全數字自適應濾波器不同離散結構的性能對比分析

劉亞靜 段 超

全數字自適應濾波器不同離散結構的性能對比分析

劉亞靜 段 超

（北京交通大學電氣工程學院 北京 100044）

基于二階廣義積分器（SOGI）的自適應濾波器（AF）在電網電量測量、電機位置、速度檢測與估計等場合廣泛應用。在數字化實現過程中，反饋滯后一拍的存在和所采用離散方法的不同會使系統的性能出現不同程度的退化。該文在綜合考慮上述因素的前提下，用穩定性、頻率偏移特性、幅值增益特性及正交特性作為衡量系統性能退化的定量指標，分別進行了理論對比分析，并給出了上述4個指標隨載波比的變化規律，從而為自適應濾波器數字實現時的離散方法的選取提供理論指導依據。最后通過仿真和實驗驗證了理論對比分析的正確性。

自適應濾波器 二階廣義積分器 滯后一拍 頻率偏移 幅值增益 正交性

0 引言

基于二階廣義積分器（Second Order Generalized Integrator, SOGI）的自適應濾波器（Adaptive Filter, AF），廣泛應用于電網電量測量[1-5]、電機位置、速度檢測與估計[6-12]等場合。目前，使用鎖頻環（Frequency- Locked Loop, FLL）來實現頻率自適應算法是一種較為普遍的方法[1-9, 11-12]。

在電網同步領域，基于SOGI的自適應濾波器主要用來提取電網電壓中的正負序分量[1-3]。此時的信號-采樣頻率比較小，滯后一拍所造成的影響可以忽略不計，因此，絕大多數文獻為了分析簡便，通常在s域內忽略滯后一拍的影響。

在電機控制領域，基于SOGI的自適應濾波器主要用于電機位置、速度檢測與估計等場合。文獻[7-8]分別將基于SOGI的頻率自適應濾波器應用到基于電動勢的位置觀測器和模糊滑模觀測器來消除諧波誤差。文獻[9]提出一種復合SOGI-FLL用于永磁同步電機的轉子位置與轉速估計。文獻[10]將兩個SOGI的組合結構用于轉子位置檢測。文獻[11-12]將基于SOGI的頻率自適應濾波器用于異步電動機的轉子磁鏈觀測算法中。

上述文獻均在s域提出新算法或新結構，然而工程實現時通常采用全數字方式來實現，即將算法從s域轉換到z域，轉換過程會使所研究系統產生性能的退化[13-21]，特別是對于信號-采樣頻率比，即載波比比較大的應用場合，性能退化的影響難以忽略，因此有必要分析數字化實現對系統性能的影響。

文獻[13]詳細研究了SOGI的不同離散方法，提出了一種可以將SOGI應用于不同場合的通用數字結構。文獻[14]討論了諧振控制器和濾波器在定點算法實現時的一些重要問題。文獻[15]針對基于雙積分器的諧振控制器數字實現時的性能退化問題，對數字實現算法進行了改進。文獻[16]提出了一種結構高魯棒性的定點數字諧振控制器。文獻[17]對比分析了不同離散方法對諧振控制器性能的影響，指出了離散會帶來頻率偏移的問題。文獻[18]采用不同方法對基于SOGI的自適應濾波器進行離散化，對比分析了性能差異，由于是針對電網的應用場合，該文獻只對低頻50Hz進行了對比分析。

雖然上述文獻詳細分析了不同離散方法對數字系統性能的影響，但都未反饋滯后一拍現象，此問題是造成數字系統性能退化的主要原因[19-21]，而基于SOGI的自適應濾波器為雙閉環結構，因此對其進行分析時需要考慮滯后一拍的影響。

本文在考慮滯后一拍的前提下，對采用不同離散方法的數字自適應濾波器的穩定性、頻率偏移特性、幅值增益及正交性等進行對比分析，并對理論對比分析結果進行仿真與實驗驗證。

1 自適應濾波器的離散化

圖1 自適應濾波器s域模型

將圖1的s域模型進行離散化，本文選擇對各部分單獨進行離散，選擇的離散方法包括前向歐拉（F）、后向歐拉（B）、雙線性變換法（T）、脈沖響應不變法（im）、零階保持器法（zo）及一階保持器法（fo）。每個積分器都可用一階z域傳遞函數表示為

