鋰電池能量狀態與功率狀態的聯合估計

范汝新，張宵洋，張振福，毛順永

(山東科技大學海洋科學與工程學院，山東青島266590)

SOE是電池組實時剩余可用能量狀態；SOP是電池組峰值功率狀態，是在預定時間間隔內電池所能釋放或吸收的最大功率。準確估算SOE和SOP有利于電動汽車穩定可靠運行。

安時積分法的電池荷電狀態(SOC)是對電流的線性積分，只是描述了電池的剩余容量狀態信息，事實上并不能將SOC等同于SOE。而SOE不但包含了電流變化信息，還充分考慮了電池工作過程中電壓的變化。功率積分法是對SOE的標準定義，也是SOE最基本的估計方法，即在有限時間內對電池電壓與電流的積分[1]。然而，由于電流或電壓傳感器的測量噪聲以及直流漂移，易導致誤差積累現象，并且嚴重受初始值準確性的影響。文獻[2]通過大量的測試數據描述了開路電壓(OCV)、SOE與電池能量之間的關系，并采用查表法的形式將其存儲在電池管理系統中。文獻[3]分析了不同溫度和不同老化程度下的電池數據。文獻[4-5]介紹了采用神經網絡算法來化簡電池工作過程中電化學反應的復雜機理的方法，該方法是開環方法。它依賴數據的測量精度，需要訓練大量參數，估算結果受參數規模和訓練方法的制約。文獻[6]基于雙極化模型和擴展卡爾曼濾波算法估計了SOE，但是精度一般。文獻[7]考慮了電池老化對SOE的影響，并將開路電壓擬合成關于老化和SOE的函數，然后運用了自適應無跡卡爾曼濾波算法進行SOE估計。盡管卡爾曼濾波及其衍生算法能夠實現較好的效果，但是它們依然只適用于高斯白噪聲的條件。文獻[8]建立SOC和SOE之間定量關系，解決了SOE估計算法復雜度和精度之間的矛盾。但該方法忽略了內阻耗能，僅適用于小倍率電流條件。

SOP估計方法通常分為插值法[9]、模型法[10]和數據驅動法[11]。HPPC 插值法是在電池測試過程中離線標定不同SOC、溫度和老化的峰值功率，得到峰值功率的解析公式或多維圖。雖然這種方法原理簡單可靠，但是該方法需要做大量的實驗來提前測試標定，再將其存儲在電池管理系統中，并且其動態特性較差[12-13]。基于BP 神經網絡等數據驅動的方法需要將影響量作為輸入，通過大量的訓練數據來獲得SOP的實時估計[14]。雖然該方法具有較高的精度，但是計算量大、計算復雜的問題也難以避免。模型法需要考慮電流、電壓、SOC和溫度等限制條件對SOP的影響。文獻[10]提出的基于Rint 模型的方法的估計精度較低，并且不能用于估計持續功率。近年來，一階RC 模型[11]和改進的RC 模型[12]等多種模型被用來估計動態條件下的SOP，以獲得更高的估計精度。在電池限制條件的選擇上，單獨使用基于SOC的方法會造成估計峰值電流過大，存在安全隱患問題。文獻[13]同時考慮多重限制條件。但是以上基于模型法的研究都沒有考慮SOE對持續SOP估計的約束影響，實際上，SOE相比SOC能反映的電池狀態信息更加全面。如果單獨估計SOP和SOE，模型計算和模型參數辨識就成為一項重復的任務。因此，SOE和SOP的聯合估計是提高估計精度的主要途徑。

基于上述研究現狀，本文采用擴展卡爾曼粒子濾波算法(EPF)估計SOE，以提高SOE的估計精度和對噪聲影響的魯棒性。另外，為了避免單獨估計SOE和SOP的模型辨識重復性，結合SOE的估計結果，在端電壓、SOE和電池自身設計的多約束條件下實現對持續峰值SOP的聯合估計。本研究有利于提高電池多狀態聯合估計的精度和魯棒性，改善電池管理系統的可靠性。

1 鋰電池等效電路模型

1.1 SOE 的定義

功率積分法是在已知SOE初值的前提下，通過對端電壓與電流乘積累計求得當前的能量，進而實現當前狀態SOE的計算，其表達式為:

