利用天牛須算法智能優化固體激光諧振腔

韓克禎，許貞珂，張詩杰，柳春林，韓運奧，秦華

(山東理工大學 物理與光電工程學院, 山東 淄博 255049)

激光諧振腔的結構參數，如腔鏡的曲率半徑、各腔鏡之間的距離、腔鏡折疊角度等對激光器的穩定性以及腔內振蕩光斑的大小有直接影響，因此諧振腔參數的選取是激光技術中的重要環節。對于參數較少的兩鏡腔，通過簡單的嘗試即可以獲得滿意的腔參數。而對于結構復雜的多參數諧振腔，如超快技術中的全固態鎖模激光器，由于參數較多，人們一般會參考已有的腔型結構，在此基礎上進行試探性改動，以期獲得所需要的諧振腔結構參數。當需要改動的參數較多時，靠人工嘗試法尋找一組合適的諧振腔參數變得非常困難。因此,將計算機智能優化算法引入激光諧振腔設計具有重要的應用價值。

在眾多的優化算法中，仿生群體算法是一種有趣而高效的全局優化算法，如螞蟻群算法、粒子群算法等。根據其優化機理，螞蟻群算法特別適合求解離散空間的優化問題，如旅行商路徑規劃問題[1]；而諧振腔參數是連續變化的，其優化過程與粒子群算法的機制更為契合。我們已經嘗試利用粒子群算法進行諧振腔的設計，并證明了該算法在多參數諧振腔設計中的有效性[2]。但是粒子群算法每次迭代都需要計算大量粒子的適應度函數值，并且要在大量粒子之間進行信息交換和對比，計算量較大、程序運行速度慢。2017年，中國學者提出一種新的仿生算法—天牛須搜索算法，其最典型的特點就是優化過程中只需要一個搜索個體，計算量大大減小，尋優速度快，并且程序的編寫和調制非常簡單[3-4]。該算法自提出之后就在眾多領域取得應用，如微網格能量管理[5]、風暴潮災害預測[6]、電液位置伺服控制系統PID控制器優化[7]、艦艇防撞預警[8-9]、機器人路徑規劃[10]、室內環境定位[11]等，但目前還沒有將其用于激光諧振腔設計的報導。因此，利用天牛須搜索算法進行多參數復雜激光諧振腔的設計是很有意義的嘗試和探索。

1 天牛須搜索算法簡介

天牛須搜索算法是受到天牛覓食的啟發而提出來的智能仿生算法。其仿生原理為[3-4]: 天牛有兩只長長的觸角，在其外出覓食時，如果左邊觸角接收的氣味強度比右邊大， 那下一步天牛就會向左邊移動， 反之天牛會向右邊移動。通過不斷的探測、比較和移動，天牛最終能夠找到食物最豐富的地方。與其他仿生智能算法如螞蟻群算法、粒子群算法相比，天牛須算法中的搜索個體僅有一個，程序的計算量小，代碼編寫簡單，尋優速度較快。

2 天牛須算法用于諧振腔設計

2.1 天牛須算法優化諧振腔的步驟

利用天牛須搜索算法智能化設計全固態諧振腔的步驟描述如下：

1)將待優化的諧振腔參數，包括腔鏡反射面的曲率半徑R1，R2，…，RM(M為待優化腔鏡個數)，相鄰光學元件距離l1，l2，…，lN(N為待優化距離參數個數)，以及腔鏡折疊角度θ1，θ2，…，θQ(Q為待優化的折疊角度個數)的組合作為天牛須搜索算法中天牛所在的初始化隨機位置矢量X0= [R1,R2, …,RM,l1,l2, …,lN,θ1,θ2, …,θQ]，其中每一個參數的數值在各自的待搜索范圍內隨機取值；記錄該初始位置X0為當前最佳位置posBest，記錄該初始位置對應的適應度函數的值F(X0)為當前最佳值fBest。

適應度函數F(X0)的計算過程如下：

對于駐波腔，根據ABCD傳輸矩陣法計算諧振腔內各點在弦切面和弧矢面內的往返矩陣，對于行波腔，計算對應的單程傳輸矩陣，然后計算諧振腔在弦切面和弧矢面內的穩定性判據因子和待考察點的本征振蕩光斑大小，最后根據設計目標確定搜索算法的適應度函數為：

(1)

式(1)中的下標tan和sag分別表示弦切面和弧矢面，A和D表示最終傳輸矩陣中的第1個和第4個矩陣元素，ωi和ωi,goal表示第i個考察位置處的本征振蕩光斑與設計目標的半徑大小，求和公式中的N表示考察位置的總個數。

2)生成一個方向隨機的單位向量b0作為天牛的兩條須的搜索方向，該單位向量的維度跟上一步(1)中X的維度相同。

3)確定天牛須初始須長d0，則天牛的左右兩須頂點的位置為：

Xleft=X0-d0·b0

Xright=X0+d0·b0

(2)

需要指出的是，上式中單位向量b0的方向是隨機的，并且d0的數值盡量大一些，目的是增加搜索的隨機性和從局部極小值的躍出能力。

4)比較左右兩須頂點對應的評價函數F的大小關系，并決定下一步天牛的前進位置：

X1=X0+step0·b0·sign(F(Xright)-F(Xleft))

(3)

其中step0是天牛的初始移動步長，該數值取值盡可能大一些。sign是數學中的符號函數。

比較F(X0)與F(X1)，如果F(X0)

5) 假設算法進行到第k步(k≥1), 此時天牛的位置、兩須搜索隨機單位方向、左右兩須的位置和移動步長分別為Xk，bk，Xleft k，Xright k和stepk，那么在k+1步時，天牛的位置更新為：

