病態加權總體最小二乘模型的正則化抗差解法

鄒時林 吳 星 王奉偉

1 東華理工大學測繪工程學院，南昌市廣蘭大道418號，330013 2 東華理工大學勘察設計研究院，江西省撫州市學府路56號，344000 3 同濟大學測繪與地理信息學院，上海市四平路1239號，200092

大地測量領域中部分解算模型如GPS快速定位[1-2]、大地測量反演[3-4]以及重力場向下延拓[5-6]等均存在病態問題。當模型病態時，常規的最小二乘解受系數陣的小奇異值影響而精度較低。為獲得穩定、可靠的參數估值，部分學者提出一系列有偏估計，如Tikhonov正則化法[7]和TSVD(truncated singular value decomposition)正則化法[8]。當處理病態問題需同時顧及系數矩陣誤差時，即病態總體最小二乘模型的解算，是當前測量數據處理研究的熱點之一。Fierro等[9]基于廣義奇異值分解(generalized singular value decomposition, GSVD)導出病態總體最小二乘問題的截斷奇異值法; 葛旭明等[10]基于狹義正則化原理，推導出病態總體最小二乘問題的廣義正則化解法; 孫同賀等[11]將Tikhonov正則化和TV正則化有效結合, 提出一種混合正則化解法; 文獻[12-13]利用平差參數之間的相互獨立性作為先驗約束條件，導出病態總體最小二乘問題的虛擬觀測值解法。然而，目前已有的病態總體最小二乘問題解法幾乎全是在等權條件下推導得到的，對于觀測值和系數陣精度不同的情形，缺少實用的解法。王樂洋等[14]將變量誤差模型(errors-in-variables, EIV)線性化并用嶺估計法解算病態加權總體最小二乘問題，由于線性化過程中舍去二階項，估值的精度受到影響。在實際測量過程中，觀測值除含有偶然誤差外，往往還受到粗差的影響。當觀測數據中含有粗差時，會極大影響參數估值，因此有必要研究病態總體最小二乘問題的抗差解法。目前有關抗差估計的研究多集中于最小二乘估計(least squares, LS)或總體最小二乘估計(total least squares, TLS), 鮮有關于病態加權總體最小二乘問題的抗差估計研究。本文首先建立病態加權總體最小二乘模型的正則化準則, 構建拉格朗日極值函數，利用Euler-Lagrange必要條件導出病態加權總體最小二乘模型的正則化解；在此基礎上，針對觀測值中的粗差，提出一種基于中位數法的病態加權總體最小二乘模型的正則化抗差解法。

1 等權病態總體最小二乘模型的正則化解

常用的變量誤差模型(errors-in-variables, EIV)可表示為[15-16]：

y-ey=(A-EA)x

(1)

式中，y∈Rm和A∈Rm×n分別為觀測向量和系數矩陣；ey∈Rm和EA∈Rm×n分別為觀測向量和系數矩陣的誤差；m、n分別表示觀測值個數和未知參數個數。其隨機模型為：

(2)

(3)

式中，α為正則化參數。根據式(3)可導出參數估值的迭代計算式：

(4)

2 病態加權總體最小二乘模型的正則化抗差解

2.1 正則化解

為不失一般性且顧及觀測值和系數陣的協因數陣可記為：

(5)

(6)

式(6)即為病態加權總體最小二乘模型的正則化準則，由此可建立拉格朗日極值函數：

αxTx+2λT(y-Ax-ey+(xT?In)·eA)

(7)

式中，λ為聯系數向量。將式(7)分別對各變量進行求導并令其為0，則：

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

由式(8a)和(8b)可得：

(9a)

(9b)

(9c)

將式(9)代入式(8c)可得：

(10)

將式(10)代入式(8d)可得：

(11)

(12)

通過推導可知，病態加權總體最小二乘模型的正則化解為：

(13)

(14)

現考慮等權情形，即取Qy=Im,Q0=In,Qx=Im，則：

(15)

將式(15)代入式(13)可得：

(16)

