直方圖概率多假設(shè)跟蹤方法技術(shù)綜述

尹立凡, 張奕群, 王 碩, 孫承鋼

(北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

0 引 言

直方圖概率多假設(shè)跟蹤(histogram probabilistic multi-hypothesis tracking, H-PMHT)是一種有前景的多目標(biāo)檢測前跟蹤(track before detect, TBD)算法[1]。不同于傳統(tǒng)的TBD方法,其理論建立在多目標(biāo)假設(shè)之上,更適用于多目標(biāo)場合[2]。另外,其最突出的特點為計算量與目標(biāo)數(shù)呈線性關(guān)系,使其得到了較廣泛的關(guān)注[2-7]。

在H-PMHT方法當(dāng)中,跟蹤對象的表觀模型可以為任意函數(shù)形式,因而適用于各種類型的目標(biāo)[8]。Streit等人率先研究了表觀模型為高斯密度函數(shù)時的算法[9-10]。Davey等人進一步研究了混合高斯、狄利克雷模型等復(fù)雜情況[11-12]。這些工作使得這一方法不僅有能力跟蹤點擴散目標(biāo),更有能力處理人物、飛行器、集群等不同類型的目標(biāo)[1,13-14]。另外, Walsh和Vu等人還使用該方法處理了高光譜、雷達、聲吶和視頻圖像等多種數(shù)據(jù)[15-21],證明其適用于不同類型的傳感器。這些研究為Pakfilize等人在空域和海域防御、空間環(huán)境感知等問題中初步試用該方法提供了理論保證[22-26]。

近年內(nèi),針對H-PMHT算法存在的一些問題,還陸續(xù)的出現(xiàn)了幾種改進的算法。Davey等人提出的泊松H-PMHT(Poisson H-PMHT, P-HPMHT)算法解決了起伏目標(biāo)的跟蹤問題[27-28];Vu等人提出的插值泊松PMHT(interpolated Poisson PMHT, IP-PMHT)算法避免了先驗信息抑制的問題[29];Willett等人提出的量化跟蹤(quantity tracker, QT)算法初步從理論上解決了目標(biāo)數(shù)估計的問題[30-34]。這些算法都有著相近的模型結(jié)構(gòu),且計算量均與目標(biāo)數(shù)保持線性關(guān)系,因而同樣可以應(yīng)用于多目標(biāo)場合。

以上這些算法的一個共同問題是其量測模型沒有包含噪聲項。因而,在低信噪比(signal to noise ratio,SNR)情況下,跟蹤檢測能力較弱[4,35-36]。另外,當(dāng)目標(biāo)運動速度較快時,跟蹤效果也會變差[36]。這些問題仍尚待解決。

目前,國內(nèi)對這一些方法研究的公開報道還較少[37-39]。在上述背景下,本文綜述了現(xiàn)有的H-PMHT方法技術(shù)來方便研究者開展工作。首先,介紹了H-PMHT算法的基本原理。為更好地闡述其基本思想,使用統(tǒng)一的理論框架將其與PMHT算法進行敘述和對比分析。然后，介紹了H-PMHT算法在泊松分布假設(shè)下的兩種推廣。其次，介紹了H-PMHT算法的應(yīng)用研究。最后，對算法的優(yōu)缺點進行了總結(jié),并對其發(fā)展進行了展望。

1 H-PMHT方法及其研究進展

1.1 PMHT算法

(1)

根據(jù)式(1),假設(shè)It中的元素相互獨立,又假設(shè)Θt中的不同目標(biāo)參數(shù)相互獨立且其先驗分布為η(Θt),則聯(lián)合概率分布為

p(It,Θt;Πt)=p(It|Θt;Πt)η(Θt)=

(2)

PMHT算法的核心內(nèi)容是通過極大化式(2)而得到Θt和Πt的估計。為處理這一直接求解存在困難的計算問題,Streit等人通過期望極大化(expectation maximization, EM)方法[40-41]得到了PMHT算法[42]。

