具有隱藏吸引子的廣義Lorenz系統(tǒng)及其同步控制

謝悅， 張莉，喬帥

(1. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070;2.蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅 蘭州 730050)

近幾十年來，人們對混沌現(xiàn)象的研究一直未間斷。隨著科學(xué)探索的不斷深入，人們對混沌系統(tǒng)有了更多的了解。同時，提出了很多新的混沌系統(tǒng)并研究其動力學(xué)特性[1-3]。

隱藏吸引子是一種特殊的吸引子，與自激吸引子不同，它的吸引盆不包含平衡點的鄰域，存在周期振蕩和混沌振蕩兩種類型。近年來，人們對具有隱藏吸引子的非線性系統(tǒng)的研究做了大量的工作。包涵等[4]實現(xiàn)了一種新型的四維憶阻自激振蕩系統(tǒng)，該系統(tǒng)不存在任何平衡點，但可生成周期、準(zhǔn)周期和混沌等隱藏吸引子，表現(xiàn)出豐富而復(fù)雜的隱藏動力學(xué)特性。王震等[5]數(shù)值分析了一類具有隱藏吸引子的三維Jerk 系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的周期1、周期2、混沌吸引子、Lyapunov指數(shù)譜、分叉等，通過零傾線給出了系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)點處的局部動力學(xué)行為。Mohammad等[6]引入了一個獨特的簡單混沌流，它可以歸屬于三種著名的隱藏吸引子和具有自激吸引子的系統(tǒng)。Dawid等[7]回顧了隱藏吸引子最具代表性的例子，討論了他們的理論性質(zhì)和實驗觀測，也描述了識別隱藏吸引子的計算方法。上述文獻(xiàn)研究了具有不同性質(zhì)隱藏吸引子的幾種非線性系統(tǒng)及其典型的動力學(xué)行為，為探索非線性系統(tǒng)在不同參數(shù)和初值時隱藏吸引子的存在和控制提供了思路。動力系統(tǒng)中隱藏振蕩的存在，會使生活和工業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)生不穩(wěn)定狀態(tài)的現(xiàn)象，因此，對具有隱藏吸引子的動力系統(tǒng)的動力學(xué)分析是十分必要的。

廣義投影同步中驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差的比例因子為常數(shù)，錯位投影同步是在投影同步的基礎(chǔ)上將誤差系統(tǒng)的各分量進(jìn)行錯位配對。Luo在文獻(xiàn)[8]中提出了一種由遞歸過程組成的主動反推方法，將Lyapunov函數(shù)的選擇與主動控制的設(shè)計相結(jié)合，實現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lu系統(tǒng)的組合同步。Feng在文獻(xiàn)[9]中采用主動退步方法實現(xiàn)組合投影同步，這種同步方案比一般的驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)的投影同步在保密通信中具有更強(qiáng)的抗攻擊能力和抗翻譯能力。Zhang在文獻(xiàn)[10]中提出了兩個混沌系統(tǒng)間的完全錯亂廣義投影同步，即驅(qū)動系統(tǒng)的每個變量和響應(yīng)系統(tǒng)的非對應(yīng)的變量進(jìn)行組合同步。上述文獻(xiàn)討論的是非線性系統(tǒng)的組合同步、完全錯亂同步等，這些同步方法是在驅(qū)動-響應(yīng)同步的基礎(chǔ)上進(jìn)行復(fù)雜化。多樣化的混沌同步由于同步誤差的復(fù)雜性增強(qiáng)、系統(tǒng)變量多、系統(tǒng)之間的傳輸方式更加多樣化，系統(tǒng)傳輸?shù)男畔⒖赡軙碛懈鼜?qiáng)的抗干擾性與抗破譯能力，因此，研究多個系統(tǒng)的同步受到了人們越來越多的關(guān)注。

