線路中線測設統(tǒng)一坐標數學模型及其應用

李世平，李姝睿

(1.內蒙古科技大學礦業(yè)與煤炭學院，內蒙古 包頭 014014； 2.北京信息科技大學機電工程學院，北京 100192)

0 引言

線路中線測設工作是線路定測工作中一項重要的基礎性工作[1-2]。線路中線的測設一般包括圓曲線、直線、緩和圓曲線的測設，這些曲線的測設元素一般都是局部坐標系(獨立坐標系)的坐標，如何將局部坐標系坐標轉化成國家或地方坐標系坐標是研究的關鍵問題[3-4]。本文在現有各自獨立坐標系的數學模型基礎上，推導出統(tǒng)一局部坐標系的坐標換算數學模型，即換算到第一個曲線獨立坐標系的數學模型。最后，推導出統(tǒng)一的國家或地方坐標系中線點坐標數學模型。實現了快速、準確的將局部坐標系坐標轉換成統(tǒng)一國家或地方坐標系坐標的過程。

1 測設中線點的獨立坐標系數學模型

路線主要有若干直線段和曲線段組成，曲線段包括單圓曲線和帶有緩和曲線的圓曲線[5-6]，以下推導各線段的局部坐標系數學模型。

1.1 建立曲線獨立坐標系

為了推導公式及外業(yè)測設方便,將每個曲線和直線分別建立獨立坐標系。曲線獨立坐標系建立方法:以ZH點(若單圓曲線則以ZY點)為原點,以其切線方向為x軸；以過ZH點(或ZY點)并垂直于x軸方向為y軸，如圖1所示。直線獨立坐標系建立方法：以直線起點(QD點)為原點,以過QD點的直線方向為x軸；以過QD點且垂直于直線方向為y軸，如圖2所示。

1.2 單圓曲線的數學模型

單圓曲線數學模型推導略，數學模型如下：

(1)

其中，xi為圓曲線上第i點在獨立坐標系中的縱坐標；yi為圓曲線上第i點在獨立坐標系中的橫坐標；li為圓曲線上第i點到曲線起點(ZY點)的弧長；R為圓曲線半徑。

1.3 直線段的數學模型

直線段的數學模型如下：

xi=i里程-QD里程

yi=0

(2)

其中，xi為直線段上第i點在獨立坐標系中的縱坐標；yi為直線段上第i點在獨立坐標系中的橫坐標；i里程為直線段上第i點的里程；QD里程為直線段上起點里程。

1.4 帶有緩和曲線的圓曲線的數學模型

此曲線包括緩和曲線段和圓曲線段，緩和曲線段和圓曲線段的數學模型是不同的，現分別敘述：

1)緩和曲線段上中線點的數學模型。

螺旋線是目前我國緩和曲線的常用線型，其數學模型為：

(3)

其中，R為圓曲線半徑；l0為緩和曲線長；li為緩和曲線上第i點到曲線起點(ZH點)的弧長。

2)圓曲線段上中線點的數學模型。

(4)

其中，li為圓曲線上第i點到曲線起點(ZH點)的弧長。

比較式(4)和式(1)可看出，當l0=0時，則式(4)和式(1)相同。說明，當緩和曲線為零時帶有緩和曲線的圓曲線即為單圓曲線。

2 測設中線點的局部坐標系數學模型

前面介紹了各個分段曲線的數學模型，本節(jié)研究將上述各分段坐標系數學模型換算成局部統(tǒng)一坐標系(第一分段獨立坐標系)數學模型。如圖3所示，共有三個坐標系：1)xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標系，即右轉單圓曲線坐標系；2)xⅡ-Ⅱ(0)-yⅡ坐標系，直線獨立坐標系；3)xⅢ-Ⅲ(0)-yⅢ坐標系，即左傳帶有緩和曲線的圓曲線坐標系。規(guī)定：坐標系序號為：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,…,J，每個坐標系內的點號為：1，2，3，…，i，每個坐標系內起始點點號為J(0)，終點點號為J(N)。很容易看出：Ⅰ(N)就是Ⅱ(0)，Ⅱ(N)就是Ⅲ(0)。

