基于分數階傅里葉變換的低信噪比線性調頻信號參數快速估計算法

劉利民 李豪欣 李 琦* 韓壯志 高振斌

①(陸軍工程大學石家莊校區電子與光學工程系 石家莊 050003)

②(河北工業大學電子信息工程學院 天津 300401)

1 引言

線性調頻(Linear Frequency Modulation,LFM)信號是一種頻率隨時間線性變化的信號，在通信、雷達、聲吶等領域中的應用較為普遍，其參數估計和信號檢測是研究熱點之一。目前，針對LFM信號的處理方法主要有短時傅里葉變換和Wigner-Ville分布。其中，短時傅里葉變換[1—3]無法同時兼顧較好的時域分辨率和頻域分辨率，且在低信噪比情況下估計效果不佳；而Wigner-Ville分布[4—6]在需要對多個分量的信號進行處理的情況下，容易出現交叉項干擾問題，且運算較為復雜。分數階傅里葉變換[7—11](FRactional Fourier Transform,FRFT)是一種新興的時頻分析工具，它不同于傳統的傅里葉變換，而是將變換階次作為自變量，使得線性調頻信號在匹配的FRFT階次下表現為沖激信號，故能量聚集性較強。正是利用這一特性，FRFT可用來對線性調頻信號進行檢測和參數估計，但是由于需要運用2維搜索確定最佳旋轉角度，因此計算量較大。

針對這一問題，文獻[12]提出一種欠采樣快速檢測算法，通過減少采樣點數提升FRFT的運算速度，但該算法在信噪比較低時無法實現信號參數的正確估計。文獻[13]提出一種基于分數階域的黃金分割的搜索方法，雖然可以降低計算成本，但也不適用于信噪比較低的情況。文獻[14]提出一種基于修正的功率譜平滑濾波的高效FRFT算法，該算法雖然能夠較快地實現LFM信號的檢測和估計，但是對于信噪比小于—3 dB的信號參數估計效果欠佳。文獻[15]基于分數階功率譜幅值與旋轉角度之間的變換規律，提出一種瞄準搜索方法，盡管可以快速地搜尋到最佳旋轉角度，但當信噪比較低時，存在局部最優問題，還是無法保證參數的估計精度。

在以上研究的背景下，針對低信噪比情況下線性調頻信號參數快速估計問題，本文提出一種基于高效FRFT和分數階頻譜4階原點矩聯合估計算法。本算法在高效FRFT算法的基礎上，根據LFM信號的時頻分布與FRFT之間的關系特點，確定初始旋轉階次和區間，并結合信號分數階頻譜4階原點矩良好的抗噪聲性能和沖激特性，精準選擇合適的搜索區間和搜索步長，實現對低信噪比LFM信號參數精確且快速的估計。

2 LFM信號分數階頻譜特性分析

2.1 分數階頻譜幅度特性

設線性調頻信號模型為

其中，f0為線性調頻信號的初始頻率，k為調頻斜率，n(t)為高斯白噪聲。對該信號在角度α(α=p×π/2,p為階次)下作FRFT可得頻譜幅度表達式為

其中

對信噪比分別為8 dB,0 dB,—8 dB的線性調頻信號在[0,2]的階次區間內作FRFT運算，并對不同階次下的分數階頻譜幅度最大值歸一化處理，得到的分數階頻譜幅度與階次關系曲線如圖1所示。

由圖1可以看出：

圖1 FRFT頻譜幅度與階次關系圖

(1)對于同一線性調頻信號，不同信噪比情況下的最優旋轉階次保持不變；當旋轉階次等于最優階次時，線性調頻信號的能量得到充分集中，其分數階頻譜幅值最大，呈現沖激函數特性。

(2)當旋轉階次距離最優旋轉階次較遠時，信號的能量被平均的分散在頻譜中，其分數階頻譜幅度變小，且幅度變化速率較慢；隨著旋轉階次逐漸靠近最優旋轉階次，分數階頻譜幅度的變化速率越來越快。

(3)當信噪比較低時，由于噪聲能量較大且呈現隨機特性，導致歸一化分數階頻譜幅度變化不再呈現明顯分布規律。

2.2 分數階頻譜4階原點矩

信號x(t)的分數階頻譜4階原點矩[16]定義為

當旋轉角α為最佳旋轉角α0時，分數階頻譜4階原點矩為

其中，A為信號幅值，T為信號調頻周期。此時，LFM信號的分數階頻譜4階原點矩取得最大值，能量聚集效果最好。當旋轉角α/α0時，LFM信號的分數階頻譜4階原點矩為

其中

其中，td為觀測時長，fs為采樣頻率。當α距 離α0越近，η(α)越大。圖2給出了信噪比為8 dB,0 dB和—8 dB情況下信號的分數階頻譜幅度和分數階頻譜4階原點矩對比情況，相比于分數階頻譜幅度特性，分數階頻譜4階原點矩具有以下優點：