2.2 基于中位數法的正則化抗差解

當觀測數據受到粗差污染時，參數估值必定會受粗差影響，嚴重時甚至會偏離真值。選取迭代法是應用較為廣泛的抗差估計方法之一，其基本思想是根據參數估值的殘差，利用等價權函數重構觀測值的權重，并利用新的權值對參數估值進行迭代求解。對于病態加權總體最小二乘模型，利用式(13)求得正則化解后，由式(9a)和(9b)獲得觀測向量和系數矩陣元素的改正值，利用等價權函數對其重新定權，以IGG權函數為例：

(17)

(18)

(19)

(20)

3 算例分析

3.1 數值算例

第一類Fredholm積分方程為典型的病態問題，其基本形式為：

(21)

式中，K(x,y)為核函數，f(x)為真值函數，分別取為：

(22)

K(xj+1,yi)f(xj+1)]

(23)

(24)

圖1 最小二乘解和總體最小二乘解

圖2 正則化解、正則化抗差解與真值對比

模擬500次實驗，每次實驗均采用相同策略模擬隨機誤差和粗差，分別采用4種算法估計參數及其RMSE，結果見圖3。由圖可知，受病態性以及粗差影響，最小二乘解和總體最小二乘解的精度最差，其平均RMSE分別為0.137 3和0.407 7；正則化解可顧及系數陣的病態性及誤差，其精度較最小二乘解和總體最小二乘解有較大提升，平均RMSE為0.006 0；正則化抗差解可顧及粗差的影響，通過等價權函數重構權陣，能有效抵御粗差的影響，其精度最高，平均RMSE為0.002 3。

圖3 不同算法500次實驗獲得估值的RMSE

3.2 病態測邊網算例

模擬一個病態測邊網算例，該算例中共有9個坐標已知點和2個坐標未知點。其中，已知點與未知點的距離觀測值已經給定(表1)，圖4為點位二維平面分布圖。2個未知點位之間的觀測距離為13.107 8 m，其真實三維坐標分別為(0,0,0)和(7,10,-5), 要求通過已知的距離觀測值組建誤差方程來求解未知點坐標。

表1 控制點坐標及距離觀測值

圖4 空間測邊網平面點位分布

在該算例中，法矩陣的條件數為4.585 1×103，存在病態性。將1號點x坐標和2號點y坐標混入4～5 dm粗差，其余點坐標混入1～2 cm隨機誤差。與數值算例相同，分別采用4種算法估計參數，表2為不同算法獲得的參數估值及其RMSE。由表可知，最小二乘解和總體最小二乘解受模型病態性和粗差影響，其精度較低，RMSE分別為4.573 8和10.876 3。從結果來看，總體最小二乘解受病態性和粗差的影響更加嚴重；正則化解可同時顧及系數陣和觀測值的誤差，并且可通過正則化參數削弱模型的病態性，其精度相比最小二乘解和總體最小二乘解有較大提升，RMSE為0.745 7；正則化抗差解在正則化解的基礎上，利用等價權函數有效削弱粗差的影響，因此精度最高，RMSE為0.250 2。

表2 不同算法獲得的參數估值及其RMSE

4 結 語

當變量誤差模型的系數陣存在病態時，常規的最小二乘解和總體最小二乘解均不再適用。本文基于Tikhonov正則化原理，通過構建拉格朗日函數導出病態加權總體最小二乘模型的正則化解。當觀測值和系數陣的權陣均取單位陣時，本文公式退化為等權病態總體最小二乘模型的正則化解。在此基礎上，進一步提出基于中位數法的病態加權總體最小二乘模型的正則化抗差解法，該方法能夠自適應地對觀測值和系數矩陣元素進行分類定權，可提高等價權函數的有效性。算例分析結果表明，本文提出的正則化解法能夠較好地處理病態加權總體最小二乘問題，并且當模型混入粗差時，正則化抗差解法能夠自適應地重構權陣以抵御粗差的影響，得到較為穩定且可靠的參數估值。