齒輪五桿機構計算機輔助設計軟件的開發

張慧敏， 姜榮俊， 陶 芬， 王 君， 任前程

(湖北工業大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

齒輪五桿機構由變傳動比的五桿機構和定傳動比的齒輪機構組成，是一種新型、用途廣泛的組合機構。因能夠實現各種復雜的運動，其逐漸成為組合機構中的研究重點[1]。李佳等[2-3]以兩原動件的任意組合，使機構運動到極限位置作為機械模型，推導出兩自由度五桿機構的可動性充分條件，為機構尺寸綜合提供了尺寸約束條件。Sandor等[4-8]分別采用不同的運動分析方法對齒輪連桿機構進行了運動綜合與分析。張艷華等[9]利用CAD軟件，建立了帶約束的平面機構模型，并根據負載情況分析了平面機構的運動學特征。Wang等[10]提出了一種適用于任何單自由度平面和球面雙環連桿機構的奇異條件及旋轉關節空間的識別方法，在機構設計和綜合過程中將無分支點作為完全旋轉性約束條件，避免運動缺陷，并利用平面六桿機構進行了驗證。研究發現，在機構綜合的過程中，得到的大量備選機構還必須進行可動性矯正。Gregorio[11]提出了多自由度球面機構奇異性的分析方法；謝睿[12]基于球面四桿機構及共形幾何代數中的代數運算法則，提出了一套關于2T1R并聯機構轉動能力設計缺陷辨識的方法，對于具有轉動能力設計缺陷的機器人，采用改進細菌群趨藥性優化算法，對桿長值進行優化，實現了對轉動能力設計缺陷的修復。

目前，對于齒輪五桿機構的可動性運動分析多為理論方面的研究，判斷其關節旋轉空間及奇異點位置的過程非常復雜，計算時間長，求解效率低。針對這一問題，本文結合QT creator軟件與理論方法，通過一種計算機輔助設計軟件，將齒輪五桿機構參數導入該軟件，可對其分支點、分支進行自動識別，在顯示區可直接觀察到分支缺陷情況。若得出無運動缺陷的分支，可直接輸出機構分支圖；若得出有運動缺陷的分支，則可根據結果顯示區的提示，選取范圍內的傳動比n和初相角β，糾正分支。

1 齒輪五桿機構可動性分析

1.1 齒輪五桿機構環路

齒輪五桿機構可視作一個二自由度五桿機構與一個齒輪機構相耦合。齒輪機構約束了五桿環的一個自由度，使二自由度五桿機構變成單自由度雙環機構[13]。如圖1所示，a5為機架，主動齒輪1和從動齒輪4分別固接于五桿機構的曲柄ABDE上，各桿與x軸正方向的夾角以逆時針方向為正。

圖 1 齒輪五桿機構

整個機構必須同時滿足每個環路的運動條件，才能進行裝配和運動。設各桿長度為ai(i=1,2,…,5)，桿件對應的角度為θi(i=1,2,…,5)。

齒輪約束一般為

θ1-α=n(θ4-β)

其中：α、β分別為曲柄1和曲柄4的初相角；n為齒輪傳動比。

當齒輪五桿機構處于標準位置(即α=0)時，則齒輪機構的特征曲線可表示為

θ4=θ1/n+β

(1)

五桿機構的環方程為

a1eiθ1+a2eiθ2-a5-a4eiθ4-a3eiθ3=0

分別向x和y方向投影，利用三角平方和關系消去θ3，可得五桿機構的輸入—輸出曲線關系式：

(2)

代入半角公式，令x2=tan(θ2/2) ，則上式可簡寫為

(3)

其中：

若要式(3)有實數根，則

(4)

此時方程的解為：

(5a)

(5b)

x2與θ2為一一對應的關系，每種機構構型具有唯一性。當Δ1>0 時，式(3)具有2個不同實根，對應著五桿機構的2種構型。當Δ1=0時，方程只有單解，對應著機構只有1種構型，且此時五桿機構處于奇異位置。當Δ1<0時，方程無解，表明在此參數下的機構無法連續運動。

