基于CSMC 模型的電網規劃指標相關性計算

謝瀚陽，彭澤武，楊秋勇，蔡雄，溫柏堅

（廣東電網有限責任公司，廣東廣州 610106）

電網建設過程中，對于電網進行有效、準確規劃能夠確保電網建設過程中資金的合理、充分利用以及電網運行應用的安全、穩定與經濟性[1]。作為電網建設的基礎，電網規劃工作具有高度復雜性，這種高度復雜性主要體現為電網規劃指標的不確定性、相關性以及專業性[2]。準確分析電網規劃指標間的相關性可降低電網建設過程中的計算誤差，提升電網建設工程的穩定性與經濟性。

電網規劃指標相關性主要描述電網規劃中單個節點指標的時間相關性與多個節點指標之間的空間相關性[3-4]，兩者分別體現節點相鄰時刻指標狀態之間的相關性和不同節點指標數據間的相關性[5]。連續狀態馬爾科夫鏈模型（Continuous Slate Markov Chain，CSMC）能夠體現時間離散但狀態連續的無記憶隨機過程，能夠基于相鄰時刻狀態間的相關性獲取下一時刻狀態的概率抽樣值[6]。由于Copula 函數對于電網規劃指標的分布模型無特殊限制，因此可依照Copula 函數特征拓展CSMC 模型。作為處理多元隨機變量相關性的數學方法，Copula 函數具有高度靈活性，其利用多元隨機變量聯合概率分布函數的構建確定多元變量間的相關性[7]。基于此，提出基于CSMC 模型的電網規劃指標相關性計算方法，從電網規劃節點指標的時間與空間兩方面準確計算電網規劃指標的相關性。

1 電網規劃指標相關性計算方法

1.1 構建多元指標一階CSMC模型

根據電網規劃指標邊緣分布函數（概率分布特征）、節點指標空間與時間的相關性，綜合多元指標概率分布模型與CSMC 模型能夠設計一個可同時分析電網規劃指標空間與時間相關性的多元指標CSMC 模型。

用Q表示電網規劃節點數量，存在Q個電網規劃節點的指標向量，通常既包含時間方面單個電網規劃指標序列自身的相關性，也包含空間方面Q條時序電網規劃指標波動曲線間的相關性。

用x1,t,x2,t,…,xQ,t,t=1,2,…,T，表示Q個電網規劃節點相對的時序指標數據。利用CSMC 模型分別描述不同電網規劃節點指標；利用F(·)=F1,F2,…,FQ和F′i=P(Xi,t+1≤xi,t+1|Xi,t=xi,t)分別表示對應的邊緣分布函數和條件概率分布函數，X=(Xt,Xt+1) 表示隨機電網規劃指標構成的二維隨機向量，由此可將多元指標一階CSMC 模型表示為：

式（2）描述多元指標一階CSMC 模型內的狀態轉移核：

式（3）描述多元指標一階CSMC 模型內的狀態轉移密度：

其中，A表示Copula 函數，a和ai分別表示Q個電網規劃節點時序指標相關性模型相應的Copula函數密度函數和不同電網規劃節點的時序指標序列Xi,t，在時間t+1 與t時刻間時間相關性模型對應的Copula 函數密度函數。

由于電網規劃指標相關性計算過程中只考慮單個電網規劃節點的兩個指標空間相關性，對于電網規劃指標的時間相關性也僅計算一階情況[8]。因此上述多元指標一階CSMC 模型能夠簡化為：

根據式（4）和式（5），能夠得到狀態轉移核與狀態轉移密度，能夠描述電網規劃節點指標一階CSMC模型。由此確定相鄰時刻下電網規劃指標狀態相關性的最優Copula 函數成為求解狀態轉移核與狀態轉移密度的核心。

1.2 邊緣分布函數與Copula函數的確定

1.2.1 邊緣分布函數的確定

通過Matlab 構建任一電網規劃指標波動數據的頻率直方圖[9]，分別計算其偏度值與峰度值，根據計算結果能夠確定該電網規劃指標分布情況與正態分布相比具有峰尖尾厚的特點，對該電網規劃指標分布情況實施柯爾莫可洛夫—斯米洛夫檢驗[10]，確定其不具備正態分布特征，因此選取核密度估計法確定電網規劃指標邊緣分布函數。用f(x)表示隨機電網規劃指標X的概率密度函數，式（4）描述其核密度估計過程：

柑橘缺磷癥狀。老葉逐漸變成古銅色、紫色、無光澤，有時出現枯斑。新葉小、濃綠、發暗。枝梢纖細，春季開花期和開花后老葉大量脫落，花少，果皮粗厚。

其中，q、s和K(·)分別表示電網規劃指標X的樣本數量、窗寬和核函數。

利用式（4）確定核密度f(x)后，對f(x)實施積分處理[11]，由此能夠確定電網規劃指標x的邊緣分布函數F(x)。利用分布函數K(·)的累積過程實現邊緣分布函數F(x)與均勻分布C之間的轉換，針對均勻分布系數b∈(0,1) 存在式（5）所描述的關系：

