負剛度時滯反饋控制動力吸振器的等峰優化1)

代 晗 趙艷影

(南昌航空大學飛行器工程學院,南昌 330063)

引言

工程上大多數機械振動是有害的,會加劇結構損傷、縮短設備使用壽命、降低舒適度和其他缺點.為了抑制有害的振動,Frahm[1]第一次提出了一種在單自由度主系統上耦合上無阻尼式吸振器,該型吸振器只有在外激勵頻率等于主系統頻率附近其減振效果才明顯,也導致其有效減振頻帶寬度比較窄.為了進一步減振和拓寬頻帶寬度,文獻[2-3]發展了無阻尼吸振器,研究的有阻尼吸振器克服了Frahm 吸振器的缺點,有效減低幅值的同時拓寬有效減振頻帶寬度,并發現主系統的頻響曲線始終通過兩固定點,即頻率和幅值不受吸振器阻尼值的影響.Brock[4]在文獻[2]基礎之上給出了阻尼值優化公式.Liu[5]改進了文獻[4]優化方法,設計了懸空阻尼器和接地阻尼器等兩種阻尼吸振器,給出了詳細的推導過程并數值驗證了優化方法.Asami 和Nishihara[6-7]不考慮主系統結構阻尼,在保證兩個共振峰幅值相等并且最小的前提下,利用固定點理論原理,對阻尼吸振器優化系統結構參數并給出解析表達式.然而,調諧質量阻尼器(tuned mass damper,TMD)在比較窄的頻帶范圍內有效并且依賴于固定的結構參數,當外激勵頻率在變化時,不能很好地減振.

彭海波等[8]研究了一種含有負剛度彈簧元件的新型動力吸振器模型,利用固定點理論,得到動力吸振器的最優阻尼比和最優頻率比,其減振效果遠優于傳統的調諧質量阻尼器吸振器模型.邢昭陽等[9]對一種含有放大機構的負剛度動力吸振器模型進行參數優化,其優化結果表明能夠大幅降低共振振幅、拓寬減振頻帶并且降低系統的諧振頻率.Benacchio等[10]把磁鐵產生的磁力搭建一個變剛度的磁吸振器(magnetic vibration absorber,MVA),通過調節MVA 的幾何參數,可以在含有線性負剛度元件下實現MVA的非線性動力吸振器、非線性能量阱和雙穩態的轉換.劉剛等[11]設計了一種新型連續可調的變質量-負剛度動力吸振器,具有較好的低頻有效性和較寬有效頻帶寬度.李強等[12]提出一種由柔性螺旋彈簧(spiral flexure spring,SFS) 及磁性負剛度彈(magnetic negative stiffness spring,MNSS)組成的新型可調動力吸振器,很好地抑制了航天設備上的低頻和超低頻振動.胡方圓等[13]提出了一種基于回復力曲面的時域非參數辨識方法,研究了4 種典型負剛度振子,實驗結果表明表面識別結果與實測回復力面吻合較好,解決了負剛度非線性系統回復力的辨識困難問題.

同樣,半主動吸振器(semi-active vibration absorbers,SAVs)也經常用在變外激勵頻率的振動減振.郎君等[14]將兩個半主動開關控制策略應用到Voigt型動力吸振器中,經過優化設計給出了最優控制策略.張婉潔等[15]研究了3 種基于相對速度反饋的控制策略,通過轉換控制開關在低頻共振區域、高頻共振區域和瞬態響應振幅方面具有很好的抑制振幅的效果.李鎖斌等[16]研究的超結構夾層板很好地滿足低寬頻振動帶隙減振.某些智能材料也被用在半主動吸振器上,如介電彈性體功能材料[17](dielectric elastomers,DE)、壓電材料[18](piezoelectric material,PM)、磁流變液[19](magnetorheological elastomers,MRE) 和形狀記憶合金[20](shape memory alloys,SMA).然而,SAVs 也僅僅是在外激勵緩慢變化的一段頻帶有效.