(3)

由此,假設(shè)Θt和Ct相互獨立,得到函數(shù)形式上更易于處理的聯(lián)合概率分布:

p(It,Θt,Ct;Πt)=p(It|Θt,Ct)p(Ct;Πt)η(Θt)=

(4)

式(4)為EM方法構(gòu)建輔助函數(shù)的基礎(chǔ),可以發(fā)現(xiàn)計算式(4)關(guān)于Ct的邊緣分布,其結(jié)果恰為式(2)。

在PMHT算法中,通過EM方法構(gòu)建的輔助函數(shù)為

(5)

即式(4)除以式(2)。

再經(jīng)過推導(dǎo)及重新整理,PMHT算法的輔助函數(shù)[40]為

(6)

式中:

(7)

(8)

且

(9)

PMHT算法得到的估計結(jié)果為經(jīng)驗貝葉斯意義下的最優(yōu)估計[42]。然而,其量測It為二值量化數(shù)據(jù)Nt。由于分割傳感器輸出Zt會導(dǎo)致大量有用數(shù)據(jù)信息不能被跟蹤算法所利用,該算法對低SNR目標(biāo)的跟蹤能力有限。為了克服這一缺點,Streit等人提出將二值量化數(shù)據(jù)擴展為多值量化數(shù)據(jù)的改進思路,形成了H-PMHT算法[8]。

1.2 H-PMHT算法

Streit等人假設(shè)Nt滿足多項式分布[8],即

(10)

(11)

(12)

式中:

(13)

(14)

1.3 H-PMHT算法與PMHT算法間的關(guān)系

(15)

式(15)等號中間的項與式(2)中的p(It|Θt;Πt)結(jié)構(gòu)相同。因而,若視其為Θt和Πt的似然函數(shù),通過EM方法得到的輔助函數(shù),其形式與式(6)～式(8)相同。

(16)

利用式(16),式(6)～式(8)依次變?yōu)槭?12)、式(13)和式(17)。

(17)

其中,除式(17)與式(14)不同外,式(12)和式(13)為前述H-PMHT算法的輔助函數(shù)。因而,若能證明式(17)與式(14)等效,就說明經(jīng)過上述變換得到的算法就是H-PMHT算法。也就是說,當(dāng)量測Nt為多值量化數(shù)據(jù)時,PMHT算法就可以經(jīng)過式(15)的變換變成H-PMHT算法。這里說的等效,是指優(yōu)化式(14)或式(17)得到的Θt估計相同。

(18)

式中:

p(Nt,Ξt,Ct)=p(Ct|Nt,Θt;Πt)p(Nt|Θt;Πt)η(Θt)

(19)

p(Ct|Nt,Ξt)≡p(Ct|Nt,Θt;Πt)=

(20)

上面的分析揭示了PMHT算法和H-PMHT算法間的等效性。因此可以推測,有可能在這兩種算法的基礎(chǔ)上發(fā)展出一種同時具備DBT和TBD方法優(yōu)點的新的跟蹤算法。當(dāng)然,這有待于進一步研究。另一方面,正是由于H-PMHT算法是由PMHT算法發(fā)展起來的,而PMHT是DBT方法,H-PMHT也繼承了其缺點,即量測模型中沒有噪聲項。因而,在低SNR情況下效果不佳。

1.4 算法的實現(xiàn)

(21)

(22)

(23)

當(dāng)表觀模型為任意函數(shù)時,通常不能再以解析的濾波公式實現(xiàn)H-PMHT算法。對此,Vu等人以粒子濾波和動態(tài)規(guī)劃方法進行了計算[46-47]。進一步,孫進平等人用馬爾可夫蒙特卡羅方法改進了其粒子濾波的實現(xiàn)過程[37-38]。粒子濾波方法得到的估計結(jié)果誤差較小,但動態(tài)規(guī)劃方法卻更適合批處理形式下的算法實現(xiàn)。另外,動態(tài)規(guī)劃方法在給定的離散狀態(tài)空間上進行,因而可以提前計算式(14)中的對數(shù)項來提高計算效率。