1.2.2 Copula函數確定

Copula 函數的選取以電網規劃指標間相關性的特點為依據[12]。利用Matlab 構建任一電網規劃指標波動數據的二元頻率直方圖，當電網規劃指標X與電網規劃指標Y的二元頻率直方圖之間呈現分布不對稱狀態時，可選取Gumbel-Copula 函數和Clayton-Copula 函數[13]；當X與Y的二元頻率直方圖之間呈現分布對稱狀態時，可選取Frank-Copula 函數、Normal-Copula 函數和t-Copula 函數。

選取分布極大似然估計法估算Copula 函數的相關參數。用u=S(x)、s(x)和v=R(y)、r(y)分別表示電網規劃指標X、Y的邊緣分布函數和概率密度函數，fxy(xy)和(xi,yi)i=1,2,…,q分別表示聯合概率密度函數和樣本點。根據聯合分布函數的密度函數計算公式與極大似然定義確定似然函數表達式如下[14]：

其中，λ1、λ2表示邊緣分布內的未知參數。對式（8）兩邊取對數，得到：

根據式（9）能夠得到似然函數表達式對數值，利用兩階段極大似然估計法能夠估算ε值[15]：

將式（10）計算結果代入式（11），獲取ε極大似然值：

根據得到的Copula 函數求取相應的狀態轉移核或狀態轉移密度。

2 實驗分析

為驗證文中提出的基于CSMC 模型的電網規劃指標相關性計算法的計算性能，以我國某省電網規劃工程為研究對象，以電網規劃常用指標變壓器平均負載率（體現電網運行的經濟性）與用戶端電壓合格率（體現電網運行的穩定性）為計算指標，利用文中方法計算兩個指標之間的相關性[16]。表1 為兩個計算指標的初始數據。

表1 計算指標的初始數據

2.1 確定指標邊緣分布

文中方法電網規劃指標邊緣分布確定所采用的核密度估計法為一種非參數估計法，可在無分布先驗知識與概率分布形式的基礎上，基于指標數據樣本分析指標特征，利用經驗分布法確定分析精度。基于表1 中兩個計算指標的原始數據，采用文中方法確定兩個指標的邊緣分布結果S(x) 和R(y)，以經驗分布函數為指標（經驗分布函數為指標實際邊緣分布函數的逼近），判斷文中方法確定的兩個計算指標邊緣分布結果的精度，判斷結果如圖1所示。

圖1 中，較細的實線與較粗的虛線分別表示經驗分布函數與文中方法確定的指標邊緣分布結果。由圖1 可知，文中方法確定的兩個計算指標邊緣分布結果與經驗分布函數基本重合，由此說明文中方法基于指標原始數據能夠準確地分析兩個計算指標特征與規律。

圖1 文中方法對于指標邊緣分布結果的計算精度

2.2 確定Copula函數

確定兩個計算指標的邊緣分布函數后，利用Matlab 編程確定兩個計算指標的二元頻率直方圖，依照該直方圖確定合適的Copula 函數。

基于表1 中兩個計算指標的初始數據以及文中方法所用的分布極大似然估計法，能夠計算出二元Normal-Copula 函數與二元t-Copula 函數內未知參數值，如表2 所示。

表2 候選函數內未知參數計算結果

由表2 可知，二元Copula 函數內的未知參數值分別為0.919 1、0.988 5 和1。

以經驗Copula 函數為指標能夠計算出兩個候選二元Copula 函數同經驗Copula 函數之間的平方歐氏距離，根據平方歐氏距離能夠確定文中方法所用Copula 函數。

2.3 應用性能測試

為測試文中系統的應用價值，在PSS/E 交互式電力系統仿真程序中，利用文中方法對研究對象的電網規劃指標相關性計算結果進行仿真，計算其變壓器平均負載率與用戶端電壓合格率，與表1 中兩個計算指標的初始數據相對比，結果如表3 所示。

表3 計算指標的變化情況

分析表3 能夠得到，研究對象基于文中方法電網規劃指標相關性計算結果進行規劃建設后，其不同節點的變壓器平均負載率與用戶端電壓合格率均呈現不同幅度的上升趨勢，由此說明利用文中方法可提升電網建設工程的穩定性與經濟性。

3 結論

電網規劃指標間的相關性直接影響電網工程運行的有效運行。文中提出基于CSMC 模型的電網規劃指標相關性計算方法，從Copula 函數為基礎，利用CSMC 模型從時間和空間兩方面準確計算電網規劃指標的相關性。由于文中方法指標相關性計算只針對兩個指標進行計算，因此在后續研究中將針對多指標相關性的計算進行研究。