傳統的TMD 和SAVs 有作用的減振頻帶較窄,對變頻和寬頻帶的減振降幅效果差.國內外學者發展了很多應用于動力吸振器上的控制方法,如經典PID/PD[21]、PPF[22]、魯棒控制[23]、神經網絡控制[24]、模糊控制[25]和滑膜控制[26]等.文獻[27-28]提出在線性動力吸振器系統耦合時滯位移和加速度反饋控制,能根據外激勵頻率實時調節時滯反饋的狀態量并提出一種針對時滯系統穩定的方法(cluster treatment of characteristic roots,CTCR).Zhao 和Xu[29-30]進行了非線性系統的時滯減振的研究,研究發現時滯反饋控制在非線性系統具有更寬的有效減振頻帶.文獻[31-32]利用時滯反饋在線性系統和非線性系統進行反共振峰優化,通過調節增益系數和時滯量,把反共振頻率點的幅值降低到零.Sun 等[33]在非線性系統研究了非線性吸振器的等峰和去非線性問題,通過等峰優化方法對非線性吸振器的非線性系數進行優化后,實現了非線性系統的等峰特性,同時也消除了不利非線性振動現象,最后的實驗結果很好地驗證了理論結果.Meng 等[34]在時滯非線性系統設計等峰優化準則,利用時滯非線性吸振器對非線性系統進行減振,即使外激勵幅值較大時非線性吸振器減振效果也非常明顯.

綜上所述,鑒于負剛度吸振器和時滯反饋控制作動器在減低幅值和拓寬有效減振頻帶方面具有很好的效果,本文在負剛度吸振器系統耦合時滯反饋控制作動器,進行等峰優化后收到了更好的控制效果.為了評價等峰優化的效果,定義了有效減振頻帶寬度和共振峰幅值與反共振峰幅值差等指標,并在幅頻響應曲線圖中標示出指標值.為了定量分析減幅情況,定義了減幅百分比,直觀表示出各個頻帶內的減幅情況.

1 負剛度時滯反饋控制振動系統

1.1 力學模型

為了進一步完善振動系統,本文在彭海波等[8]學者研究的負剛度系統等峰優化模型中考慮了主系統的結構阻尼;同時為了進一步控制和優化等峰的幅值和拓寬負剛度系統的減振頻帶,又在該振動系統中加入位移時滯反饋控制;本文研究的負剛度時滯反饋控制吸振器系統的力學模型化簡為圖1.其中k是變負剛度的剛度系數;m1,m2,c1,c2,k1和k2分別是主系統和吸振器的質量、阻尼和剛度系數;g1和τ分別是時滯反饋增益系數和時滯量;x1和x2分別是主系統和吸振器的位移;F0是外激勵力的幅值,ω 是外激勵頻率.

圖1 時滯耦合負剛度吸振器系統的力學模型Fig.1 Mechanical model of delay-coupled negative stiffness system

由牛頓第二定律得到系統的運動微分方程

為了優化參數的方便和使方程更具有通用性,對方程式(1)進行無量綱處理,為此引入如下相關參數及無量綱量

其中(·)′=d(·)/dt,(·)′′=d2(·)/dt2.設方程組(3) 的解為

將解(4)代入方程組(3)解得

其中Δ(Ω)為

引入變量A1和A2,分別代表主系統和吸振器的振幅,如下式

1.2 被動負剛度吸振系統

忽略主系統的結構阻尼(即主系統的阻尼系數ξ1=0),同時令時滯反饋控制增益系數g=0 和時滯量τ=0,本文1.1 節所述的吸振器模型就退化為文獻[8]所研究的被動式接地負剛度型動力吸振器.文獻[8] 是通過固定點理論對兩個共振峰進行優化來尋找最優結構參數sp={ξ2,α,p,μ},滿足如下等峰優化的條件

其中A1(sp,Ω)是主系統頻率響應,Ω1和Ω2分別是第一階共振頻率和第二階共振頻率.通過式(8)的優化過程,文獻[8]得到最優的一組結構參數,如下式

Asami 和Nishihara[6]通過固定點理論和H∞優化理論得到滿足幅值相等的結構參數如下

在μ=0.1 和最優結構參數下,畫出含接地負剛度吸振器的文獻[8]系統的幅頻響應曲線,如圖2 中的虛線所示;在相同的結構參數下,畫出不含接地負剛度吸振器的文獻[6]系統的幅頻響應曲線,如圖2中的實線所示.為了定量的分析圖2 中兩模型的幅頻響應曲線,本文參考文獻[35] 有效減振頻帶和衰減量的定義,定義了如下考查量

