MPAS動力框架和伴隨模式簡介以 及未來擴展和應用

鄒曉蕾

（南京信息工程大學 資料同化和應用聯合中心，南京 210044）

0 引言

跨尺度大氣預報模式（MPAS-A）具有最先進的新動力框架，適用于天氣和氣候研究。它在非結構球面細分質心Voronoi（SCVT）網格上求解一組完全可壓縮的非靜水壓大氣控制方程，在所有模式垂直面上都采用了C網格交錯離散方法。MPAS-A SCVT網格主要由不規則六邊形組成，對地球球體進行準均勻細分，并在需要時對目標區域進行局部細化。在后一種情況下，網格大小從高分辨率目標區域逐步變化到遠離目標區域逐步的粗分辨率區域。這是一種比傳統的用于區域模式的單向和雙向網格嵌套（譬如天氣研究和預報（WRF）模型）更有效的網格細化策略。MPAS-A由若干選定的物理套件組成，這些物理套件中的參數化方案與WRF模式中的相似但不完全相同。

MPAS-A是一個獨立的模式，帶有前、后處理器。它于2018年5月11日對外公布。由于MPAS-A獨特的SCVT變網格，開放性、規范性、科學性、先進性和兼容的WRF物理過程參數 ，選擇其發展一個未來先進的全球跨尺度四維變分（4D-Var）資料同化系統。第一步是建立MPAS-A絕熱部分的切線線性模式和伴隨模式。MPAS-A切線線性模式和伴隨模式允許在當前計算機上有效地計算任何4D-Var代價函數相對于極大維數模式初始條件向量的梯度。對于模式預測的敏感性研究，奇異向量集合預測以及涉及正規模態和伴隨模態的動力不穩定性和可預測性研究，伴隨模式亦是一個有用的工具。

1 MPAS-A 控制方程

MPAS-A動力框架由一組定義在地形追隨垂直高度坐標下的完全可壓縮的非靜力大氣模式方程組成。模式垂直坐標面的高度定義為：

其中，

ρ

是一個守恒量，以

ρ

定義通量變量，為其他守恒變量建立通量形式的方程，不會引入額外的項。在方程（2）中，

u

、

v

和

w

分別表示兩個正交的水平速度和一個從地球中心徑向向外的垂直速度；

q

、

q

、

q

、

q

等表示濕物質，如蒸汽、云水、雨水和霰等的混合比；

θ

是一個由下式定義的修正濕位溫：

使用通量變量定義的MPAS-A可壓縮非靜力大氣控制方程表示如下：

2 伴隨模式在求解4D-Var問題中的作用

不同類型觀測儀器在不同的時間和時間間隔上進行測量。要在某個分析時間獲得對大氣狀態變量的“最佳”估計時，4D-Var是要求這個大氣狀態變量的“最佳”估計，作為初始條件得到的數值天氣預報模式的模式大氣狀態預報值與相同時間的觀測值差距最小。可以象征性地把任何一個數值天氣預報模式寫成如下形式：

3 MPAS-A數值離散方案

使用MPAS-A中的SCVT網格對地球球面進行離散化。“Voronoi”一詞意味著每個網格單元

C

與生成點

x

存在這樣的唯一相關關系，位于

C

中的所有點都比其他任何點更接近

x

，并且

x

是生成

C

的質心。此外，連接兩個相鄰網格單元的生成點的線垂直并平分兩個單元共享的邊。

與任何結構網格相比，跟蹤非結構SCVT網格都更具挑戰性。在MPAS-A中可以跟蹤下述三種類型的網格元素確定網格單元：1）網格單元中心位置，即Voronoi網格的生成點；2）網格單元頂點位置；3）網格單元的邊的位置，即連接兩個相鄰網格單元中心的線與該邊相交的點。根據240 km分辨率下的MPAS-A準均勻非結構SCVT網格分布（圖1）和網格單元中心、頂點和邊的編號（圖2～圖4），全球球面被12個五邊形和連接任意2個五邊形的最短距離曲線（15個六邊形網格單元）準均勻地劃分為20個等邊三角形（圖1）。在每個等邊三角形中，都有六邊形網格單元。12個五邊形網格單元的編號依次為0～11。 3個網格均勻分布在20個等邊三角形的30個邊上，這90個網格的編號依次為11～101。在20個等邊三角形中，每個三角形內有3個網格單元，編號依次為102～161。編號為162～641的網格依次位于網格1～161的任意2個網格之間（圖2b）。然后將圍繞前161個單元的單元從642編號到1601，最后將剩余單元從1602編號到2561（圖2c）。可以注意到，隨著網格數量從161（圖2a）增加到641（圖2b），再增加到2561（圖2c），網格分布在全球范圍內是均勻的，分辨率逐漸增加。頂點按網格單元編號順序逐個編號（圖3）。網格的邊的編號從南極增加到北極（圖4）。圖5給出了MPAS-A可變分辨率網格分布示例，該示例在青藏高原上具有網格細化。網格分辨率從最高的25 km分辨率（在88°E，30°N附近）逐步降低到遠離青藏高原地區的92 km左右的較粗分辨率。

圖1 240 km分辨率下準均勻MPAS網格的全球分布 （有五條邊的單元格以灰色陰影顯示；任意兩個五邊形之間的最短距離（黑色曲線）經過15個網格單元的中心） Fig. 1 Global distribution of the quasi-uniform MPAS grid at a resolution of 240 km (Cells with five sides are shown in shades of gray, the shortest distance between any two pentagons (black curve) passes through the center of the 15 grid cells)

