電磁感應試題題設條件的自洽探究

浙江 董國彬

電磁感應試題既能考查學生掌握的力、電基礎知識，又能考查學生應用動量、能量觀點的解題能力，深受高考命題者喜愛。高中學生難以直接解決除勻速、勻變速、簡諧運動等典型運動以外的運動問題，對此類問題，命題者往往通過提供已知條件將其轉化為高中生能求解的運動問題。若命題者沒考慮各題設條件的邏輯關聯，應用不同物理規律就會得到不同的結論。因此，試題命制時務必做好題設條件的自洽檢驗，防止出現錯誤。下面筆者就電磁感應中常見的“桿+電阻”、“桿+電容”、“桿+電感”模型，分類舉例說明如何進行題設條件的自洽探究。

一、“棒+電阻”模型中題設條件的自洽探究

【例1】如圖1所示，寬L=1 m的U形光滑導線框架與水平面成夾角θ=30°傾斜放置，勻強磁場方向垂直框面向上，磁感應強度B=0.2 T，在框架上垂直框邊放一根質量為m=0.8 kg，電阻為r=0.08 Ω的導體棒ab，圖中定值電阻R=0.02 Ω，導線框架的電阻不計。現將ab棒從靜止開始讓它沿框架無摩擦下滑，設框足夠長且g取10 m/s2。當棒沿框面下滑的高度為2 m時棒的速度增加為6 m/s，則此過程經歷了多少時間？

圖1

【自洽探究】對棒下滑過程中受力分析并列出牛頓第二定律有mgsin30°-ILB=ma

ln(10-v)=-0.5t+C0，v=10-C1e-0.5t

由初始條件t=0時速度為零可知C1=10即有速度公式v=10-10e-0.5t①

由初始條件可得位移公式有x=10t+20e-0.5t-20 ②

當速度為6 m/s時用時為t=2ln2.5≈1.83 s

且x=2h

代入時間可以算得

即速度為6 m/s時h=3.16 m。

可見，【例1】中“高度為2 m”和“棒的速度增加為6 m/s”不符合動力學規律，題設數據應予修正。

上述驗證計算復雜，我們可通過圖形計算器畫圖，快速解決數據的自洽性驗證與設置。用圖形計算器分別畫出v-t圖像(圖2)和x-t圖像(圖3)。從圖2中我們可以看出：在開始的一小段時間內速度較小，重力沿框架方向的分力遠大于安培力，棒的運動可用直線擬合，可視為勻加速直線運動，隨著棒的速度逐漸變大，安培力變大，棒做加速度減小的加速運動，最后做勻速直線運動。由圖3可以看出棒下滑高度為2 m即位移x=4 m，時間t約為1.40 s，與【解析】所給的解答1.6 s相差較大。

圖2

圖3

利用圖形計算器我們很容易使試題邏輯自洽。例如在位移、速度、時間三個物理量中我們首先確定時間為t=1.2 s，然后在圖形計算器中分別輸入速度公式①和位移公式②，點擊數值表(如圖4)或特殊點(如圖5)，可以得到t=1.2 s時的速度和位移分別約為4.51 m/s和2.98 m(從圖2、圖3中直接讀出位移和速度也是可以的，會存在讀數誤差)

圖4

圖5

【自洽設問及正解】

設問：若棒沿框面下滑高度1.5 m時，棒的速度增加為4.5 m/s，求此過程經歷的時間？

化簡并代入數據得

二、“棒+電容”模型中題設條件的自洽探究

【例2】如圖6所示，若只將【例1】中的外電阻R換成一個C=5 F的電容器，題中其他條件不變，求棒從靜止釋放沿框面下滑8 m時的速度及所經歷的時間？

圖6

【解析】棒ab釋放后在重力作用下沿框面做加速運動切割磁感線產生感應電動勢E對電容器充電；設棒在下滑過程中任意時刻t的加速度為at，電容器的充電電流為It，則有

可得mgsin30°-BL·CBLat=mat

因為B、L、C、m一定，所以加速度at一定，故棒ab沿框面的下滑運動為勻加速直線運動。

由v2=2as得，棒勻加速下滑8 m時的速度為

v=8 m/s；

【自洽探究】設棒的速度為v時，電路中的電流為I，電容器的電壓為U，則有電容器的帶電荷量q=CU

即I′=CU″

棒ab產生的動生電動勢E=BLv，由閉合電路的歐姆定律知BLv=U+Ir

可得BLv′=U′+I′r=U′+rCU″

對棒受力分析，列出牛頓第二定律

代入數據得1.6U″+5U′=4(V)

【解1】令y=U′，則y′=U″，代入上式得

初始條件t=0時U=0，I=0(U′=0)得

初始條件t=0時U=0，I=0(U′=0)

由⑤式可知，t=0時刻，棒開始下滑時的加速為5 m/s2，隨后做加速度逐漸減小的加速運動，最后時間足夠長時棒才作勻加速直線運動。可見，【例2】中若把棒的電阻忽略不計(或不考慮電源的內阻)，直接用部分電路的歐姆定律解出棒做勻加速下滑是錯誤的。

設t=2 s，同樣在圖形計算器中輸入公式④、⑥，通過圖形計算器計算可以得到t=2 s時棒下滑的位移為8.54 m，速度為8.32 m/s，同樣也可說明題設數據不自洽。

【自洽設問及正解】

設問1：若只將【例1】中的外電阻R換成一個C=5 F的電容器，棒ab換成電阻不計的棒cd，題中其他條件不變，求棒cd從靜止釋放沿框面下滑8 m時的速度及所經歷的時間？

正解：見【解析】

設問2：若棒的電阻為r，則此題的設問也可改為“若已知棒從靜止釋放沿框面下滑的速度、時間和電容器兩端的電壓三個物理量中的任意兩個，就可以由動量定理mgsin30°t-CLBU=mv-0，求其余的一個。”

三、“棒+電感”模型中題設條件的自洽探究

【例3】如圖9所示，若將【例1】中的外電阻R換成一個自感系數為L0=30 mH且電阻不計的理想線圈，題中其他條件不變，試判斷棒的運動情況，若斜面足夠長，求棒的最終速度？

圖9

【自洽探究】對棒受力分析，列出牛頓第二定律

可得I=20-4v′

⑦⑧消去I有mL0v″+mrv′+B2L2v=mgrsinθ⑨

代入數據有0.6v″+1.6v′+v=8

根據初始條件t=0 s時v=0，a0=v′=5 m/s2求得

用圖形計算器繪出圖10，上述結論顯然可得到驗證。

圖10

【拓展】如圖11所示，若將【例3】中的棒ab換成電阻不計的棒cd，題中其他條件不變，試判斷棒的運動情況？

圖11

【自洽探究】對棒受力分析列牛頓第二定律

由于棒電阻r=0，⑨式中代入數據有0.6v″+v=0

求得二階常系數非齊次線性微分方程的解

代入初始條件t=0時v=0，a0=v′=5 m/s2

【例3】和【拓展】練習中最主要的區別是棒是否有電阻。其實，我們可以從能量的觀點分析兩種不同的結果。【例3】由于棒有電阻，穩定時動能不變，棒的重力勢能減少量等于克服安培力做的功并轉化為電阻中的焦耳熱。【拓展】由于棒不計電阻，穩定時棒的重力勢能、動能和磁場能量相互轉化，總量不變。所以，我們在分析問題的時候需要從不同的角度應用不同的規律去分析，看看能不能得到一樣的結論。

結束語