對H-PMHT算法來說,其中的目標(biāo)總數(shù)M被設(shè)定成了已知常數(shù),但實際中目標(biāo)的數(shù)目卻是未知且時變。為解決這一問題,一種處理方法初始化一個較大的M,然后通過軌跡刪減來修正M。Graham等人提出的軌跡刪除方法[9]通過參數(shù)Πt的估計值對目標(biāo)的SNR來進行判斷,進而確定軌跡質(zhì)量。Zhang等人則提出以軌跡累積的能量作為軌跡質(zhì)量測度,通過動態(tài)規(guī)劃算法初始化和刪除軌跡[49]。仿真來看,這一復(fù)合方法較前者可以更快速的建立軌跡。另外,借鑒PMHT算法軌跡管理方法[50],Davey等人給出了一套較完整的H-PMHT算法軌跡管理方案[20]。這種基于分層思想管理軌跡的做法在實測時效果較好[20]。

軌跡管理模塊對H-PMHT算法實際應(yīng)用十分重要,但整體看來,目前還沒有統(tǒng)一的方法。比如,不同學(xué)者使用不同軌跡質(zhì)量測度來確定軌跡是否刪減,但究竟何種方式可以較好的代表軌跡的真實性仍未有公論[4]。因而,這一問題的研究尚不成熟。

2 H-PMHT算法在泊松假設(shè)下的推廣

H-PMHT算法在假設(shè)多值量化數(shù)據(jù)Nt滿足多項式分布條件下得到。假設(shè)量化誤差趨近于0,Nt近似為原始輸出Zt,同時Nt的分布也將趨于多項式分布的極限分布,即多維泊松分布。因而,可推測存在一種基于多維泊松分布的H-PMHT算法。事實上,Davey和Vu等人也確實提出了兩種基于多維泊松分布的跟蹤算法[27-29]。

2.1 P-HPMHT算法

(24)

(25)

(26)

2.2 IP-PMHT算法

IP-PMHT算法是Vu等人基于插值泊松分布而提出的一種跟蹤算法[29]。其基本思想與P-HPMHT算法相近。假設(shè)原始輸出Zt是滿足多維插值泊松分布的連續(xù)隨機變量,即

(27)

(28)

IP-PMHT算法的一個問題是,IP(·;λ)積分僅近似為1,即不是嚴格的概率密度函數(shù)。而這便動搖了其理論基礎(chǔ)。可以發(fā)現(xiàn),其改進的方法,也繼承了這一缺點[39]。為解決這一問題,以伽馬分布代替插值泊松分布IP(·;λ)來建立Zt的量測模型是一種可能的解決思路。

3 算法的應(yīng)用

H-PMHT算法的適應(yīng)性較強,可能的應(yīng)用場景也較為廣泛。分類現(xiàn)階段的應(yīng)用研究,其中一類以雷達、聲吶等傳感器跟蹤目標(biāo),另一類則以可見光、紅外等傳感器跟蹤目標(biāo)。

