快速DOA估計算法研究

王傳宇，聶慧鋒，王 林，胡異煒，趙榮崎

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

多信號分類(MUISC)算法[1]的主要原理就是通過信號子空間與噪聲子空間的正交性實現到達方向(DOA)估計，但是傳統的MUISC算法需要通過特征分解獲得信號子空間和噪聲子空間、再通過譜峰搜索估計出信號的入射角度。其中的特征分解較為復雜，譜峰搜索運算量較大，因此不利于現場可編程門陣列(FPGA)的工程實現。眾多學者針對子空間類算法的快速DOA估計進行了研究，Zoltowski等人通過維納濾波器的遞推算法,找到一個與信號子空間正交的投影矩陣，從而進行DOA估計。文獻[2]～[3]中Goldstein等人提出了多級維納濾波(MSWF)，該算法不需要進行特征分解，具有很強的降維能力且收斂速度更快。文獻[4]中艾名舜、馬紅光等人利用均勻線陣導向矢量的Vandermonde結構，推導出了噪聲子空間的解析形式，該算法不需要計算接收數據的協方差矩陣，也不需要進行矩陣分解。文獻[5]中于智龍、沈峰利用傳播算子和空間平滑相結合的方式實現了快速解相干的DOA估計。文獻[6]中閆鋒剛提出了壓縮譜理論，能夠有效降低譜峰搜索的運算量。本文對傳播算子和壓縮譜算法進行了研究，通過傳播算子和壓縮譜相結合的方式進行快速DOA估計，經過仿真驗證，具有良好的估計性能且能夠有效降低子空間算法的高復雜度和高運算量的問題。

1 MUSIC算法原理

如圖1所示，M個窄帶遠場信號入射到由N個天線組成的陣列。

圖1 陣列入射模型

其陣列接收模型為：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

求解陣列數據的協方差矩陣:

R=E[XXH]=

AE[SSH]AH+σ2I=

ARsAH+RN

(2)

由于信號與噪聲相互獨立，對協方差矩陣R進行特征分解，可以得到下式:

R=UsΛsUs+UNΛNUN

(3)

式中:Us為信號子空間；UN為噪聲子空間。

由于信號子空間與噪聲子空間的正交性且可以使用式(4)進行譜估計，譜函數中的最小值位置即為信號的真實入射角度:

(4)

2 傳播算子(PM)算法

在實際工程應用中，MUSIC算法由于特征分解的復雜度和運算量較高，不利于工程實現，使用傳播算子(PM)算法可以通過一種線性運算快速得到子空間，在求得噪聲子空間及其投影算子時無需進行特征分解。現將式(1)中的陣列流型陣A(θ)進行分塊：

(5)

式中:A1(θ)為M×M維的矩陣；A2(θ)為(N-M)×M維的矩陣。

若A1(θ)為非奇異矩陣，那么A1(θ)和A2(θ)之間存在一個唯一的矩陣P，滿足線性關系：

A2(θ)=PHA1(θ)

(6)

矩陣P被稱為傳播算子。

QHA=0

(7)

式(7)表明矩陣Q與噪聲子空間具有正交性，即span{Q}=span{UN}，可以通過協方差矩陣直接求解矩陣P。

首先對協方差矩陣R進行分塊：

(8)

(9)

根據得到的傳播算子P即可構造矩陣Q，通過公式(10)進行譜峰搜索即可得到信號的入射角度:

θMUSIC=argmin{aH(θ)QQHa(θ)}

(10)

3 基于PM算法的壓縮譜估計

導向矢量a(ω)可以寫為如下形式：

(11)

式中：f為信號頻率；d為陣元間距；c為光速。

對式(11)兩邊同時取共軛：

(12)

由于正弦函數是奇函數，故有：

(13)

因此可以得到：

aH(θ)Q=aT(-θ)Q=aH(-θ)Q*

(14)

根據公式(14)可以看出噪聲子空間的共軛與信號的對稱角度成正交性，即aH(-θ)Q*=O。可以根據PM算法重新構造公式(4)中的譜估計函數：

θMUSIC=argmin{aH(θ)QQHQ*QTa(θ)}

(15)

譜函數估計會在θ和-θ的位置同時出現極小值，在將θ和-θ代入公式(10)即可求出正確的入射角度，通過壓縮譜的算法可以將譜峰搜索的范圍減半，有效地減少了算法運算量。

算法步驟：

(1) 通過公式(8)對協方差矩陣R進行分塊處理，得到子矩陣R1和R2。

(2) 通過公式(10)使用矩陣R1和R2求出傳播算子P。

(3) 使用傳播矩陣P構造與信號子空間正交的矩陣Q。

(4) 通過公式(15)構造壓縮譜函數,進行譜峰搜索，求出峰值。

(5) 對峰值進行解模糊即可求出正確的信號入射角度。

4 算法仿真

陣列設為陣元數為12個的均勻線陣，陣元間距為半波長，陣元擺放如圖1所示。入射信號為遠場窄帶信號，并且信號之間相互獨立，噪聲為相互獨立的零均值加性高斯白噪聲，信號與噪聲之間相互獨立。

4.1 信噪比對算法精度的影響

為了測量信噪比對算法的影響，設入射信號數目為1，信號的入射角度為陣列法線的近軸方向，在[-5°～+5°]內隨機入射。噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比范圍為-10～20 dB，每間隔2 dB進行遞增，信號的快拍數為100，每個信噪比下進行1 000次蒙特卡洛實驗，統計實驗結果求其均方根誤差。

圖2為信號的DOA測量誤差，根據仿真結果可以看出2種算法的DOA估計精度隨著信噪比增大而提高。當信噪比低于0 dB時，MUSIC算法的測角精度優于PM算法與壓縮譜相結合的測向方式；當信噪比高于0 dB時，2種算法的估計性能相近，DOA估計具有較高的精度。

圖2 DOA估計精度

4.2 算法分辨率仿真分析

為了測量算法的分辨力，入射信號的數目設為2個，通過改變2個信號與陣列法線方向的夾角，使2個信號之間的入射角度不同。信噪比為20 dB，快拍數為100，進行1 000次蒙特卡洛實驗，統計其測角精度和正確分辨信號的成功率。

圖3 為雙信號隨著入射角度不同其入射角的估計精度。圖4為雙信號隨著入射角度不同其成功分辨的概率。根據圖3可以看出，在雙信號入射情況下，MUSIC算法的測角精度略優于PM算法與壓縮譜相結合的測向方式。根據圖4可以看出MUSIC算法的分辨力為2°，PM算法與壓縮譜結合的測向分辨力為3°。因此，MUSIC算法的分辨力略優于PM算法與壓縮譜，2種算法的分辨力性能接近。

圖3 雙信號測角精度

圖4 雙信號分辨成功概率

5 結束語

在信噪比較高的情況下，PM算法與壓縮譜相結合的測向方式擁有與傳統MUSIC算法相近的估計性能，具有較高的估計精度和較好的分辨力。同時PM算法與壓縮譜相結合的測向方式的算法不需要進行特征分解，有效降低了算法的復雜度；將譜函數的搜索范圍壓縮了一半，有效降低了算法的運算量。該算法具有低復雜度、低運算量的優點，在工程應用中能夠更好地節省硬件成本，具有一定的工程應用價值。