基于Geogebra的球體積公式可視化探究

◎于子杰 (吉林師范大學,吉林 長春 130000)

1 教材地位分析

球體積公式的內容位于2019年人教A版必修2第八章第三節的內容，在以往的教學過程中，受學生所學知識的限制，大部分的體積公式都沒有給出推導過程，直接要求學生能夠應用即可.并且球的體積公式的推導過程也是教學中的難點.在新版教材課后的探究與發現中新增了祖暅原理與探究內容，這對于推導球的體積公式做出了重要幫助.并且新課改要求學生學會逐步探究知識的來源，形成一定的數學推理能力.柱、錐、臺、球等基本空間幾何體是學生在生活中經常遇到的、承載數學抽象性的重要模型.因此，祖暅原理與球體積公式推導的教學，對于發展學生數學抽象、邏輯推理等核心素養起到了不可替代的作用.[1]

2 球體積公式、祖暅原理、牟合方蓋三者聯系

在球體積公式推導過程中，以祖暅原理為基礎，可以運用祖暅原理與圓柱體結合進行推導，也可以將祖暅原理與牟合方蓋結合推導球的體積.也就是說，利用祖暅原理推導球體積公式的關鍵是找到一個可以求出體積的空間幾何體模型，而圓柱體模型與牟合方蓋模型都匹配了推導體積的要求，成為推導球體積公式的依托.祖暅原理與牟合方蓋是高中數學探究活動中推導球體積公式的必要基礎.

3 祖暅原理可視化模型

祖暅原理是祖暅于5世紀提出的體積計算原理：“緣冪勢既同，則積不容異”其中“勢”是高，“冪”是面積.[2]祖暅原理用現代語言可以描述為：夾在兩平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

在Geogebra軟件中，

第一步：創建新點A(-2,2)、B(2,2)、C(-4,1)、D(4,1)、E(-5,-1)、F(5,-1)、G(-2,-2)、H(2,-2),并且連接AB，CD，EF，GH構造定長線段，其長度分別為：AB=4，CD=8，EF=10，GH=4.定長線段在平移一端點時可以保證線段長不變.

第二步：在運算區創建滑動變量L1，L2，L3，L4，設置其滑動變量范圍均為(5,20)，滑動變量即四條線段向右平移的單位長度.通過調節滑動變量，得到兩面積相等的平面圖形ABCDEFGH和A′B′C′D′E′F′G′H′.

第三步：點擊屏幕上方的3D繪圖區，找到錐體工具，分別以ABCDEFGH和A′B′C′D′E′F′G′H′為底面拉起錐體.高度可以任意選擇.用一平行于平面xOy的平面同時截取兩個空間幾何體.

第四步：拖動滑動變量，觀察在底面形狀不同，但面積相等時，空間幾何體體積是否發生變化，進行驗證.

如圖，可以在Geogebra軟件中的代數區看到兩個空間幾何體上下底面面積是相等的.其中Surface(S1)=Surface(S2)=7.75.由于Geogebra軟件沒有直接計算空間幾何體體積的工具，可以自定義計算工具或在運算區指令欄進行手動輸入.此時在指令欄輸入：“V1=1/3*OS1*(sqrt(m*m1)+m+m1)”得到截取棱臺V1的體積.再輸入：“V2=1/3*OS2*(sqrt(n*n1)+n+n1)”得到截取棱臺V2的體積.在運算區進行數值比較.

圖1 祖暅原理驗證

在課堂展示過程中，保持空間幾何體S1不動，拖動空間幾何體S2中任意端點橫向平移，由于線段為定長直線，因此面積不會改變，可以觀察到無論空間幾何體V2以何種形式出現，在平行平面截取后，代數區兩棱臺體積V1與V2在數值上始終保持相等.通過大量的試驗驗證，可以發現二者的體積是一直保持相等的，通過教師歸納總結就能得到更一般的規律，即祖暅原理.在祖暅原理的引入過程中，要考慮學生認知的規律，盡量符合數學嚴謹性的要求，為學生提供從感性到理性、循序漸進、逐步嚴格的學習過程.在對祖暅原理進行可視化呈現過程中，3D繪圖區的立體圖形的直觀與代數區的面積、體積等變量要進行一一對應，切實做到數形結合.

4 牟合方蓋可視化模型

4.1 參數方程構造法

牟合方蓋最早由劉徽設計，用兩個直徑與正方體棱長相同的圓柱體，一縱一橫截取正方體，所得到的剩余的空間幾何體叫作牟合方蓋，其引入的目的是為了計算球體的體積.牟合方蓋在Geogebra軟件中的模擬主要由兩部分曲面構成.已知x2+z2=1和y2+z2=1是兩個分別貫穿于x，y軸的柱面.但因為平面具有無限延展的性質，在Geogebra中對其局部進行觀察演示極不方便，因此對圓柱面設置參數，對其范圍進行限制.

以兩圓柱公共中心為原點，建立空間直角坐標系.打開網狀基準平面顯示.

指令欄輸入：“[Surface(k,cos(θ),sin(θ),θ,o,2PI,k,-1,1)]”，指令欄輸入：“[Surface(cos(θ),k,sin(θ),θ,0,2PI,k,1,-1)]”，即構造出兩個半徑為1，高度為2，母線平行于x軸和y軸的兩個柱面.如圖2.

圖2 兩圓柱相交

圖3 牟合方蓋截取模型

模型的建立可以根據兩部分完成牟合方蓋，限制k為區間[-1,1]內，使得圖形恰好與正方體內切.避免了平面傾角過大或過小導致與圓柱面截得橢圓的方程不方便計算的問題.Geogebra軟件中語法基本模式為：表面[x表達式，y表達式，z表達式，參數1，初始值，終止值，參數2，初始值，終止值].

指令欄輸入：[Surface(cos(θ)*k,cos(θ),sin(θ),θ,0,2PI，K,-1,1)]

指令欄輸入：[Surface(cos(θ),cos(θ)*k,sin(θ),θ,0,2PI，K,-1,1)]

綜上所述，曲面方程所表示的牟合方蓋曲面通過Geogebra運行的結果如圖3所示.

4.2 軌跡曲面構造法

第一步：構造一軸線為x軸，半徑為2的柱面和空間平面y=x，此時可以看出空間平面y=x與圓柱面的交線，即為構造的軌跡.

指令欄輸入：x2+y2=2;x=y構造上述圖形，Geogebra中運行后如圖4.

圖4 圓柱面與平面相交

第二步：構建兩平面相交的橢圓曲線，利用Interrect指令；在Geogebra中Interrect指令格式如下：Intersect(