Phase-type分布下的信度模型

房婷婷，竇 燕

(新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)， 烏魯木齊 830012)

信度理論是一種重要的經(jīng)驗(yàn)估費(fèi)方法，精算師利用過(guò)去n年的索賠數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第n+1年的最優(yōu)保費(fèi)，而研究信度保費(fèi)最重要的環(huán)節(jié)是關(guān)于損失數(shù)據(jù)X=(X1，X2，…，Xn)的分布的討論。

經(jīng)驗(yàn)表明：由于歷史數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性很難給出索賠數(shù)據(jù)的分布，有學(xué)者提出采用在更一般的分布框架下建立信度模型，這樣可以使估計(jì)結(jié)果具有更強(qiáng)的通用性和穩(wěn)健性。例如， Hassan Zadeh等[1]研究了Phase-type分布下的貝葉斯保費(fèi)和信度保費(fèi)。其次，經(jīng)典信度模型中使用的對(duì)稱損失函數(shù)僅關(guān)注了估計(jì)值的精確度，忽略了擬合度的重要性。因此，許多學(xué)者致力于研究非對(duì)稱損失函數(shù)下的信度保費(fèi)。例如，溫利民等[2-3]分別在指數(shù)損失函數(shù)及Linex損失函數(shù)下推導(dǎo)了信度保費(fèi)；王娜娜[4]在熵?fù)p失函數(shù)下推導(dǎo)了信度保費(fèi)；張強(qiáng)等[5]在加權(quán)平衡損失函數(shù)下推導(dǎo)了信度保費(fèi)；房婷婷等[6]在Mlinex損失函數(shù)下推導(dǎo)了信度保費(fèi)。此外，在經(jīng)典信度模型中常假設(shè)索賠數(shù)據(jù)服從某個(gè)分布，實(shí)際上，歷史索賠數(shù)據(jù)X1，X2，…，Xn分布通常是未知的。在此情況下，胡瑩瑩等[7-8]研究了最大熵方法下的信度估計(jì)及純穩(wěn)健信度估計(jì)。章溢等[9]討論了概率密度函數(shù)的信度模型。李新鵬等[10]推導(dǎo)了具有風(fēng)險(xiǎn)相依效應(yīng)的信度模型。

經(jīng)典信度理論中，確定合適的Xij|θi的分布是十分困難的，這是因?yàn)閭€(gè)體經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)不能用某個(gè)特定的分布描述。因此，采用具有多樣性結(jié)構(gòu)的分布將使預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確。進(jìn)一步地，在索賠數(shù)據(jù)分布未知情況下，需要討論如何計(jì)算信度保費(fèi)才更符合實(shí)際要求。而在建立信度模型時(shí)，使用非對(duì)稱損失函數(shù)可以避免由對(duì)稱損失函數(shù)引起的高保費(fèi)征收問(wèn)題，尋找合適的非對(duì)稱損失函數(shù)尤為必要。結(jié)合以上問(wèn)題，本文以具有多樣性結(jié)構(gòu)的Phase-type分布為基礎(chǔ)，首先討論了帶通貨膨脹因子的單合同信度保費(fèi)和精確信度；再將信度估計(jì)結(jié)果推廣到多合同情況；最后，推導(dǎo)了平衡損失函數(shù)下的多合同信度保費(fèi)及精確信度形式；最后進(jìn)行數(shù)值模擬部分，展示模型的穩(wěn)健性。

1 Phase-type分布

Phase-type分布描述了具有有限個(gè)瞬時(shí)態(tài)和一個(gè)吸收態(tài)的馬爾可夫過(guò)程進(jìn)入吸收態(tài)的時(shí)間分布。Phase-type分布有許多優(yōu)秀的性質(zhì)，其一，它可以近似為任何一種分布；其二，用PH分布代替指數(shù)分布，使得其在算法上更易求出顯式解。這些性質(zhì)使得PH分布廣泛應(yīng)用于衛(wèi)生保健、金融、運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域，但在保險(xiǎn)精算方面的研究卻少之又少。

考慮一個(gè)有n+1個(gè)狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間馬氏鏈{X(t)，t≥0}，其中{1，2，…，n}為瞬時(shí)態(tài)， {n+1}為吸收態(tài)。另外，假設(shè)n+1個(gè)狀態(tài)的初始概率為(π，πn+1)，這里πn+1=1-π′1，1是元素為1的列向量。記無(wú)窮小生成元Q為

