冪函數的教學設計研究
——基于教材比較的視角

◎彭小烜 王良偉 (重慶三峽學院數學與統計學院,重慶 404100)

作為基本初等函數之一，冪函數是高中數學學習中應用較為廣泛的一類函數，也是后面探究學習指數函數、對數函數的基礎.在冪函數的學習和研究過程中，蘊含著研究一類函數的基本內容.從研究函數的定義到研究函數的表示，再到研究函數的圖像與性質，最后到應用函數解決實際問題，即定義、表示——圖像與性質——應用的基本思路.[1]下面本文將對冪函數的內容進行新舊教材的對比分析，并以教材為依據，設計冪函數的教學過程.

一、冪函數的新舊教材比較

(一)冪函數在兩本教材中的位置不同

2019年人教A版新教材將“冪函數”放在第三章“函數的概念與性質”的第三小節.而2004年人教A版教材將其放在第二章“基本初等函數(Ⅰ)”的第三小節.

(二)冪函數在兩本教材中的內容設置不同

兩本教材都希望引導學生通過實例歸納總結，概括出冪函數的定義，新教材還特別指出冪的指數除了取整數外，還可以取其他實數，這是舊版本教材所沒有的，表明新教材對定義的細節解釋得更加完備.

觀察圖形變化,是處理教學難點的一個關鍵因素.[2]在探究冪函數的性質時，舊教材直接要求學生在平面直角坐標系中畫冪函數的圖像，進而探究其定義域、值域、奇偶性、單調性和定點.而新教材先提出問題，啟發學生結合以往學習函數的經驗，思考如何研究這些函數，這里體現了新教材以學生為本的設計理念，學生在冪函數的探究學習中，回顧了函數的相關內容，為函數的應用和下一章研究指數函數和對數函數奠定了基礎.同時，新教材的表格中僅涵蓋了定義域、值域、奇偶性和單調性，并提出問題：這些函數圖像有公共點嗎？提出這樣的問題也符合教材前兩節的內容設置，即在前面的學習中僅研究了單調性、最大(小)值和奇偶性.關于冪函數圖像特有的性質——公共點，可以由學生觀察圖像自行得出.

兩本教材均列舉了同一道題目，只是問法不同.新教材在提問時，沒有直接給出定義域，需要學生先判斷定義域，再在定義域內證明函數的單調性.由此可見，新版教材更側重于學生解決問題的思維嚴謹性.

在習題部分，舊教材僅羅列了3道題目.而新教材的課后練習分為兩部分，第一部分是關于冪函數概念以及性質的3道基礎題，第二部分包含兩類題型，習題的難度逐漸遞增，由基礎到綜合，層層遞進.新教材編寫的初衷是希望學生對所學知識的內涵理解更深刻，學會將所學知識靈活運用到實際生活中.

二、冪函數的教學過程設計

針對上述新舊版本教材中冪函數內容的對比，一線教師更關注的是怎樣利用新教材進行教學.“理解數學，明確教學重難點”是冪函數教學設計的首要任務.[3]關于冪函數的教學難點，即通過5個具體的典型函數，使學生能夠歸納共性，并用符號語言概括冪函數的概念.冪函數的教學重點是使學生能夠畫出幾個典型的冪函數圖像，通過觀察圖像發現它們的變化規律，并探究得到冪函數的相關性質.以下即為具體的教學過程設計.

1.創設情境，引入新知

教師提出下面5個問題，請學生思考能否用題目中所給變量寫出它們之間的函數關系？寫出的函數解析式有怎樣的共同特征？(見書P89)

生2：若把函數表達式中的自變量都用x表示，因變量都用y表示，可以更容易發現y關于x的函數的共同特征.

設計意圖：教師從生活中的實例出發，創設具體情境，讓學生從數學的角度出發解決實際問題.在得到函數解析式后，教師在此基礎上設疑，這5個函數解析式有怎樣共同的特征，希望學生在歸納過程中通過自主探究找到它們的共同點，這其中蘊含了從特殊到一般的數學思想.

2.歸納總結，形成概念

師：通過對這幾個函數解析式共同點的歸納，我們發現這幾個解析式都具有冪的形式，并且都是以冪的底數為自變量，其中冪的指數都是常數，我們就將這類新的函數稱作冪函數，其形式為y=xα，其中x為自變量，α為常數.這里的常數除了取整數之外，還可以取實數.