圖2 網格單元的全球分布 （a）0～101（紅色）和102～161（藍色）；（b）162～641（綠色）；（c）642～1601（黑色）和1602～2561（灰色） Fig. 2 Global distribution of grid cells (a) 0~101 (red) and 102~161 (blue), (b) 162~641 (green), (c) 642-1601 (black) and 1602~2561 (grey)

圖3 網格單元格及頂點序號 （對于網格單元格0～101的頂點序號為0～599（紅色）；網格單元102～161的頂點序號為560～959（藍色）；網格單元162～641的頂點序號為960～3839（綠色）；網格單元642～1601的未編號頂點序號為3840～4799的全局分布（黑色）；對于網格單元1602～2561的未編號頂點序號為4800～5619（灰色）） Fig. 3 Grid cells and vertex sequence numbers (vertex numbers for grid cells 0-101 are 0-599 (red), vertex numbers of mesh cells 102-161 are 560-959 (blue), vertex numbers for grid 162-641 are 960-3839 (green), vertex numbers of 642-1601 are 3840-4799 (black), for the unnumbered vertices of grid cells 1602-2561, the serial number is 4800-5619 (gray)

圖4 網格邊編號為0～74（藍色） Fig. 4 Grid edges numbered 0-74 (blue)

圖5 可變分辨率網格單元分布 （（88°E，30°N）附近分辨率最高，為25 km；最粗分辨率為92 km，位于遠離青藏高原地區；圖中還顯示了2000 m（實線）和4000 m（虛線）處的地形高度） Fig. 5 Variable resolution grid cell distribution ((88°E, 30°N) has the highest resolution of 25 km, the maximum coarse resolution is 92 km, located far from the Qinghai-Tibet Plateau, the figure also shows the terrain height at 2000 m (solid line) and 4000 m (dashed line))

MPAS-A在所有模式垂直層上把連續方程（5）～（9）在非結構SCVT網格上實現離散近似表達。C網格交錯差分法把法向速度分量（

u

）放置在網格邊上，并將其他大氣狀態變量（即密度、濕空氣位溫、比濕度等）放置在網格中心。C網格交錯差分法最初是為具有恒定科里奧利參數的有限差分淺水模式開發的，把它應用到全球SCVT網格不是一個簡單的問題。若對包含有網格邊上的切向速度的科里奧利項進行簡單的離散化，會使地轉模態變成不定常的，從而產生虛假數值解。Thuburn等解決了這一具有挑戰性的問題，他們把網格邊上的切向速度，表達為共享該邊的兩個網格上所有法向速度的加權平均值：

圖6 二維淺水模式中預報變量（Φi,ue）和診斷變量 （δi,ξv,ue）的位置定義 Fig. 6 Predictive variable (Φi,ue) and position definition of diagnostic variable (δi,ξv,ue) in two-dimensional shallow water

MPAS-A垂直網格是結構化的。垂直速度定義在垂直速度

w

層上，其幾何高度由數組“zGrid”提供。其他變量定義在位溫

θ

層上，其位于相鄰兩個w層的中點。MPAS-A模式采用龍格-庫塔時間積分方案，在一個時間步長內對時間傾向項進行三次更新。在滿足庫蘭特數 條件下，中心平流格式和迎風平流格式都是穩定的。MPAS-A使用了Klemp 等開發的分裂顯式積分技術來提高計算效率，即把低頻物理模態在一個時間步長 上進行積分，再把每個時間步長 內分成若干較小（聲波）時間步長（ ），在較小時間步長上對與聲波傳播有關的項進行積分。

4 MPAS-A伴隨數值模式及其在敏感性研究中的應用

為了發展MPAS-A伴隨數值模式，首先從MPAS-A中分離出MPAS-A的動力框架。然后使用Python驅動程序解析名稱列表、操作矩陣、控制模擬時間流、讀取模式輸入和輸出模式預報。最后，為了保證計算效率，保留了MPAS-A的Fortran程序，進行大計算量的模式積分。在此基礎上，發展了MPAS-A絕熱模式的切線線性模式和伴隨模式，并以Jablonowski和Williamson斜壓波為例驗證了這兩個模式的正確性。MPAS-A伴隨模式適用于準均勻和變分辨率非結構SCVT全球網格。Zou成功地將MPAS-A伴隨模式應用于相對敏感性研究，展示了地面氣壓預報對模式初始場的相對敏感性分布，詳情和數值結果見Zou的研究。類似的研究可應用于其他模式預報量。

5 未來計劃

發展MPAS-A切線線性模式和伴隨模式，只是朝著開發先進的MPAS-A 4D-Var全球同化系統這個最終目標所做的初步努力。下一步將會發展物理參數化方案的伴隨算子，包括積云參數化、行星邊界層參數化和微物理過程參數化，并構建背景誤差協方差矩陣

B

。此外，后續將把颶風渦旋初始化和衛星資料同化等先進科學技術引入到該系統中。在MPAS-A 4D-Var全球同化系統中，還將逐步增加創新組件，包括跟隨多衛星軌道的多個資料同化子系統、分等級天氣尺度感知同化策略、圖像同化新技術以及機器學習等。MPAS-A 伴隨模式還可用于其他研究，譬如優化尺度感知的物理參數化方案，集合預報奇異向量以及大氣動力不穩定性和可預報性研究。