Xk+1=Xk+stepk·bk·sign(F(Xright k)-

F(Xleft k))

(4)

比較F(Xk+1)與F(Xk)，如果F(Xk+1)

為了保證搜索過程早期能夠跳出局部最優而后期又能夠收斂于符合目標的全局最優，天牛的須長和步長均隨迭代次數k而變化，具體迭代公式為：

(5)

其中Iter表示程序設定的總迭代次數，dIter表示在最后一次迭代時天牛的觸須長度。迭代公式(5)表明，搜索初期天牛的位置變化步長較大，容易從局部最優值跳出；搜索后期步長變小，實現精細搜索，可以收斂于全局最優值。

6)如果程序達到設定的迭代次數或者適應度函數值達到預期目標，則天牛須搜索過程終止，posBest即為搜索得到的諧振腔參數組合。

2.2 天牛須算法設計諧振腔實例

以激光鎖模技術中常用的五鏡W型諧振腔的設計為例進行詳細說明。待設計腔型結構如圖1所示。腔參數有：五個鏡片的曲率半徑R1～R5，激光晶體長度lg，腔鏡之間、腔鏡與晶體之間的距離l1,l21,l22,l3,l4,以及腔鏡之間折疊角2θ2、2θ3、2θ4等。一般地，輸出耦合鏡M1采用平面，即R1=；腔鏡M5為反射式可飽和吸收體Sesam，一般也是平面，R5=；為了不影響泵浦激光的會聚效果，腔鏡M3通常取為平面，R3=；激光晶體Nd:YVO4的尺寸為336 mm3，其Nd3+摻雜原子濃度為0.3%，切割方向為a軸，振蕩激光波長1 064 nm，則其折射率為n=2.168[2]。設計穩定工作的泵浦功率為20 W，實驗測定該功率下激光晶體的熱透鏡焦距為f=200 mm。為了保證腔內光線不被晶體和腔鏡遮擋，設定圖2中的三個折疊角度分別為θ2=5°，θ3=10°，θ4=5°。

諧振腔的設計目標為：弦切面和弧矢面內的穩定性因子均為0；考慮泵浦光與振蕩光斑大小匹配，激光晶體中心處，設置振蕩光斑目標大小為300 μm；考慮到可飽和吸收體的飽和光強，設置Sesam處目標光斑為100 μm。

綜上，該諧振腔的待優化參數見表1。其中大部分參數的搜索范圍設置得很大，是為了體現天牛須算法的全局搜索能力；但是l22設置的較小，這是因為圖1中泵浦LD的耦合系統(CS)焦距有限。

圖1 待優化W型鎖模諧振腔結構示意圖Fig.1 The configuration of W-shape mode locking laser resonator

經天牛須搜索算法15 000次迭代搜索，獲得接近0的適應度函數值。從圖2可以發現，在大約1 500次迭代后，已經獲得較小的適應度函數值；繼續迭代到15 000次，圖2中的插圖(a)表明在前500次迭代內，優化速度很快，插圖(b)表明搜索算法還能獲得細致的局部優化。

圖2 適應度函數隨迭代次數的關系Fig.2 The fitness value versus iteration times

表1 待優化參數及其搜索范圍Tab.1 The parameters to be optimized and their search range

得到優化的諧振腔參數見表2。采用優化后參數的諧振腔內的本征振蕩光斑大小分布如圖3所示?？梢园l現，弦切面和弧矢面內的光斑分布基本一致，說明像散極小，并且光斑變化平緩。表3列出了諧振腔穩定性因子和兩個考察點(晶體中心處和腔鏡M5處)的光斑大小的目標值和優化結果值的對比。諧振腔弦切面和弧矢面內的穩定性因子分別為0.12和-0.003 9，跟目標0比較接近；晶體中心處的光斑為300μm和293μm，基本符合預期的300μm；Sesam處的光斑為103μm和100μm，也基本滿足了100μm的設計目標。結果表明，在本例7個參數、6個設計目標的復雜情況下，天牛須算法完全能夠勝任設計任務。由此可見天牛須搜索算法可以實現人工試錯法無法實現的復雜多參數諧振腔的多目標設計任務。

表2 天牛須尋優得到的參數值Tab.2 The parameters found by BAS optimization

圖3 天牛須算法優化得到的諧振腔本征模式 在弦切面和弧矢面內的半徑大小分布Fig.3 The eigen-mode radius distribution in tangential and sagittal plane in the BAS optimized resonator

表3 優化后的諧振腔模結果Tab.3 The resonator mode distribution after optimizaiton

3 結論

1) 實例表明，天牛須搜索算法可以輕松實現7個參數、6個目標的復雜多參數全固態諧振腔的智能化設計。

2) 諧振腔的穩定性因子在弦切面和弧矢面內的優化結果跟目標值的誤差分別在12%和0.39%；晶體中心處光斑大小的誤差在兩個面內分別為0和2.3%；Sesam處的光斑大小在兩個面內的誤差分別為3%和0。

3) 要進一步提高天牛須算法的搜索能力，可以從兩個方面進行改進：采取更合理的步長變化策略；或者將天牛須算法與粒子群算法結合，構建在不同尋優個體之間分享信息的天牛群算法。

本文首次將天牛須搜索算法應用于多參數激光諧振腔的多目標設計，設計結果表明了天牛須搜索算法的簡單和有效。本研究一方面豐富了天牛須搜索算法的應用， 另一方面也提高了多參數復雜諧振腔設計的智能化。我們相信通過對天牛須搜索算法的繼續研究和改進，其在復雜激光諧振腔的多目標優化中的性能會進一步提升。