設計意圖：通過學生的探究歸納，教師進行總結，給出冪函數的準確定義.相比于舊教材，新教材還提出了指數位置的常數包括整數和其他實數，在取其他實數時，冪都有著不同的含義.因此，教師要在給出定義后，明確常數取值范圍，以保證定義的準確性.

3.探究新知，研究性質

師：結合以往學習函數的經驗，你認為應該怎樣研究函數？

生3：可以通過觀察圖像研究冪函數.

生 4：在學習函數奇偶性時，我們不僅觀察了圖像，還利用函數解析式推導了f(x)與f(-x)之間的關系.

師：兩位同學說的都很好，看來你們對前面內容的學習已經融會貫通了.請大家以小組為單位畫出這5個函數的圖像.注意，畫圖像的時候不要忘記判斷函數的定義域.

師：提示大家，我們都知道畫函數圖像有三步，列表、描點、連線，但碰到比較陌生的函數時，大家可以先觀察函數解析式，根據解析式判斷函數的性質，再根據性質畫圖像，例如奇函數的圖像是關于原點對稱的.

設計意圖：函數教學中“數”與“形”結合的問題是中學數學教學的重點內容之一，[5]在研究冪函數的過程中，教師可以讓學生先回顧以往的學習是怎樣研究函數的性質的，讓學生學會思考、善于思考，而不是像舊教材設計的教學流程一樣，直接讓他們去填寫表格，分析表格，通過對照直接得到冪函數的性質.可以說，編者在新教材中更側重于培養學生自主學習的能力.

師：(展示圖像)如圖1.

師：好，大家對比自己畫的圖像和課件中用Geogebra軟件展示的圖像是否相同，為了便于觀察，教師將它們放到同一個平面直角坐標系內.根據圖像，我們能得到這幾個冪函數的哪些性質呢？

生5：這些圖像都過同一個點.

生6：單調性，奇偶性.

生7：第四象限沒有函數圖像.

師：非常好，那你們誰能說說為什么第四象限沒有函數圖像呢？

生8：因為冪函數的表達式是y=xα，當x>0時，α取何值，對應的函數值都大于0，因此，第四象限沒有函數圖像.

師：很好，看來你已經能夠運用函數表達式來解決函數圖像的相關問題了，這其中也蘊含了數形結合的思想.

師：我們通過函數圖像及表格可以歸納出這些函數的相關性質了.

(1)這5個函數都過定點(1，1)；

(2)函數y=x,y=x3,y=x-1是奇函數，y=x2是偶函數；

(4)在第一象限內，函數y=x-1的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近.

師：通過大家的合作探究，我們已經研究了一些冪函數的性質，那對于其他的冪函數，大家可以仿照類似的方法進行研究.大家要注意，學習冪函數這一節主要是為后面研究其他函數打下基礎，掌握研究函數的一般步驟和方法即可.至于一般冪函數的性質，感興趣的同學可以課下查閱資料，自行探究.

設計意圖：關于冪函數性質的探究，教師的主要任務就是引導學生掌握研究函數圖像的一般方法.

4.例題講解，回顧反思

生9：先確定函數的定義域，再在定義域中任取x1,x2，設x1

師：對，請同學們和教師按照這樣的證明思路一起完成這道例題.

設計意圖：例題部分，教師首先帶學生復習增函數的證明方法，并將此方法運用到冪函數的單調性證明中.相比舊教材，新教材的設計更合理，幫助學生綜合運用相關知識.

5.分層作業，鞏固新知

師：今天的作業是完成教材課后練習題以及習題3.3中復習鞏固的第1，3題.同時同學們要以小組的形式解決綜合運用的一道實際問題.

設計意圖：相比舊教材，新教材將課后練習設置得更詳細，對知識點的考查更具針對性，難度層層遞進.

6.拓展延伸，活躍思維

師：我們學習過冪函數y=x,y=x-1，請同學們閱讀教材92頁的“探究與發現”，嘗試探究一個新的函數y=x+x-1具有哪些性質？

三、總 結

本文通過對比新舊教材“冪函數”一節，對其內容上的增減和創新之處、所處位置的變化等進行了詳細的闡述，并根據新教材進行了冪函數的教學設計.在冪函數的教學過程中，教師應把握好冪函數的重難點，在歸納冪函數的定義時，教師要注重啟發引導.同時，在探究冪函數的性質時，教師要有意識地引導學生畫出函數圖像，根據所畫圖像探究相關性質.同時，關注學生知識理解與遷移程度是一個切實可行的抓手[6].因此，教師在以后的教學中要向學生逐步滲透探究數學的方法和思想，培養學生自主探究的意識.