基于不定長氣隙的向心力磁力軸承精確建模

楊恒坤，倪 劍，夏偉東

（中國商飛公司民用飛機(jī)試飛中心，上海 200000）

混合磁軸承由于其結(jié)構(gòu)緊湊、功耗低、無摩擦等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用作高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的理想支撐裝置[1]。在結(jié)構(gòu)設(shè)計方面，混合磁軸承的定子和轉(zhuǎn)子通常設(shè)計為圓柱形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[2]。在文獻(xiàn)[3]中，提出了一種新型的向心力型磁軸承（向心力磁軸承），其中定子和轉(zhuǎn)子為球形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，優(yōu)于圓柱形磁軸承，其獨(dú)特的球形結(jié)構(gòu)可以消除轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的平行于轉(zhuǎn)子軸線的干涉力，從而不易受到外部干擾。懸浮力模型是結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計和控制策略等關(guān)鍵技術(shù)的基礎(chǔ)，是近幾十年來的重要研究課題[4]。

目前，懸浮力建模方法主要基于氣隙的固定長度，在此模型上還衍生了渦流和漏磁對主磁場的影響等進(jìn)一步研究[5]。然而，轉(zhuǎn)子實(shí)際工況引起的氣隙變形對懸浮力的影響卻沒有引起足夠的重視。本文提出了一種基于氣隙不固定長度的向心力型磁軸承建模新方法，并討論了氣隙變形對力-電流剛度和力-位移剛度的影響。此外，本文還獲得了添加到實(shí)際轉(zhuǎn)子運(yùn)行速度的新剛度表達(dá)式。有限元結(jié)果表明，新模型在轉(zhuǎn)子工況下具有更高的精度。

1 向心力磁軸承磁懸浮力模型

圖1a 為向心力型磁軸承三維結(jié)構(gòu)模型，從圖1a中可以看出，磁軸承定子內(nèi)壁處于同一個球面上，轉(zhuǎn)子亦為球面結(jié)構(gòu)，且定子與轉(zhuǎn)子同球心，這種球面結(jié)構(gòu)有助于在磁軸承高速運(yùn)轉(zhuǎn)的情況下減少陀螺效應(yīng)的發(fā)生。同時，永磁體安裝于兩片定子極之間，永磁體產(chǎn)生偏置磁通，可以使磁軸承實(shí)現(xiàn)被動懸浮。因此，向心力型磁軸承具有低功耗和高穩(wěn)定性的特征。

圖1 向心力型磁軸承的磁路和樣機(jī)

圖1a 還顯示了向心力磁軸承的總磁路。偏置通量和控制通量標(biāo)記在圖1a 中。控制磁通和偏置磁通疊加，其中控制磁通是由控制電流通過控制線圈產(chǎn)生的，偏置磁通是由兩片定子見的永磁體產(chǎn)生的。控制磁通和偏置磁通相互作用，在氣隙中產(chǎn)生相應(yīng)的懸浮力，從而調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子始終懸浮在平衡位置。圖1b 顯示了向心力磁軸承實(shí)物樣機(jī)。考慮到混合磁軸承是一種特殊的無軸承電機(jī)，只產(chǎn)生懸浮力，不產(chǎn)生扭矩，其工作原理可參考無軸承電機(jī)。關(guān)于向心力磁軸承的其余細(xì)節(jié)，例如配置，可以參考文獻(xiàn)[3]。向心力磁軸承的傳統(tǒng)懸浮力模型可以表示為

式中，kx和kix是磁軸承單元在x 軸上的力-電流剛度和力-位移剛度；Hpm是永磁體的矯頑力；hpm是永磁體的長度；μr是永磁體的相對磁導(dǎo)率；μ0為自由空間的磁導(dǎo)率；Apm是永磁體的面積；Sr是單個徑向磁極的面積；δr為徑向氣隙；α 為徑向部分定子上下極間夾角的一半；εrp為氣隙處偏磁通的漏磁系數(shù)；εrc是氣隙中控制磁通的漏磁系數(shù)。

為了驗(yàn)證轉(zhuǎn)子在高速情況下的形變量，將向心力磁軸承模型加載進(jìn)有限元仿真軟件中進(jìn)行有限元分析。圖2 為20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子在有限元分析下的變形圖，從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子變形隨運(yùn)行速度實(shí)時變化，用限元法建立變形模型，加載轉(zhuǎn)速為n=20，0000rpm 的慣性負(fù)載（臨界轉(zhuǎn)速81264rpm）。圖2a 為有限元分析下的20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子形變云圖。圖2a 顯示了轉(zhuǎn)子在慣性載荷下的變形，最大變形為0.11713mm，而氣隙長度為0.25mm,這就意味著最大形變量相當(dāng)于接近轉(zhuǎn)子偏移距離的一半。因此，轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的氣隙變形是不可忽略的，特別是當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)行超過臨界速度時。在氣隙變形較大的情況下，若將氣隙長度認(rèn)為是固定的，則麥克斯韋力的作用區(qū)域就會被簡化為磁極區(qū)域，這將極大地影響懸浮力的準(zhǔn)確性。