圖2 最優結構參數下的幅頻響應曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curves for optimal structural parameters

其中Ares1,Ares2和Aanti分別是第一、第二共振峰和反共振峰的振幅;Ωres1,Ωres2和Ωanti分別是第一、第二共振頻率和反共振頻率;APV是兩個共振峰幅值的中間值與反共振峰幅值的差值;定義FBW是在滿足一定APV值時的有效減振頻帶寬度.

從圖2 中知,在相同質量比μ=0.1 時,文獻[8]減振系統的APV是0.58,文獻[6]減振系統的主系統反共振峰幅值Aanti是1.80.因此,依據上述減振系統的APV和反共振峰幅值Aanti,本文模型在進行等峰優化時APV小于0.5 和Aanti小于1.8,后文用到上述兩個值時不再說明.

雖然被動式接地負剛度吸振器具有很好的降幅效果,但為了進一步降低幅值,同時兼顧有效減振頻帶寬度和適當的共振峰幅值與反共振峰幅值差,本文考慮在負剛度吸振器系統加入主動時滯反饋控制.

1.3 時滯耦合振動系統

為了解決進一步降低幅值、增大有效減振頻帶寬度和適當的共振峰幅值與反共振峰幅值差等問題,考慮在含有負剛度的吸振器中耦合入時滯反饋控制,此時系統的運動微分方程即為方程組(3),該方程組考慮了以下兩種條件:

(1) 考慮到主系統存在結構阻尼且不可以忽略,此時主系統的阻尼系數為ξ1≠0.

(2) 考慮到控制器硬件設備的限制,時滯反饋控制增益系數g和時滯量 τ 的取值范圍做適當的限定,g和 τ 的實際取值區間為:r0={(g,τ)|0 ≤g≤2,0 ≤τ ≤2}.

依據等峰優化條件式(8),對含有時滯反饋控制的負剛度吸振器系統進行初步的等峰優化設計,其優化條件如下

其中p={μ,ξ1,ξ2,p,α}反映的是系統結構參數.為了減小優化分析過程計算量,考慮實際結構模型,并對結構參數進行取值的限定,假設質量比μ=m2/m1=0.1 和ξ1=0.501 7 固定不變,p的其他結構參數初始值p0由式(9)確定.

2 時滯反饋控制的等峰優化設計

2.1 系統穩定性分析

時滯反饋控制會引起系統不穩定,需要對反饋增益參數g和時滯量τ 進行穩定性分析,判定方程組(3)穩定性的特征方程如下

根據羅斯-霍爾維茨準則,時滯耦合系統穩定的條件是特征方程(13) 的特征根均為負實部,其穩定區間的邊界是特征方程(13) 的特征根均為純虛根,即λ=jΩc,Ωc∈R+,令0 ≤Ωcτ ≤2π,Ωc是根的虛部.本文考慮用CTCR[28]方法對系統進行穩定性分析,進而得到如圖3 所示的g和τ 的穩定區間r1={(g,τ)|Re[CE(p,g,τ)] ＜0}∩r0,陰影部分代表穩定區間.其中,圖3(a) 以負剛度系數α=-0.8 為例,給出了不同吸振器阻尼系數下g和τ 的穩定區間;圖3(b)以吸振器阻尼系數ξ2=0.46 為例,給出了不同負剛度系數下g和τ 的穩定區間,此時結構參數p={μ,ξ1,ξ2,p,α}.

從圖3(a) 中觀察到,隨著吸振器阻尼系數的增大,g和τ 的穩定區間在不斷增大;從圖3(b)中觀察到,隨著負剛度系數絕對值的減小,g和τ 的穩定區間也在不斷增大.