在雷達跟蹤中,Davey等人使用機載海域監(jiān)視雷達追蹤了海面雜波下高速運動的小艇,并以H-PMHT算法對比了傳統(tǒng)的概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(probabilistic data association, PDA)方法[20]。這種場合下,觀測區(qū)域邊緣的雜波分布較為密集,導(dǎo)致PDA算法輸出了大量的誤跟蹤軌跡,但H-PMHT算法受雜波的影響卻相對較小。文獻[54]還使用無源雙基地雷達數(shù)據(jù)同時跟蹤了小車和飛行器。這里雷達系統(tǒng)的輸出為“距離-多普勒”數(shù)據(jù)。結(jié)果表明,H-PMHT算法可處理這類數(shù)據(jù),并同時有效地跟蹤快速目標(biāo)(飛機)及慢速目標(biāo)(小車)[1,45]。另外,將H-PMHT算法用于處理天波超視距雷達數(shù)據(jù)是一個恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用方向[25]。一般情況下,天波超視距雷達數(shù)據(jù)具有3個維度,其中包含方位、距離和多普勒數(shù)據(jù)信息,且存在量測的多路徑疊加問題,所以處理起來較為復(fù)雜。然而,將式(1)中的不同分量作為不同的電離層反射(路徑)模型,則可以改進得到適用的多模H-PMHT算法[25]。在這種應(yīng)用場合中,該算法較傳統(tǒng)PDA算法大幅地提升了檢測概率。總的來說,使用傳統(tǒng)的基于數(shù)值方法構(gòu)建的TBD算法處理雷達數(shù)據(jù),需在不同數(shù)據(jù)維度上進行離散或連續(xù)抽樣。雷達數(shù)據(jù)通常具有較高維數(shù),因而這些算法的計算消耗往往較大。然而,H-PMHT算法卻不存在上述問題,因此可以判斷其在雷達中的前景較為廣闊。

除此之外,Bessell等人用地面望遠鏡監(jiān)視系統(tǒng)跟蹤了天空中大量的衛(wèi)星[26]。利用H-PMHT算法同時跟蹤了衛(wèi)星及星星,并根據(jù)目標(biāo)速度成功分離出了衛(wèi)星軌跡。近期,H-PMHT算法還被用于紅外傳感器。Vu等人應(yīng)用紅外對地觀測數(shù)據(jù)跟蹤了城市街道中的運動目標(biāo)[1],比如人物和車輛。假設(shè)雜波分布具有混合高斯表觀模型,這里采用H-PMHT算法對雜波分布進行了估計,從而減小了靜態(tài)場景雜波帶來的干擾,較好地分離出了運動目標(biāo)。

H-PMHT算法提出時,主要針對多維高斯表觀模型進行研究討論,但該種表觀模型卻不適合外形任意的目標(biāo)。可以發(fā)現(xiàn),研究不同表觀模型下H-PMHT算法的實現(xiàn)問題,為這些應(yīng)用提供了理論依據(jù),同時會促使該算法在跟蹤檢測中的應(yīng)用變得更加廣泛。

4 總結(jié)及展望

H-PMHT算法為多目標(biāo)TBD問題研究開拓了新的道路,該算法最為突出的優(yōu)點是其計算量與目標(biāo)數(shù)呈線性關(guān)系。同時,其也適用于跟蹤不同形狀的目標(biāo)。

然而,在目標(biāo)SNR較低時,其效果仍不能令人滿意。本文分析指出,這一問題繼承于PMHT算法,其關(guān)鍵在于量測模型中沒有包括噪聲模型。為解決這一問題,要求在引入噪聲模型的基礎(chǔ)上,仍能保持計算效率。這一問題仍有待研究。

另外,還沒有計算H-PMHT算法估計誤差協(xié)方差陣的辦法,這就限制了其濾波實現(xiàn),進而影響了H-PMHT算法的估計精度。為解決這一問題,一種可能的辦法是利用信息矩陣求逆,而這有待于進一步研究。目前,對H-PMHT算法來說,其工程化的一個重要研究內(nèi)容是尋找適合這一算法的軌跡管理方法。然而,因為沒有公認的H-PMHT算法軌跡管理方法,尤其是軌跡質(zhì)量測度,影響了H-PMHT算法對目標(biāo)數(shù)的準確判斷和實際應(yīng)用效果。這方面內(nèi)容亟需進一步研究。

最后,從本文分析揭示的PMHT算法和H-PMHT算法間的等效性來看,可以推測有可能在這兩種算法的基礎(chǔ)上發(fā)展出一種同時具備先檢測后跟蹤(detect before track,DBT)和TBD方法優(yōu)點的新的跟蹤算法。而這一問題也值得進一步研究。