基于學生思維 解決學生問題

王弟成

(江蘇省蘇州實驗中學 215011)

提高高三數學復習效益，提高學生數學綜合能力，提升學生核心素養，讓學生獲得高考理想成績，是高三教學的重要目標．高三教學中我們始終堅持“基于學生思維，解決學生問題”的教學方法，讓學生思維先行，展示學生思維，學在教的前頭，教師針對學生“已有思維”及時診斷，發現問題，引導學生質疑探究，激發學生思維，比較改進，優化提升．在解決學生問題過程中落實四基，發展四能，提升素養，取得較好的復習效果．現以一道高考函數綜合題求解教學為例，談談我們的教學思考．

題目：(2018全國卷Ⅱ)已知函數f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

第(1)問給出a=1，f(x)是具體函數，學生按步驟有序思維，連續求導，判斷單調區間，求最小值，再判斷單調性，尋求最小值．難度不大，學生不存在問題，都能正確解答．

學生解答主要是第(2)問不會解、不嚴謹、不全面，所以課堂教學主要針對(2)問教學．

1 展示解法 指出問題 探究完善

學生解法1由f(x)=ex-ax2，得f′(x)=ex-2ax，

設g(x)=ex-2ax，則g′(x)=ex-2a．

(i)當a≤0時，g′(x)=ex-2a>0，

所以g(x)=ex-2ax在(0,+∞)上單調遞增，

又g(0)=1，所以g(x)>g(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增，

所以f(x)>f(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上沒有零點．

(ii)當a>0時，由g′(x)=ex-2a>0得，

當x∈(-∞,ln 2a)時，g(x)單調遞減，

當x∈(ln 2a,+∞)時，g(x)單調遞增．

所以在(0,+∞)上，g(x)有最小值，即

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)， ……

教學片斷1: 改進討論過程 優化討論切入點

師：上面是部分同學的解法，主要是從參數a的一般情況討論起，分a≤0,a>0等情況討論，同學們考慮是否可以改進？

生2提出，討論可以改進，由于當x≥0，此時ex≥1，所以可以直接討論2a與1的關系.

學生解法2由f(x)=ex-ax2，

得f′(x)=ex-2ax，

設g(x)=ex-2ax，則g′(x)=ex-2a．

由于x∈(0,+∞)，所以g(x)=ex>1．

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)，

教學片斷2: 點出關鍵問題 師生探究完善

學生一片沉默，沒有提出異議，顯然認為這樣解答可以了．這樣老師先指出問題所在，以啟發學生思考．

經老師提醒生3提出要說明g(x)是否有零點，僅有單調性是不夠的．由于當x∈(0,ln 2a)時，由于g(0)=1，g(ln 2a)<0，g(x)是連續的，必存在x1∈(0,ln 2a)使g(x1)=0．所以g(x)一定是先正，后負，再正，因為g(x)一定有零點．

師：很好！找到這個x1是必須的，那(ln 2a,+∞)呢？要不要也說明g(x)有零點呢？否則g(x)單調遞增是下列哪種情況呢？同學們為什么自覺認為是第二種情況，理由是什么？

學生4提出從直觀感知，g(x)的圖象應是第二種情況，但直觀不能代替推理，還是要在(ln 2a,+∞)找x2使g(x2)=0，但學生普遍感到困難無多下手。

師：(1)問所證明結論ex-x2≥1能給我們什么啟發？此式能說明什么問題？

在教師啟發后，生5提出可以借助不等式ex-x2≥1進行放縮.由ex-x2≥1，得ex≥x2+1，所以ex>x2．所以當x∈(0,+∞)時，易證2a>ln 2a，所以g(2a)=e2a-2a·2a>(2a)2-4a2=0，所以在(ln 2a,+∞)上存在x2=2a使g(x2)=0．所以g(x)在(0,x1)為正，在(x1,x2)為負，在(x2,+∞)為正，從而f(x)先增，后減，再增．

師：同學們補充得非常好.通過第(1)問隱含的信息，結合放縮統一ex與x2關系，其目的是為方便找到x2，這也是這類問題中找點常用手法，希望同學們能夠理解、掌握，并學會遷移運用．至此解法2是否就完善了？

生5提出對于f(x)也存在同樣的問題，要說明是否存在零點，否則也是不完善的，也會出現如圖所示情況.

由于f(0)=1>0，所以f(x1)>1，

而g(x2)=ex2-2ax2=0，

若x2<2，則f(x2)>0，此時f(x)沒有零點．

生6提出由(1)得x>0時，ex>x2，若直接放縮得f(x)>x2-ax2，又x2-ax2<0，不可能成功．

師：為什么會是這樣？說明什么問題？大家可以直觀感覺到當x→+∞時，f(x)>0．怎么辦？畫畫圖象看能給我們什么啟發？

生7提出可以將ex放大一點，考慮證明ex>x3．

師：如何證明？請大家動手．

設h(x)=ex-x3，(x>0)，證明h(x)>0．要進行三次導，很麻煩．

師：好！上面證明ex>x3，處理方法很值得我們借鑒.積式比差式好，積式求導后方便求出單調區間．還能放再大一點嗎？如能證明ex>x4(在一定區間上)也行，ex>x2對我們有什么啟發？如令x=2a，則有e2a>(2a)2=4a2，也可以變為e2a=(ea)2>(a2)2=a4等等，如何選擇x的值，能使f(x)>0？