基于以上綜述，本文首先討論廣義Lorenz系統(tǒng)共存的隱藏動力學(xué)行為，并通過數(shù)值仿真驗證此系統(tǒng)動力學(xué)現(xiàn)象。同時在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，改進(jìn)完全錯亂廣義投影同步，設(shè)計一種新的統(tǒng)一廣義投影同步方案，并通過Matlab數(shù)值仿真實現(xiàn)兩個廣義Lorenz系統(tǒng)間的統(tǒng)一廣義投影同步。

1 廣義Lorenz系統(tǒng)的自激吸引子

定義1 吸引子的吸引域與不穩(wěn)定不動點的任意開鄰域相交，稱為自激吸引子。否則，它被稱為隱藏吸引子。

自激周期振蕩和混沌振蕩并不能包括所有可能的振動類型，例如遠(yuǎn)離不穩(wěn)定平衡點的吸引子類型，或者來自不穩(wěn)定平衡點的系統(tǒng)吸引子，或者沒有不穩(wěn)定平衡點的系統(tǒng)吸引子。接下來，本文討論廣義Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的自激吸引子。

1.1 廣義Lorenz系統(tǒng)

廣義Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

式中a,b,c,d是常數(shù)，其不同的取值對應(yīng)系統(tǒng) (1)不同的狀態(tài)，當(dāng)a=10,b=0,c=28,d=8/3時，系統(tǒng)(1)為經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)。

1.2 對稱性

系統(tǒng)(1)是一個關(guān)于(x,y,z)→(-x,-y,z)的對稱變換，也就是說，系統(tǒng)關(guān)于z軸是對稱的，這個特點對所有的系統(tǒng)參數(shù)都是適用的。

1.3 耗散性

對于系統(tǒng)(1)，有

因此，為了保證系統(tǒng)(1)的耗散性，需要-a-1-d<0，即本文選擇的所有系統(tǒng)參數(shù)都滿足這一條件，以保持系統(tǒng)的混沌特性。

1.4 共存的自激吸引子

在給定的參數(shù)下，非線性系統(tǒng)在不同初始值下展現(xiàn)的吸引子稱為共存吸引子。共存吸引子具有豐富的非線性特性，已成為近年來的一個重要研究課題。當(dāng)參數(shù)選取a=10,b=0,c=28,d=8/3時，當(dāng)初值取x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0.1時，系統(tǒng)(1)的兩個對稱的共存吸引子如圖1(a)所示；當(dāng)初值取x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3和x(0)=-10,y(0)=-10,z(0)=-10時，系統(tǒng)(1)的兩個非對稱的共存吸引子如圖1(b)所示。

(a)對稱吸引子 (b)非對稱吸引子圖1 系統(tǒng)(1)共存的吸引子Fig.1 Coexisting attractors of system (1)

下面討論a=10,b=0,c=24.5,d=8/3時系統(tǒng)(1)的共存吸引子。在上述參數(shù)下系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為：LE1=0.798 8,LE2=0,LE3=-14.464 1，故系統(tǒng)此時處于混沌狀態(tài)。 通過計算，系統(tǒng)(1)的三個平衡點均是不穩(wěn)定的。當(dāng)初值取x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0.1和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0.1時，系統(tǒng)(1)的兩個對稱的共存自激吸引子如圖2(a)所示；當(dāng)初值取x(0)=0.1,y(0)=0.2,z(0)=0.3和x(0)=-3,y(0)=-3,z(0)=-3時，系統(tǒng)(1)的兩個非對稱的共存自激吸引子如圖2(b)所示。基于初始值共存吸引子的存在也充分說明了廣義Lorenz系統(tǒng)對初始值的敏感性。

(a)對稱吸引子 (b)非對稱吸引子圖2 系統(tǒng)(1)的共存自激吸引子Fig.2 Coexisting self-excited attractors of system (1)

