用正交變換化實對稱矩陣為對角陣的簡便方法

史亞丹

湖南信息學院 通識教育學院 湖南 長沙 410100

1 引言

矩陣的對角化是線性代數的一個重要研究內容,其中實對稱矩陣的正交對角化將二次型化為標準形更是將線性代數和解析幾何緊密結合在一起。任意實對稱矩陣都可以通過正交變換相似對角化,當實對稱矩陣的特征值是重根時,常見的方法是用Schmidt正交法將重根對應的特征向量正交化,再進行單位化[1]。但是Schmidt正交化的公式較為繁多且計算復雜,導致許多學生在解題過程中容易忘記公式或計算錯誤。很多數學研究工作者對此做了大量研究,提出了不同的求解方法[2-8]。這些方法中包含了線性方程組法、矩陣變換法、向量空間法等,理解略有些復雜。

本文通過正交向量組中向量的兩兩正交性,以及自由未知量的不同選擇,研究了n階實對稱矩陣A=（aij）n×n（aij=aji）有n-1重根特征值時的正交對角化問題,給出了快速求解正交矩陣的簡便方法,然后用例題進行詳細說明。

2 直接正交對角化的簡便方法

設λi為n階實對稱矩陣A的n-1重根特征值,對應可以得到一組n-1個線性無關的特征向量,進而正交對角化。

現將（λiE-A）x=0的系數矩陣化為行最簡型為

（其中a12,a13,…,a1n不全為零）。則（λiE-A）x=0的一個同解方程組為

以此類推,可獲得屬于特征值λi的一組正交的特征向量。與常規方法比較,上述方法更直觀簡便,且避開了Schmidt正交化法,減少了計算量。

3 直接正交對角化方法的舉例

3.1 三階實對稱矩陣的正交對角化

若三階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為二重根。

ξ1,ξ2,ξ3兩兩正交,單位化得

3.2 四階實對稱矩陣的正交對角化

若四階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為三重根。

當λ=6時,由（6E-A）x=0得到特征向量ξ4=（-1 1-1 1）T.

ξ1,ξ2,ξ3,ξ4兩兩正交,單位化后得到正交矩陣

3.3 五階實對稱矩陣的正交對角化

若五階實對稱矩陣具有重根的特征值,則重根最多為四重根。

λ1=λ2=λ3=λ4=1,λ5=-4

當λ=1時,

對應的同解方程組為x1+x2+x3+x4+x5=0.取后4個未知數為自由未知量,得到屬于λ=1的第一個特征向量為ξ1=（-1 1 0 0 0）T;令前4個未知數為自由未知量,得到屬于λ=1且與ξ1正交的第二個特征向量為ξ2=（0 0 0 1-1）T;觀察可知與ξ1和ξ2都正交的特征向量可設定為 （a a b c c）T,代入同解方程組中可得b=-2a-2c,可取第三個正交特征向量為ξ3=（1 1-4 1 1）T;第四個正交特征向量依然可設為 （a a b c c）T,且與ξ3也正交,又可得2b=a+c,綜合可得到ξ4=（1 1 0-1-1）T.

當λ=-4時,由 （-4E-A）x=0得到特征向量ξ5=（1 1 1 1 1）T.ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5兩兩正交,單位化得到

得到正交矩陣P=（p1,p2,p3,p4,p5）,使得PTAP=diag（1,1,1,1,-4）.

4 結語

Schmidt正交化法的公式和計算都較為繁雜,較難被學生掌握。而現有的文獻中給出的方法中,或涉及解方程組,計算量較大;或需要學生去掌握向量空間的相關知識點,理解困難。本文中提供的方法較為直觀簡便,將線性方程組的求解與特征向量的正交化合二為一,既簡化了計算又容易理解,因此更容易被學生掌握。