式中：SOE0為電池能量狀態的初始值；η1為充放電效率；En為額定能量；I為電池負載電流；Ut為電池端電壓。

1.2 等效模型

鋰電池在放電靜置過程中，對外表現出回彈電壓特性。RC 環能夠充分體現電池的極化效應，理論上RC 網絡的階次越高，對電池的外特性描述越符合電池的實際工作情況，但參數辨識就會越復雜，并且還會增加SOC估計的計算量。文獻[15]測試了多種等效模型，指出二階RC 模型表現最佳，對此建模如圖1所示。

根據基爾霍夫定律，可得電池模型的連續狀態空間方程：

式中：R0為歐姆內阻；R1、R2為電化學極化內阻；C1、C2為濃差極化電容；U1、U2為兩個RC 環的電壓；OCV為開路電壓；Ut為端電壓。

將連續狀態方程離散化為：

采用HPPC 放電制度對鋰電池進行實驗測試，然后運用脈沖過程法進行離線辨識，相應的辨識結果如表1所示。

表1 鋰電池等效模型參數

1.3 OCV-SOE非線性關系

OCV-SOE和OCV-SOC關系相關數據的獲取采取小電流插值法，如圖2所示。由圖可以看出，開路電壓相同時SOE與SOC卻不相同，說明了兩者存在差異并不能完全等效。

圖2 開路電壓和SOE以及SOC的非線性曲線

其中六階多項式擬合相對來說能夠準確地體現OCVSOE的非線性特性，如式(5)所示：

式中：z為SOE；a1= -6.502；a2= 34.65；a3= -69.48；a4=67.95；a5= -33.22；a6= 7.921；a7= 2.875。

2 基于擴展卡爾曼粒子濾波算法估計SOE

與擴展卡爾曼濾波算法(EFK)相比，粒子濾波算法(PF)的優點在于既不需要忽略泰勒展開式高階項，也不會受到噪聲分布的影響，但是粒子濾波算法在運行過程中會存在粒子退化的問題。因此本文將EKF 作為PF 算法的建議分布函數，即擴展卡爾曼粒子濾波算法(EPF)。

根據式(3)，對于鋰電池的狀態方程和測量方程可統一表示為：

EPF 算法的具體步驟包括七步：

3 多約束條件下的持續峰值SOP 估計

持續峰值SOP主要受當前端電壓值、當前SOE大小以及電池本身的設計限值三種條件共同限制，若僅在單一限制條件下將會導致誤差過大。

3.1 端電壓約束條件

3.2 SOE 約束條件

鋰電池的SOE需要滿足一定的限制條件，即SOEmin≤SOE≤SOEmax。那么在當前時刻SOE的限制條件下，未來時間段L×T的持續峰值放電電流和持續峰值充電電流可分別表示為：

3.3 峰值電流和峰值功率

結合上述兩種限制條件并同時考慮電池本身設計限制(放電峰值電流Idis和充電峰值電流Ich)，如表2所示，可分別得到多約束條件下的持續放電峰值電流與持續充電峰值電流。

表2 鋰電池充電和放電極值條件

結合式(10)可以分別得到持續峰值放電功率與持續峰值充電功率：

4 仿真測試結果分析

本文所用單體鋰電池的額定能量為6.858 Wh，額定容量為2.1 Ah，截止電壓為4.2 V/2.75 V，標稱電壓為3.7 V。

本文所提出的鋰電池SOE和多約束條件下持續峰值SOP聯合估計算法的具體實現步驟如下所示：

(1)對鋰電池特性進行實驗測試，得到動態應力工況(DST)的真實電流、電壓和SOE數據，然后離線辨識模型參數；

(2)在Matlab/Simulink 環境下，將上述電壓、電流數據注入到EPF 算法中以估計SOE值；

(3)運用上述多約束條件和SOE的估計數據以進一步估計持續峰值電流和持續峰值功率。

4.1 SOE 估計測試結果

圖3 是不同算法放電的電池SOE和端電壓的測試結果。由圖(a)和(b)可知，EKF 雖然收斂速度較快，但對于SOE的估計誤差較大，最大估計誤差為6.29%。而PF 算法SOE的估計誤差小于2%，即使存在初始誤差，PF 算法仍然能夠及時跟蹤并穩定收斂，平均估計誤差僅為1.7%。并且PF 算法能夠解決EKF 算法僅適用于高斯白噪聲條件的問題。EPF 不但比EKF和PF 的估計精度高，而且具有很快的收斂速度，也解決了PF算法粒子退化的問題。三種算法的最大絕對值誤差、平均絕對值誤差和方差的比較結果如表3所示，其中EFK、PF 和EPF的最大絕對值誤差分別為6.29%、1.7%和0.013 2%，EFK、PF和EPF的方差分別為0.027 7%、0.001 7%、6.94×10-8%。