圖3 不同結構參數下g 和τ 的穩定區間Fig.3 Stable intervals of g and τ for different structural parameters

為了驗證CTCR 法求得的穩定區間,以系統參數α=-0.8,ξ2=0.46 為例,給出g和τ 的穩定區域圖如圖4(a) 所示.從圖4(a) 中可以看出當g=1.2,τ=0.8 時,時滯反饋控制系統是穩定的;將上述時滯控制參數值分別代入特征方程(13),用“quasipolynomial mapping based root-finder”[36]法得到特征根,取所有特征根中的實部最大值Remax,分別得到圖4(b)的τ-Remax曲線和圖4(c)的g-Remax曲線.觀察上述圖可知,圖4(a)中的陰影區域是穩定的,同時圖4(b)和圖4(c)中的臨界值等于圖4(a)的臨界曲線上的值,驗證了CTCR 方法求得的穩定區間是正確的.

圖4 g 和τ 的穩定區域圖Fig.4 Stable intervals of g and τ

2.2 等峰優化準則

針對線性系統的被動式吸振器的等峰優化問題,文獻[6,8] 均通過固定點理論給出了詳細的推導過程并給出式(9)和式(10)所示的優化參數解析表達式.將質量比μ 代入該公式,可以求得滿足等峰的一組結構參數值,但是無法通過優化過程控制和降低等峰值的振幅.

鑒于以上原因,本文通過耦合入位移時滯反饋主動控制來對減振系統的等峰優化進行改善,等峰優化同時能夠實現控制和降低等峰振幅的目的.但是,運動微分方程中含有位移時滯反饋項,對于這樣的無限維振動系統,無法通過固定點理論獲得如式(9) 所示的優化參數解析表達式.本文采用半解析-半數值方法對該振動系統進行等峰優化設計,數值計算的步長影響求解最優結構參數的精度,設計一種等峰優化準則,過程如下.

本文研究的是二自由度線性系統的等峰優化問題,可以通過求解主系統振幅的極大值來進行等峰優化.首先,通過極值原理得到主系統極大值條件如下

其中dA1/dΩ,d2A1/dΩ2是由式(7) 求導得到.進而得到共振點的頻率值Ωres1和Ωres2,代入式(7) 求得共振頻率點的幅值Ares1和Ares2.其次,從滿足降低共振峰幅值的角度,本文將共振峰幅值控制在1.8 以下,同時使得兩個共振峰的峰值相等,考慮利用位移時滯反饋控制來調控共振點的幅值及共振頻率的位置,需要設計共振點振幅相等準則,即設計如下等峰值小于給定值同時小于給定適當APV值的等峰準則

設定r2為滿足共振峰幅值相等且共振峰小于給定值和小于給定適當值APV=0.5 的穩定g和τ 的區間,如下式所示

計算r2的詳細過程如流程圖5 所示.其中對系統結構參數p0和p之間劃分為N等份,即Δp=接著對結構參數和pn之間劃分為H等份,即N和H的取值越大,Δp和Δpn越小精度越高,本文中取N=40,H=100.Δp中的參數變化只針對Δpn中的參數變化只針對α,其他參數如表1 所示.

圖5 流程圖Fig.5 The flow chart

表1 結構參數Table 1 The structural parameters

應用流程圖5,在不同結構參數α 和ξ2下得到如圖6(a)所示的增益系數g和時滯τ 所能調節共振峰的最大值A1H曲面和最小值A1L曲面,其ξ2截面如圖6(c) 的陰影區域所示;同時得到增益系數g和時滯τ 所能調節的頻帶寬度最大值FBWH曲面和最小值FBWL曲面如圖6(b)所示,其ξ2截面如圖6(d)的陰影區域.從圖6(a)和圖6(c)中知,對于固定的負剛度值α,吸振器阻尼系數ξ2取值越小,位移時滯反饋控制所能優化降低共振峰的幅值越大,減幅效果越不明顯,但都控制在1.8 內;對于固定的吸振器阻尼系數,負剛度值α 的絕對值越小,增益系數g和時滯τ 優化降低共振峰的幅值越小,減幅效果越明顯,但最低幅值并沒有低于1.2;綜上所述,吸振器阻尼系數ξ2對共振峰的影響較小,負剛度值α 對共振峰的影響較大.從圖6(b)和圖6(d)中知,對于固定的負剛度值α,隨著吸振器阻尼系數取值增大,FBWL先減小后增大,FBWH則一直增大,即增益系數g和時滯τ 所能調節的有效頻帶寬度值FBW呈增大趨勢;對于固定的吸振器阻尼系數,隨著負剛度值α 的絕對值越小,FBWL-α 先減小后增大呈凹型拋物線狀,然后隨著ξ2增大FBWL-α 的曲線呈凸型拋物線狀,而FBWH-α 一直在增大.這種FBWL由凹變凸的變化趨勢和FBWH增大有助于增寬有效減振頻帶FBW寬度.