圖2 20 萬轉(zhuǎn)/分帶軸轉(zhuǎn)子變形圖

可以從仿真軟件中導(dǎo)出圖2b 所示轉(zhuǎn)子的軸向圓弧圖，對變形進(jìn)行定量分析。最大變形發(fā)生在軸向中間位置，并向兩極逐漸減小，因此形變是與維度角相關(guān)的，可以推斷氣隙形變長度是關(guān)于緯度角（0～26.18°）的表達(dá)式。參考薄壁球形轉(zhuǎn)子的變形規(guī)律，加入修正系數(shù)得到轉(zhuǎn)子的變形規(guī)律。徑向變形規(guī)律表示為

式中θ 是緯度角；μ 是泊松比；r0是轉(zhuǎn)子半徑；ρ 是轉(zhuǎn)子密度；E 是彈性模量；ω 是轉(zhuǎn)速；修正系數(shù)β=4.5。

由于轉(zhuǎn)子由球體變?yōu)闄E球體，氣隙長度也隨轉(zhuǎn)速變化，其表達(dá)式可寫成：

其中，r0表示球形轉(zhuǎn)子的半徑。

類似地，麥克斯韋力的作用區(qū)域被積分在橢球體的表面上。其表達(dá)式可以定義為

將式（3）和式（4）代入式（1），新公式是基于氣隙長度不固定的向心力型磁軸承的精確模型。

2 仿真分析

通過對轉(zhuǎn)子在高速情況下的形變量分析，將其氣隙形變引入電磁力的仿真中，應(yīng)用有限元的方法對變化氣隙長度進(jìn)行仿真分析電磁結(jié)構(gòu)耦合場，從而分析氣隙變形對懸浮力的影響。圖3 顯示了懸浮力隨位移/電流和速度的變化。從圖3a 和3b 可以看出，在恒定轉(zhuǎn)子運(yùn)行速度下，懸浮力Fx 與電流或位移近似成正比，這與現(xiàn)有研究結(jié)果一致，而動態(tài)懸浮力對變化速度很敏感。這意味著力和位移/電流之間的系數(shù)會因轉(zhuǎn)子速度的差異而變化。隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，在一定位移或電流下的懸浮力呈現(xiàn)上升趨勢，是非線性增長而不是線性增長。此外，離心變形對力-電流剛度和力-位移剛度的影響不相等，前者產(chǎn)生的誤差略大于后者（35.006N＞23.506N），如圖3a 和3b 所示。因此，即使在兩個剛度都上升的情況下，由于增加的幅度不同，兩個剛度的誤差也不能相互抵消。

圖3 懸浮力隨位移/電流和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化

經(jīng)過計算、仿真對比，以200000rpm 的運(yùn)行速度為例，比較向心力磁軸承懸浮力新模型分別與傳統(tǒng)模型和有限元仿真模型的誤差。從圖4a 和4b 可以看出，有限元結(jié)果與傳統(tǒng)的力模型不一致。向心力磁軸承懸浮力-位移剛度和力-電流剛度的最大誤差分別為13.3%和19.8%。而所提模型與有限元結(jié)果吻合較好，力-流剛度和力-位移剛度的相對誤差分別為4.14%和5.3%。因此，證明了所提出模型的正確性和準(zhǔn)確性。

圖4 提出模型與傳統(tǒng)模型和有限元仿真模型比較圖

3 結(jié)束語

由于所提出的模型中考慮了高轉(zhuǎn)速下的磁軸承氣隙變形，因此新模型中的力-電流剛度和力-位移剛度與傳統(tǒng)模型中的固定值不同（定長氣隙模型為零轉(zhuǎn)速），但隨著轉(zhuǎn)子運(yùn)行速度動態(tài)變化。本研究有效地探索了兩種剛度的變化規(guī)律。結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提高，氣隙變形引起的兩種剛度誤差有增大的趨勢，但氣隙變形對力-電流剛度精度的影響明顯大于力-位移剛度。結(jié)果表明，兩個剛度的誤差不能相互抵消，說明在表達(dá)式中加入轉(zhuǎn)子運(yùn)行速度的必要性。計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合較好。所提出模型的結(jié)果與有限元分析結(jié)果非常吻合。因此，在懸浮力建模過程中不能簡單地認(rèn)為氣隙長度是固定的。提出的基于氣隙長度不固定的精度模型為磁軸承的實(shí)時精度控制奠定了基礎(chǔ)。