將式(4)化簡，可得到

Δ1=-4S1S2≥0

(6)

其中：

S1=(a5+a4cosθ4-a1cosθ1)2- (a2+a3)2+(a4sinθ4-a1sinθ1)2

(7a)

S2=(a5+a4cosθ4-a1cosθ1)2+ (a4sinθ4-a1sinθ1)2-(a2-a3)2

(7b)

S1=0和S2=0表示關節旋轉空間的邊界，也稱為邊界曲線或奇異曲線[14-15]，邊界曲線上的點表示五桿機構處于奇異位置，關節旋轉空間內的點則表示五桿機構能運動到此位置。

1.2 齒輪五桿機構分支點識別

機構只有一個自由度，說明只要確定輸入值便可得到整個機構的可行性。但分支點的存在導致機構僅在某一段角度區間中具有可行性，且齒輪五桿機構的分支點位于齒輪機構的特征曲線與五桿機構的關節旋轉空間邊界的交點處。

將式(1)代入邊界曲線S1中消去θ4，令x1=tan(θ1/2)，可得到

(8)

1)當Δ2>0時，方程有兩個不同的解：

(9a)

(9b)

表明齒輪機構特征曲線與五桿機構的邊界曲線S1存在兩個交點，分別為機構分支點θ1[1]和θ1[2]。

2)當Δ2=0時，方程只有一個解，即機構只有一個分支點。

3)當Δ2<0時，方程無解，即齒輪機構與邊界曲線S1無交點，即機構不存在分支點。

同理，將式(1)代入邊界曲線S2消去θ4，代入半角公式x1=tan(θ1/2)，可得到

(10)

1.3 齒輪五桿機構分支及子分支識別

對于齒輪五桿機構，必須同時滿足齒輪機構和五桿機構的運動條件，才能連續運動。

可通過以下方法來識別齒輪五桿機構的分支和子分支。

1)滿足式(1)，則表示齒輪機構能連續運動; 滿足式(4)則表示五桿機構能連續運動；只有同時滿足這兩個公式，齒輪五桿機構才能裝配和運動。

2)式(1)表示齒輪機構的輸入輸出曲線，而式(4)表示五桿機構的關節旋轉空間。齒輪五桿機構的分支為齒輪機構的輸入輸出曲線與五桿機構的關節旋轉空間的公共部分，每一部分代表了一個分支。

3)分支點為齒輪機構的輸入輸出曲線與五桿機構的關節旋轉空間邊界曲線的交點。齒輪機構的輸入輸出曲線可由奇異點(死點和分支點)分成若干部分，僅滿足式(4)的部分為有效分支，也是齒輪五桿機構的分支。

4)通過式(5)識別齒輪五桿機構的子分支。每個輸入值θ1都可能對應著1個或2個θ2，即在每個分支中，每一個輸入可能對應著1種或2種機構構型，也就是1個或2個子分支，子分支可通過式(5a)和式(5b)獲取。當Δ1=0 ，每一個輸入對應一個θ2值，機構只存在1種構型，即只有1個子分支；當Δ1>0 ，每一個輸入對應2個θ2值，機構有2個子分支。

1.4 齒輪五桿機構分支糾正

要使齒輪五桿機構描繪出完整封閉的連桿曲線，機構必須連續平穩的轉動，即齒輪五桿機構的分支要具有完全旋轉性，需滿足三點：1)五桿機構能連續運動；2)齒輪機構與五桿機構邊界曲線無交點；3)齒輪機構所在位置完全處于五桿機構關節旋轉空間內。

不具有完全旋轉性的分支是含有運動缺陷的，會阻礙機構的連續運動，應當進行分支糾正，避免運動缺陷。所以在機構設計及軌跡綜合過程中，將Δ1≥0、Δ2<0及Δ3<0作為約束條件，可防止分支點的存在，避免運動缺陷。

