淺析MathCAD數值模擬在大學物理教學中應用

劉玉麗 王鈺茹 劉協權

(陸軍步兵學院基礎部理化教研室 江西 南昌 330103)

近年來，隨著計算機技術的不斷發展，現代教學改革對課堂教學也提出了更高的要求，如何采用現代化多媒體手段有效地輔助教學，提高課堂教學效率，成為了研究的一個熱點.大學物理課程中有許多抽象、復雜的物理規律和現象，僅用傳統的教學方法授課會使教學受到一定的局限性，而用計算機軟件技術進行數值模擬，已成為最常用的方式.目前，用于數值模擬的軟件主要有MathCAD，MATLAB，Maple，Mathematica，它們各有各的特色，其中Maple和Mathematica擅長符號運算，MATLAB擅長矩陣運算和圖形處理，MathCAD擅長數值計算和繪圖.MathCAD的主要特點是輸入格式與人們習慣的數學書寫格式近似，比MATLAB編程語言更簡單，采用所見即所得界面，特別適合一般無須進行復雜編程或要求比較特殊的計算，易學，容易理解，操作十分簡單，而且它的輸入界面特別友好[1].若將MathCAD引入大學物理教學中，通過對MathCAD語言的編譯，可以非常簡便地實現對物理規律、現象的仿真.下面通過實例介紹MathCAD數值模擬在大學物理教學中的應用.

1 “拍”現象的模擬

兩個同方向不同頻率的簡諧振動，如果頻率都比較大，但頻率之差很小，那么在合成時，有的地方加強，有的地方減弱，這種振幅時大時小的現象稱為“拍”[2].設兩個分振動的振幅都為1，頻率分別為10 000和10 100，利用如下編程可以模擬出“拍”的形成圖.

A:=1,ω1:=10000,ω2:=10100

δ:=0,α(θ):=δ+θ定儀初相位

t:=0,0.01..2 定義時間變化范圍

x1(t,θ):=A·cos(ω1·t+α(θ))

x2(t,θ):=A·cos(ω2·t+α(θ)) 定義兩個分振動

運行結果如圖1所示.

圖1 拍的形成

“拍”現象在聲振動、電磁振動和波動中經常遇到.而一般物理教材在討論到“拍”的觀察時，多數是舉兩個頻率相近的音叉同時發出聲時，會在人耳中產生嗡嗡聲，以說明合振動的振幅存在時強時弱的周期性變化，這是從聽覺的角度給學生建立“拍”現象的，但用眼睛卻看不到，更談不上定量分析.現在課堂教學多采用多媒體教學，當講到“拍”的形成時，我們就可以打開MathCAD軟件，通過幾句簡單的MathCAD語言，把“拍”現象模擬出來，將該過程通過投影儀投影到大屏幕上，不僅能看到“拍”現象，還可以調節各振動的初始位置、初相位和角速度來觀察不同條件下的“拍”現象，圖1就是我們在一定的初始條件下得到的“拍”現象.學生不僅能觀察到“拍”現象，還能感覺到這個數值計算軟件既簡單又方便，這將引起學生的學習興趣.

2 麥克斯韋速率分布律的模擬

熱學中麥克斯韋速率分布律是大學物理講授中的一個重點和難點.下面我們模擬氧氣分子分別在200 K,500 K,1200 K時的速率分布曲線，以及氧氣、二氧化碳、甲烷在200 K時的速率分布曲線.編程如下：

運行結果如圖2所示.

圖2 麥克斯韋速率分布曲線

圖2左圖中實線是氧氣在200 K時的速率分布曲線，虛線是500 K時的速率分布曲線，長劃線是1 200 K時的速率分布曲線，從左圖中可以看出，當溫度升高時，氣體分子的速率普遍增大，速率分布曲線中的最概然速率vp向量值增大方向遷移，但歸一化條件要求曲線下的總面積不變，因此，分布曲線寬度增大，高度降低，整個曲線變得較平坦些，即溫度越高，速率大的分子越多，這就是通常所說的溫度越高，分子運動越劇烈的真正含義[3]；右圖中實線是二氧化碳的速率分布曲線,虛線是氧氣的速率分布曲線，長劃線是甲烷的速率分布曲線，在相同溫度下，對不同種類的氣體，質量大的，速率分布曲線中的最概然速率vp向量值減小方向遷移，因總面積不變，所以，分布曲線寬度變窄，高度增大，整個曲線比質量小的顯得陡些，即曲線隨分子質量變大而左移.

3 等勢線的模擬

假設有一對電偶極子，坐標分別為(-1.01，0)和(1.01，0)，編程語句如圖3(a)所示，等勢線[4]運行結果如圖3(b)所示.

圖3 電偶極子的等勢線

通過圖3，我們可以清晰地觀察到電偶極子的電勢分布，正電荷的電勢像一山峰，負電荷的電勢像一海谷，而且山峰的高度等于海谷的深度.

4 光柵衍射的實驗結果模擬

在光柵衍射中，相鄰兩主極大之間還分布著一些暗條紋，這些暗條紋是由各縫射出的衍射光因干涉相消而形成的，在相鄰兩暗紋之間的位置光強并不為零，但其強度要比各級主極大的光強小得多，稱為次級明條紋.當單縫衍射的暗條紋位置與多縫干涉的主極大明條紋位置重合時，就會出現暗條紋，這種現象稱為缺級現象[5].設光柵常數為2 μm，縫寬為1 μm，入射光波長為500 nm，光振幅為1，編程語句如下：

d:=2,a:=1,A:=1,λ:=0.5

θ:=-π,-π+0.01..π 自變量范圍

運行結果如圖4所示.

圖4 光柵衍射光譜圖

從圖4可以看出，當縫數為4時，兩個主極大之間有3個暗紋，2個次極大.還可以看出，±2,±4,±6,…級缺級.

光柵衍射的光譜形狀以及缺級現象的表現都是教學中比較難理解的內容，而實驗結果又無法直接顯示.通過MathCAD模擬的實驗現象，如圖4所示，可以把空洞的實驗描述具體化，從而幫助學生直觀地了解光柵的縫數以及縫寬對衍射圖樣的影響、缺級現象在衍射圖譜中的表現形式.

物理學是一門實驗的科學，因此大學物理教學不可能完全獨立于物理實驗而進行.而在基本知識和原理的講授過程中，更需要不斷地通過實驗來加以佐證，但由于教學資源和實驗條件的限制，不可能實現理論教學和實驗教學同時進行.為了彌補這種缺憾，可以通過計算機模擬實驗結果以達到同樣的教學效果.

5 結論

通過上面的一些應用可知，MathCAD是一款功能強大的數值計算軟件，使繁瑣的數學運算變得簡單，并且有出色的繪圖功能.通過模擬物理現象，使其變得直觀、形象，可以提高課堂教學的效率和質量，MathCAD在大學物理課程教學中是一個非常有效的輔助工具.