這里D0為n×n的矩陣，d1為n×1的列向量。由于Q為馬氏鏈的生成元，所以有

Dij≥0， for 1≤i≠j≤n

Dii<0， for 1≤i≤n

和

D01+d1=0

定義1[1]若馬氏鏈進(jìn)入吸收態(tài){n+1}的時(shí)間分布為

X(t)=inf{t≥0，X(t)=n+1}

則稱X(t)為PH分布，記作X～PH(π，D0)。

根據(jù)定義，隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)有以下形式:

引理1[1]若X～PH(π，D0)，則X的概率密度函數(shù)為

f(x)=π′exp(D0x)d1，x≥0

不失一般性地，D0可以寫(xiě)成

P=I+(1/θ)D0

這里矩陣I為n階單位陣。因此，P可以寫(xiě)作

(1)

且

引理2[1]X|θ～PH(π，D0)的密度函數(shù)可以寫(xiě)成無(wú)窮個(gè)Erlang分布密度函數(shù)的和:

qn+1=π′Pn(I-P)1≥0，n=0，1，…

(2)

2 帶通貨膨脹因子的信度保費(fèi)及精確信度

在經(jīng)典信度理論中，給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ=θ時(shí)，索賠X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的，并且E(Xi|Θ)=μ(Θ)，Var(Xi|Θ)=υ(Θ)。然而，每年的索賠數(shù)據(jù)會(huì)受到通貨膨脹因子的影響。因此，需要建立帶通貨膨脹因子的信度模型。假設(shè)某保單n年的索賠數(shù)據(jù)為X=(X1，X2，…，Xn)，這些索賠數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ，Θ的先驗(yàn)分布為π(θ)。本節(jié)的目的是預(yù)測(cè)第n+1年的索賠。首先假設(shè)給定Θ=θ時(shí)，X1，X2，…，Xn條件獨(dú)立同分布，且

E(Xj|Θ)=rjμ(Θ)

Var(Xj|Θ)=r2jσ2(Θ)

j=1，2，…，n

(3)

其中r為每年的通貨膨脹因子，并記

(4)

定理1在假設(shè)條件(3)(4)下，Xn+1的最優(yōu)線性信度估計(jì)為

(5)

證明:

為得到Xn+1的最優(yōu)線性信度估計(jì)，首先最小化下式

(6)

對(duì)(6)關(guān)于α0和αj求偏導(dǎo)并令結(jié)果為0，有

基于式(3)(4)，可得

(7)

(8)

聯(lián)立式(7)(8)，有

因此，可得

綜上，定理1得證。

根據(jù)式(5)，假設(shè)隨機(jī)變量Xi|Θ服從PH分布，則它可以寫(xiě)成N個(gè)參數(shù)為Θ的指數(shù)分布的和，即

Xn+1=Y1+…+YN

(9)

這里Yj，j=1，2，…，N是相互獨(dú)立的指數(shù)分布。N表示馬氏鏈到達(dá)吸收態(tài)的轉(zhuǎn)移數(shù)且N～PHd(π，P)，P如式(1)所示。則Xn+1的條件均值和條件方差可以寫(xiě)成

rn+1μ(Θ)=E(Xn+1|Θ)=E(Y1|Θ)E(N)=

Θ-1E(N)

r2(n+1)υ(Θ)=Var(Xn+1|Θ)=

Θ-2(Var(N)+E(N))

(10)

因?yàn)镹～PHd(π，P)，易計(jì)算出式(10)的前半部分。特別地，若風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ～Γ(Κ，γ)，即

那么式(10)的后部分可以寫(xiě)成

綜上，信度保費(fèi)(5)可表示為

接下來(lái)討論帶通貨膨脹因子的精確信度。

Jewell[11]證明了在均方損失函數(shù)下，若給定Θ=θ時(shí)，損失X1，X2，…，Xn服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，且Θ的先驗(yàn)分布π(θ)服從指數(shù)分布族，則貝葉斯保費(fèi)具有信度保費(fèi)的形式。對(duì)于帶通貨膨脹因子的信度模型，得到的結(jié)論如下。

定理2在假設(shè)條件(3)(4)下，給定Θ=θ時(shí)，若條件密度函數(shù)fXj|Θ(xj|θ)有線性指數(shù)分布族的形式:

且共軛先驗(yàn)分布為

(11)

其中π(θ0)=π(θ1)=0，那么精確信度存在。

證明:

因?yàn)镋(μ(Θ))=μ且

下面有

(q(θ))-k*e-θμ*k*

即葉斯保費(fèi)E(Xn+1|X)具有信度保費(fèi)的形式，精確信度存在。

下面討論P(yáng)H分布下的精確信度形式。由式(9)，有

Xi=Yi1+…+Yi，Ni，i=1，…，n+1

假設(shè)X1，X2，…，Xn+1相應(yīng)的嵌入式馬爾可夫鏈為U1，U2，…，Un+1，參數(shù)記為(π，D0)。給定Θ=θ時(shí)，變量U1，U2，…，Un+1是條件獨(dú)立的。另外假定：

1) 給定Θ=θ和i時(shí)，Yij，j=1，…，Ni為條件獨(dú)立同指數(shù)分布的隨機(jī)變量。

2)Ni，i=1，…，n+1為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且與Θ獨(dú)立。

3)Θ服從如式(11)所示的先驗(yàn)分布。

因此，給定Θ=θ時(shí)，損失X1，X2，…，Xn+1獨(dú)立同分布且服從參數(shù)為(π，D0)的PH分布。那么

(12)

因?yàn)棣?X1，X2，…，Xn)是H的子集，在(12)兩邊取關(guān)于X1，X2，…，Xn的條件期望后會(huì)有

E(Yn+1，1|X1，X2，…，Xn)=

又因?yàn)?/p>

因此，

(13)

此時(shí)， 貝葉斯保費(fèi)可以寫(xiě)成如下形式

以上結(jié)果可以推廣到多合同情形。類似地，假設(shè)給定Θi=θi時(shí)，Xi1，…，Xin，i=1，…，m獨(dú)立同分布，且有E(Xij|Θi)=rjμ(Θi)，Var(Xij|Θi)=r2jυ(Θi)。另外，記μ=E(μ(Θi))，υ=E(υ(Θi))，a=Var(μ(Θi))。由此易得帶有通貨膨脹因子的多合同模型下的信度保費(fèi)及精確信度，下文不再贅述。

3 平衡損失函數(shù)下的信度保費(fèi)及精確信度

假設(shè)某保險(xiǎn)公司有m份保單，第i份保單的索賠數(shù)據(jù)記作Xi=(Xi1，Xi2，…，Xin)′，i=1，…，m。每份保單的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)記為Θi，先驗(yàn)分布為π(θ)。本節(jié)的目標(biāo)是預(yù)測(cè)下一年的保費(fèi)，即μn+1(Θi)=E(Xi，n+1|Θi)。下面給出一些假設(shè)條件和記號(hào):

假設(shè)1給定Θi=θi時(shí)，Xi1，Xi2，…，Xin，i=1，2，…，m條件獨(dú)立同分布，并有

E(Xij|Θi)=μ(Θi)，Var(Xij|Θi)=σ2(Θi)

假設(shè)2{(Xi，Θi)，i=1，2，…，m}相互獨(dú)立，Θ1，…，Θm獨(dú)立同分布。并記

E(δ0i)=E(μ(Θi))=μ， Cov(δ0i，Xij)=si

Var(μ(Θi))=τ2，E(σ2(Θi))=σ2

其中δ0i(x)為第i份保單的目標(biāo)保費(fèi)。

由Zellner[12]定義的平衡損失函數(shù)

(14)

可以得出如下結(jié)論。

定理3根據(jù)假設(shè)條件1、2及平衡損失函數(shù)(14)，μ(Θi)的最優(yōu)線性非齊次估計(jì)為

證明:

由假設(shè)1、2易知，E(Xij)=μ，Var(Xij)=τ2+σ2，且

Cov(Xij，Xij′)=τ2，Cov(Xij，Xi′j′)=0，i≠i′，j≠j′

Cov(μ(Θi)，Xij)=τ2，Cov(μ(Θi)，Xi′j)=0，i≠i′

令

(15)

對(duì)式(15)關(guān)于α0求偏導(dǎo)并令結(jié)果為0，有

將α0代入Φ，那么

(16)

對(duì)式(16)關(guān)于αij′求偏導(dǎo)并令結(jié)果為0，則有

因此可得

則在平衡損失函數(shù)下，μ(Θi)的最優(yōu)線性非齊次估計(jì)為

綜上，定理3得證。

假定Xij|Θi～PH(π，D0)，那么Xij可以寫(xiě)成:

Xij=Yij1+Yij2+…+YijN

(17)

這里給定Θi=θi時(shí)，Yijl，l=1，2，…，N獨(dú)立同分布且服從參數(shù)為θi的指數(shù)分布。N表示馬氏鏈到達(dá)吸收態(tài)的轉(zhuǎn)移數(shù)，N～PHd(π，P)。