式中，0、1、1為系數，見表1。表中，s為采樣周期。經分析可知，單獨對積分器進行離散時，雙線性變換法（T）與一階保持器法（fo）相同，前向差分法（F）與零階保持器法（zo）相同，后向差分法（B）與脈沖響應不變法（im）相同。

表1 離散積分器的系數

Tab.1 Coefficients of discrete-time integrators

利用式（1）對圖1所示系統進行離散化，得到數字自適應濾波器的不考慮滯后一拍的z域理想模型如圖2所示。

圖2 自適應濾波器z域理想模型

圖3 自適應濾波器z域實際模型

2 數字自適應濾波器的性能對比分析

2.1 穩定域分析

圖1所示理想模型的s域傳遞函數為

式中，為設定頻率參數。

依據穩定性判據，式（2）所示系統恒穩定。而由于滯后一拍現象的存在，系統的穩定性下降，且兩個積分器的離散方法不同時，系統的穩定域各不相同。表2給出了采用不同離散方法的實際數字系統的z域傳遞函數以及對應的穩定域表達式。表2中， /ss/(2p)，表示系統設定信號頻率 與采樣頻率s之比，即載波比。

表2中傳遞函數等式左邊符號的下標表示兩個積分器采用的離散方法。例如，T(fo)B(im)表示系統前向通路上的積分器采用雙線性變換法（T）或一階保持器法（fo）離散，反饋通路上的積分器采用后向差分法（B）或脈沖響應不變法（im）離散。本文后續內容均采用該種方式表示。

圖4給出了表2中的穩定域表達式所對應的穩定區間，曲線與縱坐標所包圍區域為實際數字系統穩定區域。可見，不同的離散方法對穩定域有著不同的影響。其中，采用B(im)F(zo)與F(zo)F(zo)離散的數字系統穩定域相同，B(im)T(fo)與F(zo)T(fo)相同，B(im)B(im)與F(zo)B(im)相同。結合實際情況，數字系統一般運行在載波比＜0.1的環境，的取值范圍在0～2之間，取過大時，系統的濾波效果削弱，選頻特性明顯變差。從圖4中可知，采用B(im)B(im)、F(zo)B(im)離散的數字系統，在0＜＜0.1、0＜＜2區間內恒穩定。因此，若僅從數字系統的穩定性角度考慮，B(im)B(im)、F(zo)B(im)離散結構具有優越性。當濾波器前向通道積分器采用T(fo)離散時，在穩定性約束下的載波比明顯變小。而采用B(im)進行離散時，在穩定性約束下的載波比明顯變大。

表2 實際數字自適應濾波器的傳遞函數與穩定域表達式

Tab.2 Transfer function and stability of the real digital adaptive filter

圖4 自適應濾波器的穩定區間

2.2 頻率偏移

理想自適應濾波器的選通信號頻率為設定頻率參數，但實際數字自適應濾波器的選通信號頻率會相較于發生偏移。對系統中的積分器采用不同的離散方法時，實際數字系統的頻率偏移大小不相同。現對數字系統不同離散結構下的頻率偏移進行理論分析。

基于畸變預修正雙線性變換的等效公式為

將式（3）代入表2中實際數字系統的z域傳遞函數，可得實際數字系統的s域等效傳遞函數為

式中，0、1、0～3為系數，見表3。

知j，設定存在滯后一拍的數字系統對應于的數字系統的實際選通信號頻率為0。當0時，為()相頻特性曲線過0點，可得

整理后可得0與的關系等式見表4。表中的列fq為反饋通道積分器的離散方法；表中的行qx為前向通道積分器的離散方法，為了簡化表達式，定義變量=tan(s0/2)tan()，0/ss0/(2p)。因此表中的關于與的表達式即可表示0與的關系。記數字系統的相對頻率偏移量為，則

