái)分析整個(gè)系統(tǒng)的能量問(wèn)題。對(duì)于整個(gè)回路來(lái)說(shuō)，初始時(shí)棒 獲得速度 ，之后感應(yīng)電流發(fā)熱，最終二者速度分別為 ，因此全過(guò)程雙棒系統(tǒng)產(chǎn)熱可由能量守恒定律求得，即?。

結(jié)束語(yǔ)：動(dòng)量定理的適用范圍很廣，其研究面廣，在解決問(wèn)題時(shí)更加簡(jiǎn)單有效的得到答案。所以物理教師應(yīng)該加深對(duì)這方面知識(shí)的了解，整理出用動(dòng)量定理解決物理問(wèn)題的典型題，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生正確學(xué)習(xí)動(dòng)量定理，加深對(duì)動(dòng)量定理知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

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