圖6 (a)A1,ξ2,α 響應曲面;(b)FBW,ξ2,α 響應曲面;(c)不同ξ2 參數下A1-α 響應截面圖;(d)不同ξ2 參數下FBW-α 響應截面圖Fig.6 (a)Response curved surfaces of A1,ξ2 and α;(b)response curved surfaces of FBW,ξ2 and α;(c)response curves A1-α on the section of different ξ2;(d)response curves FBW-α on the section of different ξ2

以吸振器阻尼系數ξ2=0.46 為例,下面分析負剛度值α 分別對g-τ 穩定曲線、共振峰幅值A1和有效減振頻帶寬度FBW的影響,經過流程圖5 得到圖7.為了便于從α 軸觀察,在圖7(a)中畫出不同負剛度值α 的截面,隨著負剛度值α 的絕對值增大,滿足所提等峰優化方法的g和τ 曲線范圍越大.圖7(b)是不同負剛度值α 下的g,τ 和A1的曲線,從圖中知,負剛度值α 的絕對值越小,使系統穩定的g和τ 所能降低共振峰A1的幅值越小.圖7(c)是不同負剛度值α 下的g,τ 和FBW的曲線,從圖中知,負剛度值α 的絕對值越大,使系統穩定的g和τ 所能拓寬有效減振頻帶寬度FBW的范圍越大.

圖7 在ξ2=0.46 時,不同參數α 時等峰優化的各參數關系圖Fig.7 Parameter relationship graphs of equal-peak optimization under ξ2=0.46 for different α

綜合圖6 和圖7 可知,在對共振峰幅值優化時,當吸振器阻尼系數取值確定時,負剛度α 的絕對值越小,使系統穩定的g和τ 曲線范圍越小,g和τ 所能降低的共振峰A1的幅值越小和所能拓寬有效減振頻帶寬度FBW的范圍越小,可以綜合考慮共振峰A1和有效減振頻帶寬度FBW來取負剛度α 的值.同時,在實際控制系統中,也可以選擇能夠使得有效減振頻帶寬度較寬和等峰幅值較小的控制參數,實現對系統的寬頻和低幅控制.

2.3 頻域驗證

為了驗證位移時滯反饋控制的等峰優化結果,以吸振器阻尼系數ξ2=0.46 為例,從圖7(b) 中取α=-0.24,得到滿足所提等峰優化方法的g和τ 曲線圖8(a)和對應參數下的幅頻響應曲線,如圖8(b)～圖8(d).從圖8(b)～圖8(d)中知,共振峰幅值均控制在1.3 左右,有效減振頻帶FBW能控制在在0.6 附近,此時共振峰幅值與反共振峰幅值的差值APV也控制在0.5 以內.

圖8 穩定g-τ 曲線上3 個標記圓點的幅頻響應曲線:α=-0.24;ξ2=0.46Fig.8 Amplitude-frequency response curves for three dots on the stability curve of g-τ:α=-0.24;ξ2=0.46

3 模型對比分析

本文設計了時滯反饋控制等峰優化的方法并對結構參數進行優化分析,對共振峰的幅值和有效減振頻帶的寬度具有調節作用.為了證明位移時滯反饋控制等峰優化方法的有效性,選取本文的一組結構參數與Asami 振動系統[6]和Peng 振動系統[8]模型的最優結構參數進行對比分析,其中g=1.05,τ=0.97,3 種模型的其他結構參數如表2 所示.