當五桿機構參數確定時，可得到其關節旋轉空間及奇異曲線。因此，可通過改變齒輪機構的傳動比n及初相角β來糾正分支。

2 計算機輔助設計軟件框架

齒輪五桿機構的分支、分支點識別過程計算時間長，求解效率低。為了簡化計算，可采用人-機對話的方式，將1.2及1.3節的識別過程通過計算機輔助軟件來實現。通過QT creator軟件搭建界面，設計一款可以自動識別齒輪五桿機構分支和分支點的計算機輔助設計軟件，對給定參數的齒輪五桿機構分支、分支點進行判定，同時可以輔助糾正不具有完全旋轉性的齒輪五桿機構分支，為機構設計提高效率。如圖2所示，該程序流程主要分成以下幾個部分。

圖 2 程序運行流程

1)數據輸入模塊：為了方便用戶根據五桿機構的關節旋轉空間形狀來糾正分支，將齒輪機構的參數設置放在主界面，用戶可隨時修改齒輪機構參數來糾正分支，五桿機構的連桿參數設置放在二級界面。

2)繪圖模塊：采用逐點掃描法，從左到右和從下到上，掃描顯示區域內的每個像素點，并且參照圖3的繪圖邏輯，以PANTONE色卡為參照，賦予顯示區域的每個像素點RGB值。

圖 3 齒輪五桿機構程序繪圖邏輯

3)顯示模塊：根據主界面的圖像，可以調整圖像的顯示區域，根據需求可在主界面顯示齒輪五桿機構所有分支點，并且可得到無運動缺陷齒輪五桿機構的極限初相角的值，最后將結果匯總到消息匯總框，方便用戶查看和糾正。

3 特征識別過程

3.1 分支點識別過程

分支點為黑線與紅線、藍線與紅線的交點，分別代表了五桿機構的二桿件BCD處于拉伸共線(S1=0)及重疊共線(S2=0)的狀態。理論上兩條線的交點數僅為1，但受軟件繪圖精度及曲線線寬等因素的影響，每個理論交點附近會存在多個實際交點，故軟件中曲線線寬可由用戶自行調節。為了減小誤差，參考解析法中四舍五入近似取值法，交點坐標選取離末端交點最近的整數點。

3.2 極限初相角識別過程

極限初相角指的是齒輪機構所在直線與關節旋轉空間的邊界曲線(S1或S2)只有一個交點時得到的初相角，即分支只存在一個分支點的情況下的齒輪機構初相角。導入五桿機構參數，可得到五桿機構的關節旋轉空間，用戶需要根據關節旋轉空間的形狀在主界面中輸入合適的傳動比，在關節旋轉空間內(Δ1≥0)能夠搜索到與關節旋轉空間邊界曲線(S1或S2)只有一個交點的直線，并得到該直線的y軸截距，即為齒輪機構極限初相角的值。由于初相角的極限值涉及初相角的取值區間是否包含端點問題，程序在搜索時進行了取整，得到極限值只能作為開區間的端點。

4 軟件界面設計

4.1 主界面說明

主界面包括預處理區、圖像顯示區、繪圖功能區、結果顯示區和消息匯總區等5個區域(圖4)。

圖 4 主界面

其中，預處理區包括調整顯示區間與連桿參數設置區。調整顯示區間默認為360°，用戶可根據需要調整顯示區間中X和Y的起始值，通過導入連桿參數可獲取θ1和θ4的關節旋轉空間。

圖像顯示區可顯示齒輪五桿機構輸入角θ1和輸出角θ4的分支識別圖。紅色直線表示齒輪機構的輸入輸出曲線，黑色及藍色曲線之間的灰綠色區域表示θ1和θ4的關節旋轉空間，紅色直線與黑色曲線、藍色曲線的交點為分支點。