定理4假設(shè)給定Θi=θi時(shí)，隨機(jī)變量Xi1|Θi，…，Xin|Θi獨(dú)立同分布且服從PH(π，D0)。 若Θi服從如下分布

(18)

則基于平衡損失函數(shù)式(14)得到信度保費(fèi)估計(jì)為

證明:

Xij|Θi的條件均值和方差可以表示為

μ(Θi)=E(Xij|Θi)=

σ2(Θi)=Var(Xij|Θi)=

E2(Yij1|Θi)Var(N)+

E(N)Var(Yij1|Θi)=

所以有

又因?yàn)镹～PHd(π，P)，則

E(N)=π′(I-P)-11

E(N(N-1))=2π′P(I-P)-21

那么，

Var(N)+E(N)=E(N2)-E2(N)+E(N)=

E(N(N-1))+2E(N)-E2(N)=

2π′P(I-P)-21+2π′(I-P)-11-

(π′(I-P)-11)2=2π′(I-P)-21-

(π′(I-P)-11)2

另一方面，Θi服從式(18)所示分布，顯然有

綜上定理4得證。

溫利民等[13]得出了在平衡損失函數(shù)下精確信度存在的結(jié)論，即

由式(17)，這里有

Xi，n+1=Yi，n+1，1+Yi，n+1，2+…+Yi，n+1，Nn+1

假設(shè)Xi1，Xi2，…，Xin+1相應(yīng)的嵌入式馬爾可夫鏈為Ji1，Ji2，…，Jin+1，參數(shù)是(π，D0)。給定Θi=θi，變量Ji1，Ji2，…，Jin+1是條件獨(dú)立的。此外，本文還假設(shè):

1) 給定i，j及Θi=θi時(shí)，Yijk，k=1，2，…，Nj為條件獨(dú)立同分布且服從指數(shù)分布。

2)Nj，j=1，…，n+1為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，并獨(dú)立于Θi。

3)Θi，i=1，…，k服從(18)的先驗(yàn)分布。

基于以上假設(shè)條件，有

E(Yi，n+1，1|H)=

(19)

這里H=σ(Y1，1，1，…，YK，n，Nn，N1，…，Nn)。考慮在式(19)兩邊求關(guān)于Xi1，Xi2，…，Xin的條件期望。那么

E(Yi，n+1，1|Xi1，Xi2，…，Xin)=

進(jìn)一步地，

E(Nn+1)E(Yi，n+1，1|H)

因此， 貝葉斯保費(fèi)可以寫(xiě)成

4 數(shù)值模擬

因?yàn)?/p>

E(N)=π′(I-P)-11

Var(N)+E(N)=2π′(I-P)-21-

(π′(I-P)-11)2

則

E(N)=2.06，Var(N)+E(N)=4.93

圖1 信度保費(fèi)的MSE曲線

由圖1可以看出MSE隨著θ的增加而減小，如：

θ=187.78時(shí)，MSE=0.000 38

θ=241.58時(shí)，MSE=0.000 31

預(yù)測(cè)結(jié)果具有較高精度。

例2 取式(11)中Gamma先驗(yàn)分布的參數(shù)為γ=1，K=2，通貨膨脹因子r=1.02。矩陣P為

令MSE1，MSE2分別表示定理1的信度保以及經(jīng)典信度保費(fèi)的均方誤差，分別取n=5、10、15完成5 000次模擬，所得結(jié)果如表1所示。

表1 定理1的信度保以及經(jīng)典信度保費(fèi)的均方誤差

由表1可知：PH分布下的信度保費(fèi)的精確度遠(yuǎn)高于經(jīng)典信度保費(fèi)，這是因?yàn)镻H分布具有多樣性結(jié)構(gòu)，提高了索賠數(shù)據(jù)分布的擬合度。

5 結(jié)論

1) 由于服從PH分布的隨機(jī)變量的構(gòu)成特點(diǎn)，單合同的索賠數(shù)據(jù)是穩(wěn)定的并易于預(yù)測(cè)。

2) 考慮通貨膨脹因素的信度模型，預(yù)測(cè)的保費(fèi)更符合實(shí)際情況。

3) 帶有非對(duì)稱損失函數(shù)的信度模型擬合優(yōu)度高，估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確。

在帶有通脹因子和非對(duì)稱損失函數(shù)的信度模型的背景下，假設(shè)索賠數(shù)據(jù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)是獨(dú)立的。然而在大多數(shù)情況下，索賠之間具有很強(qiáng)的依賴關(guān)系[14-15]。因此，在今后的工作中，可以針對(duì)索賠數(shù)據(jù)的相依性進(jìn)行研究。