圖2 歸一化幅度對比圖

(1)當旋轉階次向最優階次變化時，分數階頻譜4階原點矩的變化速率更快。

(2)當信噪比較大時，分數階頻譜4階原點矩幅度變化更為平滑，且表現出更強的沖擊性。

綜上所述，信號的分數階頻譜4階原點矩具有良好的抗噪聲性能，因此更適合用于低信噪比情況下最優階次的快速估計。

2.3 高效FRFT

(1)基本原理。如圖3所示，φ為LFM信號的W-V分布和時間軸之間的夾角，Lφ為歸一化時頻長度，則該LFM信號做FRFT的最優旋轉角為φ，設在旋轉角度為α下對信號作FRFT處理，此時的LFM信號歸一化FRFT長度為Lα。

圖3 FRFT與W-V分布關系圖

分析圖4可得，LFM信號的歸一化FRFT長度與W-V分布的時頻長度之間的幾何關系為

圖4 LFM信號時頻分布

當α=φ時，Lα=0，說明此時LFM信號在該α旋轉角度下作FRFT得到的頻譜表現為沖激函數，即為最佳旋轉角度。因此，選取兩個旋轉角度α1和α2，并求出和，可得最優旋轉角為

LFM信號的調頻斜率的估計值為

(2)算法不足。高效FRFT算法只需進行3次FRFT就可實現對LFM信號的檢測，使得計算量大大減小，但其容易受到噪聲的影響。旋轉階次的估計精度取決于在兩個旋轉角度下估計出的頻譜寬度和的精度。當信噪比較低時，噪聲會對和的估計精度產生一定影響，導致最終LFM信號的參數估計出現較大偏差。文獻[14]中指出該算法能在信噪比大于等于—3 dB時對信號調頻斜率和中心頻率實現準確估計，而在信噪比為—3 dB 以下時參數的估計誤差較大。

3 改進LFM信號參數估計算法

本文利用分數階頻譜4階原點矩的良好特性，結合高效FRFT算法對最優階次進行精準搜索，實現對低信噪比情況下LFM信號參數精確且快速的估計。

3.1 改進算法基本原理

根據2.2節的分析可知，在低信噪比情況下，分數階頻譜4階原點矩相較于分數階頻譜幅度性能更佳，因此，本文利用分數階頻譜4階原點矩對FRFT的最佳階次進行估計。

(1)確定初始區間和初始旋轉階次。圖4為LFM信號的時頻分布與最佳旋轉角度的關系圖，根據FRFT性質可知，當LFM信號的調頻斜率為正時，最佳旋轉角度α0處 于[π/2,π]內，即對應階次所在區間應為[1,2]；當LFM信號的調頻斜率為負時，最佳階次所在區間應為[0,1]。因此，可對LFM信號進行一次短時傅里葉變換判斷調頻斜率的正負，確定最佳階次所在的初始區間。選取窗函數為矩形窗函數，其公式表示為

式中，M為窗口寬度。本文設置窗函數的窗口寬度為N/2，其中N為一個調頻周期的采樣點數。為保證準確性，在短時傅里葉變換后，分別對得到的兩段LFM信號的功率譜進行平滑濾波，采用的平滑濾波公式為

其中，Ps(n)為平滑之后的功率譜，P(n)為信號的頻譜，M為平滑窗長度，N為信號長度。經過平滑濾波后分別找出頻譜最大值所對應的頻率分量f1和f2，并進行比較，若f2＞f1，則說明調頻斜率為正，反之說明調頻斜率為負，即可確定初始區間。確定初始區間后，利用高效FRFT估計旋轉階次p0，并令其為初始搜索中心。

(2)精準搜索。確定初始區間和初始階次后，需要進一步搜索來獲得最優估計階次。在這一過程中，搜索區間和搜索步長的選取至關重要。由分數階頻譜4階原點矩特性可知，若p0距離最佳階次較近，該階次下的分數階頻譜4階原點矩幅值較大；若p0距離最佳階次較遠，該階次下的分數階頻譜4階原點矩幅值較小。因此，為實現精準搜索，本文采用以下方法確定區間和步長。

步長的確定方法：為使搜索結果更加精確，先選取一個較大的步長作為初始值，本文選取的初始階次步長為Δp=0.1。在p0兩 側分別取值p1=p0-Δp和p2=p0+Δp，計算這3個階次下的分數階頻譜4階中心矩并比較大小，判斷p0與最佳階次之間的誤差是否小于 Δp，進而確定該步長是否滿足搜索要求。若p0處幅值最大，則說明誤差小于Δp，該步長已不適用于本次搜索需求，因此保持搜索中心不變，并縮小步長 Δp；否則說明Δp為適合的搜索步長，同時確定搜索區間，以該步長進行最大值搜索，確定新的搜索中心。