生9提出選擇x=4a，f(4a)=e4a-a(4a)2=(e2a)2-a(4a)2>16a4-16a3>0．

師：漂亮！利用已證明結論，作適當變換，就得到所要的結果，這是最經濟的事.這也是我們解題要特別注意的地方.至此我們完整地、嚴謹地解決此題．雖然討論有點煩，但我們解決了，我們成功了，收獲很大.下面看解法3．

教學片斷3: 類比思維 發現問題 自我解決

師：這是部分同學的解法，很漂亮.繁則思變，對給定的函數通過函數與方程關系進行等價轉換，把所求參數分離出來，構造出無參數函數，尋求不一樣的解法，其思路明顯比解法1簡捷！討論減少了，為什么會出現簡捷情況？

生10認為通過分參后使所求解函數中不含有參數，函數是具體的，圖象是固定的，單調性是定的，不需要對參數a分類討論，當然簡捷．

2 比較改進 優化提升

教學片斷4：比較解法2與3，形成新方法

(i)當a≤0時，h(x)>0,h(x)沒有零點；

(ii)當a>0時，h′(x)=ax(x-2)e-x.

當a∈(0,2)時，h′(x)<0;

當x∈(2,+∞)時,h′(x)>0.

所以h(x)在(0,2)單調遞減，在(2,+∞)單調遞增．

所以h(x)在(0,2)有一個零點，

由(1)知，當x>0時，ex>x2,

此題看答案似乎很簡潔，但簡潔卻不簡單，簡潔中卻蘊含不簡單的思維，不簡單的方法，不簡單思想，需要在不同解法中比較感悟，細節問題不同處理中，才能感得真諦！

3 反思感悟 改進堅持

(1)高三教學要讓學生思維先行

讓學生的思維走在教師的前頭．高三復習不是知識、方法、思想的簡單重復，更不是概念、性質、公式的簡單回憶，而是學生在學習內容豐富后對知識、方法、思想的再認識，再理解．從系統的視角，聯系的觀點，整體的認識，對知識理解的再深化．所以高三教學是讓學生建構更深層的理解，更高階的思維，更綜合的能力，更核心的素養．但高三又是學生學習后的再學習，學生已掌握基礎知識、基本方法，積累了大量的數學基本活動經驗，所以教學又不能同于新授課教學，學生具備先解決條件．我們復習指導原則是“基于學生思維，解決學生問題”．讓學生思維先行，思在講的前頭，行在教的前面．教師有針對性地點撥、講解，引導學生質疑探究，合作學習，從而提升能力，提高素養．

知識讓學生梳理，學生自己看教材，根據一節或一單元內容自己系統梳理知識，包括概念、性質、定理等．學完一個單元后，再根據復習補充的內容進一步完善知識系統，形成有聯系的知識“群”．練習讓學生先做，根據課堂時間讓學生課前先做一部分習題，即使課堂上補充的例習題，也要讓學生先做，做后再講，不做不講．想法讓學生先說，習題的解法、思路要讓學生先說，教師針對學生思路，或啟發思考，或點撥講解，或引導探究，或總結完善．錯誤讓學生先犯，學生有錯誤是正常的，有的錯誤也是老師防不住的，有問題先讓學生暴露，在錯誤基礎上講解才能理解更深刻．如本節課學生解法都有問題，讓學生暴露錯誤后再針對性探究講解，效果更好．反思讓學生先來，學習離不開反思，知識的深度理解，方法的準確運用，思路的靈活轉換，思想的自覺引領，能力的提升，素養的達成，都離不開學生的自我反思，在反思中提升．總之教師要鼓勵學生先行，做“解題方法的創造者，而不是習題答案的搬運工”．

(2)高三教學要基于各種資源重新設計課堂教學

教師的經驗，資料的習題，學生的解答等等，都是課堂教學的資源，課前教師收集整理各種資源，課堂要基于各種資源重新設計課堂教學．本題是一道高考題，練習中全班無一位同學解答與參考答案相同，說明學生都想不到這樣解，當然與之前未系統講解過此類題也有一定關系，但參考答案思想方法又必須讓學生深刻理解，所以借此題詳細講解，講深講透此類問題的處理方法與技巧很有必要．參考答案的方法是最簡捷的解法，很多簡捷的思維蘊含其中，課堂若直接呈現給學生，告訴學生，學生能接受、理解，甚至能模仿，但未必能理解其中的深意，不理解的方法是不可能遷移到新情境中的，自然談不上靈活運用．學生的解答多集中在解法1與解法2，而這兩種解法放在一起比較，集中不同優點，正好形成參考答案的解法．所以課堂教學看似無意，講解學生的解法，實則有意設計，基于學生的解法1與解法2，在比較基礎上提出解法3，學生理解自然水到渠成，甚至解法3學生都自己能創造出來．這樣方法不是老師強行“介紹”的，是學生在深刻理解基礎上自然形成的，學生既會，也懂，能用．既學會方法，也提升能力．這就需要教師根據各種資源靈活設計．

(3)高三教學要完善、提升學生解法，發展學生思維