根據表4及式（6）可得圖5所示的采用不同離散方法的數字系統的相對頻率偏移量與比例系數和載波比的關系曲線。不同離散方法的數字系統的頻率偏移規律差別明顯，采用F(zo)F(zo)、F(zo)B(im)、F(zo)T(fo)離散的數字系統頻率偏移相同，相對偏移量為所有離散方法中最小；B(im)B(im)離散結構頻率偏移最大。因此，若僅從數字系統的選頻特性考慮，采用F(zo)F(zo)、F(zo)B(im)、F(zo)T(fo)離散方法所得到的濾波器系統具有最好的選頻性能。

表3 實際數字的s域等效傳遞函數系數

Tab.3 The coefficients of equivalent transfer function in s-domain

Tab.4 The relationship between w0(r) and w* in AF with different discrete methods

圖5 相對頻率偏移量e的理論數據

2.3 幅值增益

該小節在2.2節的基礎上，分析數字系統不同離散結構的幅值增益現象。知j，系統對應于的實際選通信號頻率為0。當0時，為1()相頻特性曲線過0點，將j0代入表（2）中實際數字系統的s域等效傳遞函數，可得通用等式為

式中，0、1、0、1為系數，見表5。

數字濾波器系統的幅值增益為

2.4 正交特性分析

Tab.5 The coefficients of equivalent H(jw) of digital AF wih different discrete methods

圖6 幅值增益d 的理論數據

Tab.6 Hqd(z) and equivalent Hqd(s) of digital system

由2.2節分析可知，實際數字系統存在頻率偏移，設定頻率參數對應的實際選通信號頻率為0，當0時，表6中的qd()可變換為

反饋通路的積分器采用不同離散方法時，可根據式（10）得到正交特性曲線，如圖7所示。

可見，前向通道積分器的離散方法并不會影響信號正交性，反饋通道積分器的離散方法影響信號的正交性，當反饋通路積分器采用T(fo)離散時，數字系統兩個輸出信號之間相位差恒為90°，即兩者嚴格保持正交；當反饋通路積分器采用B(im)和F(zo)離散時，隨著載波比的增加，數字系統的正交性逐漸變差。因此，僅從數字系統的正交特性方面考慮，反饋通路積分器采用T(fo)方法離散的數字結構（B(im)T(fo)、F(zo)T(fo)、T(fo)T(fo)）具有優越性。

3 仿真證明

圖10給出了不同設定參數下，qd()的相頻特性仿真曲線，從圖10可知，qd()的相頻特性仿真曲線不受設定頻率參數的影響，只與數字系統反饋通路積分器的離散方法有關。仿真采樣周期s= 10-4s，頻率為1 000Hz時，對應著載波比=0.1。對比圖10與圖7可知，兩者一致。數字系統反饋通路積分器采用T離散時，數字系統兩個輸出信號之間相位恒差90°，嚴格保持正交；數字系統反饋通路積分器采用B(im)和F(zo)離散時，隨著載波比的增加，正交性逐漸變差。驗證了數字濾波器兩個輸出信號之間正交特性理論分析的正確性。

圖8 相對頻率偏移量e的仿真數據

圖9 幅值增益d 的仿真數據

圖10 AF正交特性的仿真數據

4 實驗驗證

數字自適應濾波器在基于DSP28335芯片的實驗平臺上實現，采樣周期為10-4s，自適應濾波器的參數設定與仿真一致。采用PSM1700頻率響應分析儀（掃頻儀）產生幅值為0.1V的等差頻率正弦模擬信號，然后通過AD采樣將其進行模數轉換，作為數字自適應濾波器系統的輸入，掃頻儀對數字系統的輸入、輸出信號進行采樣分析獲得數字系統的幅相頻特性曲線的數據。最后對掃頻儀得到的數據進行整理分析。

圖13給出了設定參數相同時的采用不同離散方法的數字濾波器的輸入/輸出信號時域波形，其中，比例系數=0.8，設定頻率參數=1 000prad/s，已知處理器采樣周期為10-4s，對應載波比=0.05。輸入正弦信號的頻率為理想情況下選通信號頻率，即 =1 000prad/s。從圖中可知，采用不同離散方法的數字自適應濾波器的性能有著明顯的差異。

