浙江省專升本高等數學考試導數應用內容分析初探

◎金友良 (麗水職業技術學院，浙江 麗水 323000)

自從2005年起，浙江省全日制專升本考試試卷開始獨立組卷，至今已有16年.通過全日制專升本統考統招，選拔優秀的高職應屆畢業生升入普通本科院校進行兩年制的繼續深造，修完所需的課程，畢業時頒發普通高等院校的本科學歷證書和學士證書，享受與普通全日制四年制本科畢業生相等的待遇,這為高職院校畢業生繼續深造提供了一條快捷之路.

為了高職院校中有志繼續深造的優秀畢業生考入自己心儀的普通本科院校，筆者作為一名高職院校的數學教師，連續多年開設全日制專升本高等數學復習輔導課程，對浙江省全日制專升本《高等數學》考試大綱進行認真的研讀，對歷年浙江省全日制專升本高等數學考題進行了系統地、有針對性地分析，從中總結考試熱點，分析解題規律，為高職畢業生專升本復習輔導打下堅實的基礎.

導數應用是利用導數來研究和討論函數及其曲線的某些幾何特征.通過對導數應用內容的學習，能使學生掌握導數應用的思想、方法和技巧，為將來的靈活應用奠定良好的基礎，提高數學應用能力，因此導數應用題目在專升本考試中占有重要的地位，題型涉及選擇、填空、計算及綜合題.由于學生的應用能力較弱，尤其是利用導數證明不等式、解決實際問題的最優化問題更弱，導致這部分內容失分較多，影響學生的考試成績.針對這一現象，本文對從2005年起至2020年浙江省全日制專升本高等數學考試中導數應用這部分題目進行了收集、歸類和分析，整理歸納出一定的規律，希望對以后有志參加全日制專升本考試的學生能起到一定的幫助.

1 精細研讀浙江省全日制專升本高等數學考試大綱，明確導數應用內容的基本要求

2 分析歷年導數應用部分的考試真題，篩查出這部分內容的考試熱點

3 典型試題解析

3.1 利用洛必達法則，求極限

注意：專升本考試中，“00”“∞0”型不定式求極限沒有出現過.

3.2 利用導數求函數的單調區間、極值、凹凸區間及拐點

這類題目基本每次考試都有考到，而且大多數題分值較高.如何解決這類題目，只要掌握求函數的單調區間和極值的五個步驟：確定定義域、求導數、求極值可疑點、單調極值判斷和答，掌握求曲線凹凸區間和拐點的五個步驟：確定定義域、求一階和二階導數、求拐點可疑點、凹凸判斷和答.

例3(2020年浙江省專升本考試計算題·23題)確定y=x2(lnx-1.5)的單調區間，并求該函數圖形的拐點及凹凸區間.

解定義域為(0,+∞)，令y′=2x(lnx-1)=0，得駐點x=e；當0e時，y′>0；所以函數y在(0,e)上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增.令y″=2lnx=0，得x=1；當01時，y″>0；所以函數y在(0,1)上是凸的，在(1,+∞)上是凹的，拐點是(1,-1.5).

3.3 利用函數的單調性，證明一些不等式

證明這類不等式，關鍵是先建立一個輔助的目標函數，確定范圍，然后利用函數的導數判斷它的單調性，最后利用單調性得出目標不等式.

3.4 利用函數的單調性和極值，討論方程的實根個數

例6(2015年浙江省專升本考試計算題·20題)討論方程lnx=ax(a>0)有幾個實根.

分析先建立目標函數，然后利用導數判斷單調性和極值，得出函數與x軸的交點個數，即實根個數.

3.5 利用最值證明一些不等式

基本思路是先構造輔助函數，確定范圍，再根據極值唯一性定理，求出輔助函數在指定范圍內的最值，最后給出不等式的證明.

3.6 最值的實際應用題

例8(2019年浙江省專升本考試綜合題·25題)假設某公司生產某產品x千件的總成本是c(x)=2x3-12x2+30x+21(萬元)，售出該產品x千件的收入是r(x)=60x(萬元)，為了使公司取得最大利潤，問公司應生產多少千件產品？

分析這是最優化問題，解決這類問題關鍵要掌握五個步驟：設、列目標函數及確定范圍、求極值可疑點、判斷及答.

解設利潤函數為f(x)，則f(x)=-2x3+12x2+30x-21(x≥0)，令f′(x)=-6x2+24x+30=0，得唯一極值可疑點x=5，又f″(5)=-36<0，所以x=5是最大點.

答(略).

3.7 最值的應用與定積分應用的綜合題

例9(2006年浙江省專升本考試計算題·10題)當a為何值時，拋物線y=x2與三條直線x=a，x=a+1，y=0所圍成的圖形面積最小，求將此圖形繞x軸旋轉一周所得到的幾何體的體積.

4 結 語

專升本高等數學考試中的導數應用內容占整個考試題的分量還是比較重的，涉及各種題型，因此對考生來說首先要夯實這部分的基礎，掌握各導數應用的方法或步驟，比如求單調區間和極值的五個步驟，求凹凸區間和拐點的五個步驟，解決最優化問題的五個步驟，證明不等式的關鍵是建立輔助目標函數，對最值與定積分應用的綜合題，要掌握兩方面的解題步驟等，然后再適當復習，就能很好地解決這部分內容的題目了.