繪圖功能區為用戶的操作區。點擊繪制特征曲線鍵，可得到依據用戶輸入的連桿參數繪制出五桿機構的關節旋轉空間。用戶可在識別框中輸入傳動比及初相角的值來識別分支及分支點。也可以根據得到的關節旋轉空間的形狀，輸入合適的傳動比來搜索初相角β的極限取值，通過改變初相角來糾正機構的分支。點擊重新繪制圖像鍵，可以清除齒輪機構所在直線，重新輸入齒輪機構參數，識別分支及分支點。

結果顯示區在圖像下方。顯示得到的β極限值和分支點，以表格的形式呈現，每一列的X，Y坐標對應一個分支點的坐標，X表示輸入θ1的值，Y表示輸出θ4的值，無分支點則不顯示，并在消息匯總框里顯示“無分支點”。

4.2 二級界面說明

在主界面點擊連桿參數設置鍵，彈出如圖5所示的連桿參數設置界面。用戶可輸入連桿參數，同時可以調節關節旋轉空間的邊界曲線線寬，數值越大，曲線越粗，分支點的誤差越大，因此應盡量將線寬調節到千分位來減小誤差。

圖 5 連桿參數輸入界面

在主界面點擊調整顯示區間鍵，彈出如圖6所示的調整顯示區間界面。圖中θ1與θ4分別代表繪圖時θ1與θ4的起始坐標。默認以θ1與θ4的起始坐標開始的360°為一個區間，用戶可根據需要通過調整θ1與θ4的起始值來調整圖像的顯示區間。

圖 6 調整圖像顯示區間界面

5 計算機輔助設計軟件實例

5.1 分支自動識別實例

依據圖2所示的程序運行流程進行齒輪五桿機構的分支識別。

輸入齒輪五桿機構參數(a1=7，a2=4，a3=6，a4=8，a5=8，n=-1，β=0)，以θ1為輸入，θ4為輸出，經過調整得到圖7所示圖像，可得到分支點1.(-141°，141°)、2.(-35°，35°)、3.(35°，-35°)、4.(141°，-141°)。從顯示的圖像中，還可以得到機構的有效分支[-35°，35°]以及兩個連續的分支[-180°，-141°]和[141°，180°]。

圖 7 計算機輔助識別分支

5.2 輔助分支糾正實例

輸入五桿機構的尺寸參數，可得到五桿機構的關節旋轉空間。根據五桿機構關節旋轉空間的形狀，輸入合適的齒輪機構傳動比，搜索初相角β的極限值，根據極限初相角和圖像確定初相角的取值開區間，在區間內選擇合適的β值，可得到具有完全旋轉性的分支，即機構無運動缺陷。

根據上述程序操作，輸入五桿鏈的參數(a1=9，a2=4，a3=6，a4=9，a5=3)，可得到圖8所示的五桿鏈的關節旋轉空間圖，可看出其形狀沿著直線y=x方向延伸，因此在齒輪減速比輸入框中輸入“1”，點擊搜索β鍵可得到圖9，可以得到β的極限值為-45°，-33°，-6°，6°，33°，45°。從圖中可得到初相角β的取值范圍為(-6°，6°)，(33°，45°)，(-45°，-33°)。從取值區間內任意選取一個值，如取β=40°，可得到如圖10所示結果，可以看出得到的分支具有完全旋轉性。

圖 8 五桿鏈關節旋轉空間

圖 9 計算機輔助糾正分支

圖 10 計算機輔助分支糾正結果

6 結論

1)利用判別式分析了齒輪五桿機構的分支點、分支及子分支識別過程。

2)結合QT creator軟件，開發了一種齒輪五桿機構計算機輔助設計軟件，在軟件界面中直接觀察到分支點坐標及極限初相角的值，簡捷快速地實現齒輪五桿機構的分支點及分支的自動識別。

3)結合齒輪五桿機構進行實例分析，驗證了該軟件可通過調整齒輪鏈傳動比n與初相角β的值，對具有運動缺陷的齒輪五桿機構進行分支自動糾正，得到具有完全旋轉性的齒輪五桿機構。相對于一般解析法，利用計算機輔助設計軟件識別分支及輔助糾正分支更加簡單、快捷且直觀，提高了機械設計效率。