區間的確定方法：若依次遞增，則說明最佳階次位于p0右 側，所在區間為[p0,p0+10Δp]；反之最佳階次位于p0左 側，所在區間為[p0-10Δp,p0]。

3.2 改進算法流程及步驟

根據上述原理，改進算法流程如圖5所示。其具體步驟如下：

圖5 改進算法流程圖

步驟1 確定初始區間。利用短時傅里葉變換判斷LFM信號調頻斜率的正負，確定初始區間為[0,1]或[1,2]。

步驟2 確定初始搜索中心和精度。利用高效FRFT估計旋轉階次p0，確定初始搜索中心。

步驟3 確定搜索區間和步長。令步長Δp的初始值為0.1，并計算p0-Δp,p0,p0+Δp3個階次下的4階中心矩。若p0處的值最大,則轉向步驟4；若依次遞增，則搜索區間為[p0,p0+10Δp]；若依次遞減，則搜索區間為[p0-10Δp,p0]，遞增和遞減兩種情況轉步驟5。

步驟4 搜索中心保持不變，更新搜索步長Δp=Δp/10，重復步驟3。

步驟5 在滿足初始區間的前提下，根據步長Δp，在搜索區間內進行分數階頻譜4階原點矩最大值搜索，對搜索中心p0進行更新，并將搜索步長改變為Δp=Δp/10，重復步驟3。

步驟6 重復步驟3—步驟5，直至滿足誤差要求。

3.3 改進算法運算量分析

算法的運算量與所需階次精度有關。首先，利用高效FRFT算法估計初始搜索中心需要進行2次FRFT；其次，每次確定搜索區間需要進行3次FRFT和3次4階中心矩計算；最后，每次區間搜索需要進行10次FRFT和10次4階中心矩計算。設信號的采樣點數為N，則進行1次FRFT變換需要的計算量為O(Nlog2N)，進行1次FRFT變換并求4階原點矩需要的運算量為O(Nlog2N+N)。在最高階次精度要求下，算法最多需要的運算量為O(54Nlog2N+52N)。對于傳統的FRFT 2維搜索算法，達到0.0001的精度需要2000次FRFT運算，計算量為O(2000Nlog2N)，可見相比于傳統的FRFT 2維搜索算法，改進算法的運算量大大減少，可對信號實現較為快速的估計。

4 實驗結果及分析

本文對改進算法的抗噪聲性能、參數估計性能和計算量進行了實驗，并進行結果分析。

4.1 算法的抗噪聲性能驗證

為驗證改進算法的抗噪聲性能，實驗中選取的LFM信號為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。在實驗過程中，設置虛警概率為10—6，分別采用改進算法和文獻[14]中的高效FRFT算法在—15～10 dB的信噪比區間內對LFM信號進行仿真分析，且在每個信噪比條件下均進行1000次蒙特卡洛仿真實驗，得到的檢測性能曲線為圖6。仿真結果表明，相比于高效FRFT算法，改進算法的檢測性能得到有效改善。當信噪比大于等于—10 dB時，檢測概率在95%以上，可基本實現對LFM信號的檢測。

圖6 算法檢測性能曲線

4.2 算法參數估計性能驗證

為驗證改進算法的參數估計性能，選取LFM信號為：x(t)=expt∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000 Hz。對信號在—15～10 dB的信噪比區間內采用高效FRFT算法和改進算法進行仿真比較分析。圖7為兩種算法估計出的調頻斜率誤差對比圖和中心頻率誤差對比圖。實驗結果表明，與高效FRFT算法相比，改進算法能提升調頻斜率和中心頻率的估計精度，且在信噪比較低情況下，提升效果更加明顯；當信噪比為—10 dB時，仍能較為準確地估計出LFM信號的參數。

圖7 兩種算法對比

4.3 算法運算量驗證

為驗證改進算法的運算量，該實驗將信噪比設為—5dB,選取LFM信號為：,t∈[-0.25,+0.25]，采樣頻率為5000Hz。在允許階次誤差分別為0.01,0.001,0.0001 3種情況下，對信號采用高效FRFT,FRFT 2維搜索算法與改進算法進行對比研究。仿真結果如表1所示，其中，分別為調頻斜率和中心頻率的估計值，kerror和ferror分別為調頻斜率相對誤差和中心頻率相對誤差。

表1 3種算法對比仿真結果

從運算速度角度分析，改進算法的運算量大于高效FRFT，但相對于2維搜索算法大幅度減小，具有實時檢測性能。從參數估計精度角度分析，采用高效FRFT算法估計的調頻斜率和中心頻率誤差過大，失去估計作用；隨著允許階次誤差的縮小，FRFT 2維搜索算法和改進算法估計的參數誤差均有所下降，但相比較于FRFT 2維搜索算法，改進算法的參數估計誤差更低，更適用于需要高精度估計參數的情況。

5 結論

本文提出一種LFM信號檢測與參數快速估計方法，通過判斷LFM信號調頻斜率正負確定最佳階次所在初始區間，并結合分數階頻譜4階原點矩性質，對高效FRFT估計的旋轉階次所在區間進行判斷，精準確定合適的搜索區間和步長，實現最佳階次的快速搜索。本文所提算法能夠對信噪比為—10 dB及以上的信號實現參數的高精度估計，且運算量較低，在需要對低信噪比LFM信號參數進行精確估計的情況下，算法的實時處理性能更好。