數(shù)學(xué)問題解答

2616平面上給定n個點，任意三點不共線，過任意兩點作直線．已知任意兩條直線既不平行也不垂直，過這n點中任意一點向另外n-1個點的連線作垂線，則所有這些垂線的交點(不包括已知的n個點)的個數(shù)至多有______個．

(江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 215500)

2617如圖1，點A在⊙O上，點D在⊙O外，過點D作⊙O的割線DB2B1、DC2C1.連接AB1、AB2、AC1、AC2、AD，連接B1C1、B2C2分別與AD交于點E1、E2.

圖1

(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

證明如圖2，設(shè)AD與⊙O相交于點F，連接FB1、FB2、FC1、FC2.

圖2

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

因為A、B1、B2、F四點共圓，

所以∠B2B1F=∠B2AF，即∠DB1F=∠DAB2.

又∠1為△DB1F和△DAB2的公共角，

⑧

⑨

⑩

因為A、C1、C2、F四點共圓，

所以∠FAC2=∠FC1C2，即∠DAC2=∠DC1F.

又∠2為△DC1F和△DAC2的公共角，

由圓的割線定理得DB1·DB2=DC1·DC2，

2618△ABC中，證明：

(2)4cosAcosBcosC-(sinA+sinB+sinC)2+(1+cosA+cosB+cosC)2=0；

(3)[-6-2(cosA+cosB+cosC)]·

(華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成430079； 江蘇常州九章教育科技有限公司 曹洪洋213002)

證明設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，半周長為p，

根據(jù)三角形面積關(guān)系和海倫公式可得

p2r2=p(p-a)(p-b)(p-c)，

即pr2=p3-p2(a+b+c)+p(ab+bc+ca)-abc

=-p3+p(ab+bc+ca)-4pRr，

可得ab+bc+ca=r2+p2+4Rr.

根據(jù)恒等式

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1得

至此，只需將上述結(jié)論代入原式即可證明.

(安徽省樅陽縣宏實中學(xué) 江保兵 246700)

證明首先在△ABC中，由三角形內(nèi)切圓知識，有

設(shè)△A1A2A3,△A1A2A4,△A1A3A4,△A2A3A4的內(nèi)切圓的半徑分別為r4,r3,r2,r1，結(jié)合下圖有

同理

考慮到△ABC中的歐拉公式OI2=R2-2Rr，

所以

由于r1+r3=r2+r4,

2620已知a,b,c為正數(shù),且abc=1, 求證:

a2+b2+c2+6≥3(a+b+c).

(湖北省宜都市一中 劉宜兵 廖全清 袁昌芹 443300 )

證明不妨設(shè)0

a2+b2+c2+6-3(a+b+c)

故a2+b2+c2+6≥3(a+b+c),

當且僅當a=b=c=1時等號成立.

2021年9月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

2622如圖，四邊形ABOC中，AB=AC，OB=BC=CO，∠A=80°，點M在BC上，滿足∠CAM=20°．以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓交AM于Q，求證:∠QBC=10°．

(湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

2623設(shè)a≥b≥c≥0,a+b+c=3,求證:

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

2624在Rt△ABC中，點D為直角邊BC的中點，點E在斜邊AB上且滿足AE=CD，點F為

線段ED的中點，證明：∠CAF= ∠DEB.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

2625已知銳角△ABC，求

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)