表2 三種模型的結構參數Table 2 Structural parameters for three models

把3 種模型的結構參數分別代入式(7) 得到3種吸振器的幅頻響應曲線如圖9 所示,其中實線是文獻[6]模型的幅頻響應曲線,點劃線是文獻[8]模型的幅頻響應曲線,虛線是本文研究模型的幅頻響應曲線.從圖9 中可以看出,與文獻[6] 的吸振器模型相比,外激勵頻率Ω 在(0.5～1.3)區間內,本文的位移時滯負剛度吸振器的減幅效果明顯,同時也極大的降低了共振頻率點的幅值并且具有較寬的有效減振頻帶;與文獻[8] 的吸振器模型相比,當外激勵頻率Ω 在(0～1.3) 區間,本文的模型具有較好的減幅效果,同時也把共振峰的幅值控制在1.3 附近,并且有效減振頻帶寬度與文獻[8]的相差不到0.1.

圖9 不同吸振器模型下的幅頻響應曲線Fig.9 Amplitude-frequency response curves for different vibration absorber models

為了定量上對比分析本文吸振器模型與其他兩種吸振器模型的減幅效果,定義減幅百分比,定義如下

其中AA,AP和A1分別代表文獻[6,8]和本文模型的主系統的振幅,ρ1和ρ2是減幅百分比,當外激勵頻率Ω ∈(0～3)畫出減幅的百分比如圖10 所示.

圖10 是本文模型分別與Asami 模型[6]和Peng模型[8]的主系統減振幅值百分比.從圖10(a) 和圖10(b)中可以看出,均存在3 個最大減振幅值百分比,在Ω ∈(0.5～1.3) 內的兩個減幅百分比最大值對應文獻[6]模型和文獻[8]模型的兩個共振頻率;第三個最大的減幅百分比是由于本文模型的幅頻響應曲線在第二共振峰后急劇下降引起的.與文獻[8]模型相比,外激勵Ω 在(0～1.3)內都能控制在20%以上,特別在文獻[8]的共振頻率處能達到以上45%;與文獻[6] 模型相比,外激勵Ω 在(0.53～1.3) 內都能控制在20%以上,特別在文獻[6]的共振頻率處能達到70%以上.

圖10 主系統減振效果對比圖Fig.10 Control performance of the main system

當外激勵頻率Ω=1 時,分別給出文獻[6]模型,文獻[8] 模型和本文模型的主系統的時間歷程響應曲線圖11(a)～圖11(c)所示,仿真的結果與圖9 的結果相吻合.

圖11 主系統的時間歷程響應曲線Fig.11 Time-history response curves of main system

4 結論

本文對時滯負剛度吸振器在共振頻率點的幅值進行等峰優化設計,優化過程兼顧了控制和降低共振峰幅值以及拓寬有效減振頻帶寬度,得到以下主要幾點結論.

(1)對穩定區間的影響:負剛度值α 的絕對值越小和吸振器阻尼系數ξ2越大,增益系數g和時滯τ的穩定曲線所圍成的陰影區域面積越大.

(2)對共振峰的影響:負剛度值α 的絕對值越小和吸振器阻尼系數ξ2越大,在增益系數g和時滯τ的有效調節范圍內降低共振峰幅值的效果越好,共振峰最低能控制在1.3 附近.

(3)對有效減振頻帶寬度的影響:隨著負剛度值α 的絕對值減少和吸振器阻尼系數ξ2增大,增益系數g和時滯τ 所能調節的有效減振頻帶寬度最大值FBWH一直在增大,所能調節的頻帶寬度最小值FBWL曲線先減少后增大,其變化趨勢由凹型拋物線變為凸型拋物線.

(4)取一組經過等峰優化準則的增益系數g和時滯τ,對比文獻[6]模型和文獻[8]模型,本文的模型在兩者的共振頻率附近的一段頻帶寬度內表現出很好的減幅效果,同時在整個頻率段具有較低的振幅.