圖3 DST工況下放電的測試結果

表4 不同算法對于SOE 估計精度的比較 %

端電壓觀測值始終跟蹤于真實值，且EPF 的估測誤差比PF 的更小，有效保證了算法對于狀態變量的準確估計。另外，實際上過多的粒子對于降低估計誤差的效果并不顯著，反而會增加計算量和計算時間。經過多次測試，本文最終采用的是100 個粒子。

4.2 持續峰值電流估計測試結果

5、20 和60 s 下的持續峰值放電電流如圖4(a)所示。持續峰值放電電流可分為三個階段：第一階段在高SOE區間，是由鋰電池本身最大放電電流決定；第二階段在中SOE區間，主要由端電壓限制條件決定；第三階段為低SOE區間，主要是由當前SOE限制條件決定，這是由于當鋰電池實際的SOE值過低時甚至接近SOE限制條件時，基于SOE值的峰值電流估計條件將會降低放電的電流，避免對鋰電池過放電。

持續放電的時間越長，第一階段的時間就越短，越容易進入第二階段。這是由于在相同放電電流下，放電時間越長，鋰電池就會越容易達到截止電壓。由于本文所采用的18650 型號鋰電池自身設計條件的電流限制值實際較大，所以在高SOE區域的約束效果并不明顯。就測試結果整體來說，在電池放電的前中期主要受端電壓的限制條件的影響，持續峰值電流的整體走勢較緩，而在電池放電的后期主要受SOE的限制條件影響，持續峰值電流的整體走勢變陡。

圖4(b)為持續峰值充電電流的結果。持續充電的時間越長，第二階段的長度就會越長。這是因為持續充電時間越長，同時刻要達到充電截止電壓所需要充電的電流就越小，所需要的充電電流就會以更慢的速率達到電池設計最大充電電流，第二階段就會越長。

圖4 持續峰值電流

4.3 持續峰值功率估計測試結果

5、20 和60 s 持續放電時間的DST 工況下的持續峰值放電功率的曲線如圖5(a)所示。持續峰值放電功率在三種持續時間下的整體走勢基本一致，但縱向對比而言，持續放電的時間越長，同時刻的持續峰值放電功率越低。這是因為持續時間越長，持續峰值放電電流會降低，端電壓就會越低，從而使得持續峰值放電功率越低。

圖5(b)是相應的持續峰值充電功率的結果。在第二和第三階段中，持續充電時間越長，同時刻的持續峰值充電功率的數值越小。隨著持續充電時間越長，同時刻要達到SOE充電限制條件或端電壓充電截止條件所需要的充電電流就越小，持續峰值充電功率就越低。持續峰值充電功率的數值在第一階段時會先增大，在后續階段再減小。第一階段中持續峰值充電電流為一個恒定值。隨著動態工況的運行，電池的SOE和OCV逐漸減小，以恒定電流進行持續L×T時間充電后的端電壓也逐漸減小，因此持續峰值充電功率數值逐漸減小。

5 結論

由于SOE的估計精度影響著持續峰值SOP是否可以準確估計，所以本文基于二階RC 等效模型，運用了擴展卡爾曼粒子濾波算法來實時估計SOE，從而保證了SOE具有較低的估計誤差。然后結合SOE的估計結果，在端電壓、SOE和鋰電池本身設計的多重限制條件下對持續峰值SOP進行了聯合估計。DST 放電的測試結果表明了所提出聯合估計算法的有效性和魯棒性，并且具有較高的估計精度。另外，需充分考慮溫度和老化對鋰電池模型參數的影響才能更充分地表達鋰電池系統復雜的等效機理，這是后續的研究重點。