2 廣義Lorenz系統(tǒng)的隱藏振蕩

2.1 廣義Lorenz系統(tǒng)的隱藏吸引子

當(dāng)系統(tǒng)(1)的參數(shù)選擇為a=-bc,b=-0.5,c=6.8,d=1時，系統(tǒng)(1)的三個Lyapunov指數(shù)為LE1=0.289 4,LE2=0,LE3=-5.688 9，系統(tǒng)(1)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。通過計算，系統(tǒng)(1)的三個平衡點均是不穩(wěn)定的。

s0=(0,0,0),

其中

通過計算，系統(tǒng)(1)的三個平衡點均是不穩(wěn)定的。當(dāng)x(0)=0.3,y(0)=0.1,z(0)=0.6；x(0)=0.1,y(0)=0.01,z(0)=0；x(0)=-0.1,y(0)=0.01,z(0)=0時，系統(tǒng)(1)的一個隱藏吸引子(藍(lán)色軌線)和兩個自激吸引子(紫色和綠色軌線)在同一組參數(shù)下共存，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)(1)共存的隱藏和自激吸引子Fig.3 Coexisting hidden and self-excited attractors of system (1)

不穩(wěn)定平衡點s1和s2吸引了不穩(wěn)定平衡點s0激發(fā)的吸引子，如圖3紫色和綠色軌線所示。圖3中的藍(lán)色軌線是一個特殊的吸引子，它圍繞著不穩(wěn)定的平衡點s1和s2運動，同時被平衡點s0排斥。顯然，藍(lán)色軌跡的吸引子的吸引域與不穩(wěn)定平衡點s0、s1、s2的小鄰域都不相交，并且遠(yuǎn)離這些平衡點，這種吸引子被稱為隱藏吸引子。值得說明的是，系統(tǒng)的兩個自激吸引子和隱藏吸引子是共存的。

2.2 參數(shù)c對系統(tǒng)隱藏吸引子的影響

由于a=-bc，所以參數(shù)c對系統(tǒng)(1)的吸引子的運動變化有很大影響。選擇不同的參數(shù)c，計算得到的Lyapunov指數(shù)如圖4所示。

圖4 關(guān)于參數(shù)c的Lyapunov指數(shù)Fig.4 The Lyapunov exponents of variable c

1) 當(dāng)c=3時，系統(tǒng)(1)的三個Lyapunov指數(shù)均小于0，即LE1=-0.353 9，LE2=-0.354 3，LE3=-2.791 8，此時系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。通過計算，系統(tǒng)(1)的三個平衡點均是不穩(wěn)定平衡點，如圖5(a)中紅色圓點。當(dāng)初值分別選取為x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0和x(0)=-0.1,y(0)=-0.1,z(0)=0時，系統(tǒng)(1)的兩個共存的定常吸引子如圖5所示，從初值出發(fā)的兩條軌線被吸引到兩個不穩(wěn)定的平衡點上。

(a)相軌跡 (b)時間響應(yīng)圖圖5 系統(tǒng)(1)共存的定常吸引子Fig.5 Coexisting stationary attractor of system (1)

2) 當(dāng)c=6.655 8時，計算Lyapunov指數(shù)LE1=0，LE2=-0.022 5，LE3=-5.308 2， 此時系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=-bc,b=-0.5,c=6.655 8,d=1時顯示了周期1極限環(huán)。同時，非零平衡點s1,2=(±3.433 8,±1.786 8,6.135 5)是穩(wěn)定的。通過Matlab仿真，系統(tǒng)(1)的周期1極限環(huán)如圖6所示。從第3個時間單位開始，可以清楚地看到系統(tǒng)(1)圍繞兩個穩(wěn)定平衡點s1,2作周期1運動。同時，根據(jù)隱藏吸引子的定義，圖6中兩個共存的周期1極限環(huán)屬于隱藏吸引子。

(a)相軌跡 (b)時間響應(yīng)圖圖6 系統(tǒng)(1)共存的隱藏吸引子Fig.6 Coexisting hidden attractor of system (1)

