黎曼函數(shù)在數(shù)學(xué)分析反例教學(xué)中的應(yīng)用

◎陳賢峰 (上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240)

1 引 言

《數(shù)學(xué)分析》是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課程，對學(xué)生素質(zhì)的訓(xùn)練和培養(yǎng)起著十分重要的作用.但由于其內(nèi)容抽象，概念多，教學(xué)效果往往不太理想.對如何做好《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)，文獻(xiàn)[1-3]做了深入研究.筆者擔(dān)任理科數(shù)學(xué)分析、工科數(shù)學(xué)分析主講教師多年，深刻理解如何讓學(xué)生真正“懂得”數(shù)學(xué)分析，其中反例教學(xué)是一個有效的抓手，通過記住幾個特殊函數(shù)的性質(zhì)，通過實(shí)例對幾組重要數(shù)學(xué)概念進(jìn)行對比，從而實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確理解，并做到學(xué)以致用，黎曼函數(shù)是一個完美的實(shí)例.黎曼函數(shù)有著豐富的性質(zhì)[4-6],本文將對此加以歸納和拓展，通過介紹黎曼函數(shù)在《數(shù)學(xué)分析》反例教學(xué)中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)各概念之間的差異，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用相關(guān)概念.

2 黎曼函數(shù)是理解大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)研究對象不同的一個重要實(shí)例

中學(xué)階段研究的函數(shù)都是初等函數(shù)，它的性質(zhì)(奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性)及圖形都比較簡單，大學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)比較抽象，很多性質(zhì)無法直觀展現(xiàn)，比如黎曼函數(shù)R(x)：

例1設(shè)

證明:f(x)在每一個點(diǎn)x上，它的值是有限的，但不是局部有界的(即在該點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)是無界的).從而表明f(x)在R的任意子區(qū)間上是無界的.

3 黎曼函數(shù)可以加強(qiáng)理解函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系

函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)從定義上看非常簡單，但對初學(xué)者來說，容易從幾何直觀中得出一些結(jié)論，如函數(shù)一般都存在連續(xù)區(qū)間、總有可導(dǎo)點(diǎn)等等，但事實(shí)未必如此，例如，黎曼函數(shù)R(x)有無數(shù)個連續(xù)點(diǎn)(無理點(diǎn)處都連續(xù))，但不存在連續(xù)區(qū)間，同時沒有一個可導(dǎo)點(diǎn)，即處處不可導(dǎo).若將黎曼函數(shù)改造為前面的f(x)，可得到一個處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)的函數(shù).

例2證明R(x)在[0,1]上處處不可導(dǎo).

設(shè)x0∈(0,1)為無理點(diǎn)，考慮

于是

更進(jìn)一步，存在這樣一個處處連續(xù)、處處不可導(dǎo)函數(shù)的例子[7]，處處不可導(dǎo)的證明與本題類似.

4 黎曼函數(shù)可以加深理解處處取得極值函數(shù)與常值函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

極值是數(shù)學(xué)分析中很重要的概念，在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，它表示函數(shù)在一點(diǎn)附近局部最高或局部最低.學(xué)生在學(xué)習(xí)中會有一個疑問：處處取得極值函數(shù)是不是一定是常值函數(shù)？黎曼函數(shù)給出了回答.

例3黎曼函數(shù)R(x)在R上處處取得極值，在有理點(diǎn)處取得嚴(yán)格極大值，在無理點(diǎn)處取得極小值.

任取無理數(shù)x0，則對?x∈R，R(x0)=0≤R(x)，表明x0為R(x)的極小值點(diǎn).

注 可以證明：一個定義在R上的函數(shù)，如果處處取極大值或處處取極小值，它是一個常值函數(shù).

5 黎曼函數(shù)是理解不定積分與定積分聯(lián)系與區(qū)別的一個好例子

函數(shù)黎曼可積性是《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)，一般教材中都談到常見的三類可積函數(shù)：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，僅有有限個間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，結(jié)論比較直觀，函數(shù)圖形都可以想象，但可積函數(shù)類還有很多，有些圖形無法想象，比如黎曼函數(shù)，它有無窮個間斷點(diǎn)，圖形也畫不出來，但黎曼函數(shù)在[0,1]上是黎曼可積的.下面給出證明：

例4證明R(x)在[0,1]上黎曼可積.

由函數(shù)可積性充要條件[8]知，R(x)在[0,1]上定積分存在.

注1 黎曼函數(shù)在[0,1]上可積性是勒貝格定理[9]最好的應(yīng)用實(shí)例.

注3 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合是連續(xù)函數(shù)，可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合是可導(dǎo)函數(shù)，但是可積函數(shù)的復(fù)合卻未必是可積函數(shù)，下面利用黎曼函數(shù)，構(gòu)造反例如下：

令

由于f(x)在[0,1]上只有一個間斷點(diǎn)且有界，故f(x)在[0,1]上可積，注意到復(fù)合函數(shù)

由迪利克雷函數(shù)在[0,1]上不可積，知復(fù)合函數(shù)f(g(x))不是可積的.

6 結(jié) 論

《數(shù)學(xué)分析》概念抽象，通過利用黎曼函數(shù)，采用反例教學(xué)法，加強(qiáng)對概念之間的聯(lián)系與區(qū)別的分析，達(dá)到準(zhǔn)確掌握和熟練應(yīng)用的效果.