為了定量分析，從而能夠更加直觀地進行性能對比，在上述實驗條件下，得到與圖13相對應的實驗數據見表7，同時給出了實驗數據、理論數據以及兩者誤差。由圖13結合表7可知，采用F(zo)B(im)離散的數字系統的幅值增益實驗數據為0.04dB、理論數據為-0.01dB、相差0.05dB；相位實驗數據為0.07°、理論數據為0.58°、相差0.49°；輸入輸出正弦信號時域波形幾乎重合。因此，在不考慮數字濾波器兩個輸出信號正交性的前提下，采用F(zo)B(im)離散的數字系統與理想系統的性能最為接近。同時驗證了理論分析方法的正確性。

圖11 相對頻率偏移量e的實驗數據

圖12 幅值增益d 的實驗數據

圖13 自適應濾波器不同離散結構的輸入、輸出信號波形

表7 與圖13相對應的實驗數據及相應理論數據、實驗誤差

Tab.7 Experimental results, theoretical results, experimental errors corresponding to Fig.13

5 結論

本文對考慮了滯后一拍的數字自適應濾波器不同離散結構，分別從穩定性、選頻特性、幅值增益特性和正交特性四個方面進行了理論對比分析，并給出了四種性能跟隨載波比的變換規律，通過仿真和實驗驗證了變化規律的正確性。可得到如下結論：

1）從穩定性方面考慮，采用B(im)B(im)、F(zo)B(im)離散方法的數字自適應濾波器在0＜＜0.1、0＜＜2區間內恒穩定，穩定性能最優；從選頻特性方面考慮，采用F(zo)F(zo)、F(zo)B(im)、F(zo)T(fo)離散方法的數字系統頻率偏移最小，選頻性能最優；從幅值增益特性方面考慮，采用B(im)B(im)、F(zo)B(im)離散方法的數字系統幅值增益恒定為0dB，具有最好的幅值跟蹤效果；從正交特性方面考慮，采用B(im)T(fo)、F(zo)T(fo)、T(fo)T(fo)離散方法的數字系統兩路輸出信號相位恒差90°，不隨載波比的增大而變化，正交性最優。

2）采用F(zo)B(im)離散的數字自適應濾波器，除正交特性以外，穩定性、選頻特性和幅值增益特性在所分析的幾種離散方法中均處于性能最優行列，因此，若實際應用中對正交特性要求不高，可優先選擇F(zo)B(im)離散的數字自適應濾波器。若實際應用中對數字自適應濾波器的正交特性要求較高，可考慮選擇F(zo)T(fo)離散的數字自適應濾波器。

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Performance Comparison and Analysis of All-Digital Adaptive Filter with Different Discrete Methods

（School of Electrical Engineering Beijing Jiaotong University Beijing 100044 China）

The Adaptive filter (AF) based on second-order generalized integrator (SOGI) is widely applied in power grid measurement, motor position/speed detection and estimation occasions. In the process of digital realization, the existence of unit delay and different discrete methods will degrade the performance of the system. Under the premise of considering the aforementioned factors, the stability, frequency offset, amplitude gain and orthogonality were used as quantitative indicators to evaluate the performance degradation of the digital AF. And then, the performance variation with carrier ratio was given to provide the theoretical basis for digital implementation of the adaptive filter. Simulation and experimental results verified the theoretical analysis.

Adaptive filter, second-order generalized integrator, one-step-delay, frequency offset, amplitude gain, orthogonality

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200588

TM46

劉亞靜 男，1981年生，博士，講師，研究方向為電機數字控制系統集成化設計、伺服系統、運動控制IP核等。E-mail: lyajing@bjtu.edu.cn（通信作者）

段超 男，1994年生，碩士研究生，研究方向為伺服電機控制。E-mail: 18126083@bjtu.edu.cn

2020-05-23

2020-10-19

國家自然科學基金（51407005）、河北省重點研發計劃（20351601D）和河北省高層次人才（A202003012）資助項目。

（編輯 崔文靜）