3) 當(dāng)c=6.8時，系統(tǒng)(1)展示了隱藏吸引子與自激吸引子共存的現(xiàn)象，如圖3所示。

通過上述討論，易知隱藏吸引子的形式依賴于系統(tǒng)的參數(shù)或初值，選取不同的參數(shù)時，系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性發(fā)生變化，其吸引子狀態(tài)可能會在自激和隱藏吸引子之間轉(zhuǎn)變。同樣，當(dāng)選取不同的初值時，也會引起吸引子的變化，這是因為非線性系統(tǒng)對初值具有一定的敏感性。廣義Lorenz系統(tǒng)具有明顯的隱藏動力學(xué)及共存吸引子特性，這些隱藏振蕩的研究為工程中一些暫時無法解決的振動現(xiàn)象提供了研究思路。

3 廣義Lorenz系統(tǒng)的統(tǒng)一投影同步

3.1 統(tǒng)一投影同步理論

對于如下的驅(qū)動系統(tǒng)

(2)

和響應(yīng)系統(tǒng)

(3)

式中：x=(x1,x2,…，xn)T∈Rn和y=(y1，y2，…，ym)T∈Rm是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f:Rn→Rn和g:Rm→Rm是連續(xù)函數(shù)；u(y,x)∈Rm是系統(tǒng)達(dá)到同步的控制器。

假設(shè)同步誤差為

e=Ax+By

(4)

式中：e=[e1,e2, …,em]T；A=(aij)m×n和B=(bij)m×m為同步系數(shù)矩陣。當(dāng)選取不同的同步系數(shù)時，誤差系統(tǒng)(4)可以呈現(xiàn)不同的同步，如反同步、廣義同步等。

(5)

選擇合適的同步系數(shù)矩陣，式(4)所構(gòu)造的誤差可退化為完全同步、反同步、投影同步和錯亂同步等，故本文稱之為統(tǒng)一廣義投影同步。同時，上述方案既適合同階的非線性系統(tǒng)，也適合不同階的非線性系統(tǒng)。

3.2 廣義Lorenz系統(tǒng)的統(tǒng)一廣義投影同步

令驅(qū)動系統(tǒng)為

(6)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(7)

式中U1,U2,U3為同步所需的主動控制器。假設(shè)同步誤差為

(8)

式中dij為同步系數(shù)，令

U1=-A/d1，U2=-B/d2，U3=-C/d3

(9)

式中

1)當(dāng)di=1，dii=-1，dij=0(i=1, 2, 3;j=2, 3且i≠j)時，系統(tǒng)(1)的統(tǒng)一廣義投影同步退化為完全同步，其同步誤差曲線如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)(1)的完全同步Fig.7 Complete synchronization of system (1)

2)當(dāng)di=dii=1，dij=0(i=1, 2, 3;j=2, 3且i≠j)時，系統(tǒng)(1)的統(tǒng)一廣義投影同步退化為反同步，其同步誤差曲線如圖8所示。

3)當(dāng)d1=1,d2=2,d3=3，同時假設(shè)d11=1,d12=2,d13=3；d21=4,d22=5,d23=6；d31=7,d32=8,d33=9時，系統(tǒng)(1)的統(tǒng)一廣義投影同步退化為投影同步，其同步誤差曲線如圖9所示。

圖8 系統(tǒng)(1)的反同步Fig.8 Anti-synchronization of system (1)

圖9 系統(tǒng)(1)的投影同步Fig.9 Projective synchronization of system (1)

4 結(jié)束語

本文討論了廣義Lorenz系統(tǒng)取不同初始值時共存的幾種不同的吸引子，尤其是自激吸引子和隱藏吸引子共存的情況。同時改進(jìn)了一種新的統(tǒng)一廣義投影同步，此方案在合適的同步系數(shù)下可退化為完全同步、反同步和投影同步等。數(shù)值仿真部分，設(shè)計了廣義Lorenz系統(tǒng)的統(tǒng)一投影同步方案，并通過Matlab仿真驗證了其有效性。