2.1 將Ⅱ(0)點換算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標系內的數學模型

Ⅱ(0)點是單圓曲線的終點，也是直線的起點，換算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐標系內坐標的數學模型如下：

(5)

2.2 將Ⅱ坐標系內各點換算到Ⅰ坐標系內的數學模型

由圖2可看出，Ⅱ坐標系縱軸xⅡ與Ⅰ坐標系縱軸xⅠ的夾角為αⅠ(單圓曲線的轉向角)，因此Ⅱ坐標系內各點換算到Ⅰ坐標系內坐標的數學模型為：

(6)

2.3 將Ⅲ坐標系內各點換算到Ⅰ坐標系內的數學模型

Ⅲ坐標系內各點換算到Ⅰ坐標系內坐標的數學模型如下：

(7)

以上為將各曲線獨立坐標系坐標換算到第一曲線獨立坐標系內的數學模型。

3 測設中線點的統(tǒng)一坐標系數學模型

這里講的中線點的統(tǒng)一數學模型是指將第一曲線獨立坐標系的坐標換算到國家或地方坐標系的坐標數學模型。如何將第一曲線獨立坐標系坐標換算到統(tǒng)一坐標系(國家或地方坐標系)內是本節(jié)研究的問題。假設國家或地方坐標系ZY點的坐標xZY，yZY及坐標方位角αZY-JD為已知，在第二、三節(jié)數學模型的基礎上，推導出測設中線點的坐標數學模型。

3.1 圓曲線的統(tǒng)一數學模型

如圖4所示，xOY為國家或地方坐標系，圓曲線的數學模型推導過程略，數學模型如下：

(8)

其中，xi為圓曲線上第i點的國家或地方坐標系的縱坐標;yi為圓曲線上第i點的國家或地方坐標系的橫坐標;xZY為ZY點的國家或地方坐標系的縱坐標;yZY為ZY點的國家或地方坐標系的橫坐標;αZY-JD為ZY-JD直線坐標方位角，即為第一坐標系縱軸在國家或地方坐標系內的坐標方位角。其他參見式(6)。

3.2 直線段的統(tǒng)一數學模型

直線段的數學模型如下：

(9)

其中，xi為直線段上第i點的國家或地方坐標系的縱坐標;yi為直線段上第i點的國家或地方坐標系的橫坐標;其他參見式(6)和式(8)。

3.3 帶有緩和曲線的圓曲線的統(tǒng)一數學模型

帶有緩和曲線的圓曲線分為緩和曲線段和圓曲線段,雖兩種曲線段上的數學模型不同,但為了表示方便,將用一個式子來表示兩種曲線段的統(tǒng)一數學模型,統(tǒng)一數學模型如下:

(10)

其中，xi為帶有緩和曲線的圓曲線上第i點的國家或地方坐標系的縱坐標;yi為帶有緩和曲線的圓曲線上第i點的國家或地方坐標系的橫坐標;其他參見式(7),式(8)。

4 計算實例

如圖3,圖4所示,ZY點某地方坐標系坐標為:xZY=83.250 m,yZY=55.403 m,ZY-JD直線的坐標方位角αZY-JD=88°56′54″,為簡便起見,表1中只列出第三曲線段的坐標換算結果。

表1 線路測量坐標換算表

5 結語

1)推導出測設中線點的統(tǒng)一國家或地方坐標系坐標數學模型，為了實現線路測量的內外業(yè)一體化，快速確定中線測設點坐標起到積極作用。2)數學模型公式繁瑣和復雜，如果將這些數學模型編制成程序進行計算，在實地計算中線點坐標就十分方便，提高了測設工作效率。3)最后得出的統(tǒng)一數學模型是以任意點在第一曲線獨立坐標系坐標為變量的，這一點與其他數學模型稍有不同，該模型是對原有模型的改進和拓展。