Hamilton原理的應用

覃寶丞

天津師范大學 物理與材料科學學院 天津 300000

1 理論

在經典情形下,要求實物粒子的運動只需要牛頓定律即可比較精確地得到粒子的運動方程。但是在微觀情形下,牛頓定律無法得到微觀粒子的運動方程,此時需要量子力學去處理這樣的問題。通常運用薛定諤方程來求解微觀粒子的運動。

分析力學于量子力學之間有著緊密的聯系,分析力學中常應用變分原理來解決粒子運動問題,如果推廣至微觀粒子情形則可嘗試運用Hamilton原理并由粒子運動的拉格朗日密度去求解波函數。

Hamilton原理的內容為[1]:在相同時間內保守的、完整的力學體系中,由某一初位形轉移至另一已知位形的所以可能的運動中,其真實運動的主函數具有穩定值,即對于真實運動來說,主函數的變分為零。

若設qα（α=1,2,…,s）為廣義坐標,t為時間,則當δt=0時有,

又由（1）有

式（4）即為Hamilton原理的數學表達式:

波函數是量子力學中用來描述粒子的德布羅意波的函數。為了定量地描述微觀粒子的狀態,量子力學中引入了波函數,并用ψ表示。一般來講,波函數是空間和時間的函數,并且是復函數,即ψ=ψ（x,y,z,t）。玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在時刻t,在點（x,y,z）附近單位體積內發現粒子的概率。波函數ψ因此就稱為概率幅。在上世紀二十年代,德布羅意提議,與任意物質粒子的運動相關聯的是一組平面波,全部平面波均由一個波函數表征。

波函數并不攜帶著能量與動量,只起著引領粒子運動的作用,加載于粒子運動內。在比較德布羅意理論內的"排和"后發現,日常光波僅僅是附屬在其相隨光量子的德布羅意波。研究者從該實際情形中發現,兩個差異化的本體論內涵上的推斷:其中之一為實在論傾向的推斷,最初為德布羅意倡導,緊接著被薛定諤所采納。這一推斷宣稱,德布羅意波就像普通光波那樣,為實際存在的、立體的、連綿不斷的物質波;另一個推斷實質上具有幾率性。首先由玻恩得出,隨后為多數人采納并作了統計詮釋。波函數這一理論術語的提議和其蘊含的物理含義一—幾率密度幅一一的明晰化造成量子力學完全脫離了經典力學的看法,是以費曼把波函數看成為量子力學理論內最根本的理論術語。[2]

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2 應用

若已知帶電粒子在電磁場中的拉氏函數,則有可能通過Hamilton原理來求解帶電粒子的運動,即得出帶電粒子的波函數。

設帶電粒子波函數為ψ（x）,電磁場四維矢勢Aμ（x）,在時空點x處波函數的第α分量為ψα,

由Hamilton原理有

整理上式第三項由分部積分可得[4]

所以

同理第四項得

把（13）（14）代入（11）得

式（11）即為有粒子波函數的偏微分方程,若已知拉氏密度則可求粒子波函數。

由此可看出Hamilton原理的普適性,合理地運用Hamilton原理可以比較方便地求解一些較復雜的數學與物理問題。