基于頻控陣的改進ESB波束形成算法

趙英健, 田 波, 王春陽, 宮 健, 譚 銘

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

為了提高信號處理性能,相控陣天線在民用和軍用領域得到了廣泛的應用。然而,在沒有多個相控陣天線陣列或基于相控陣的多波束天線情況下,僅通過波束形成無法直接抑制距離相關干擾。在2006年的IEEE國際雷達會議中,Antonic首次提出頻控陣(frequency diverce array,FDA)概念[1],FDA是在相控陣基礎上通過在陣元間附加遠小于載頻的頻偏增量,使波束方向圖具有距離-角度二維依賴特性[2-3]。通過結合多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術[4-5],FDA-MIMO可以在發射和接收兩個方面提供可控的自由度[6-9],獲得距離-角度耦合的導向矢量,從而為抑制距離相關干擾創造了條件。

自適應波束形成技術廣泛應用于雷達、聲吶、醫學成像、無線通信等領域,其利用不同位置處的傳感器陣列進行信號采集,再調整各陣元加權系數實現對期望信號的有效接收和干擾的有效抑制[10]。利用采樣協方差矩陣直接求逆獲得權值的采樣協方差矩陣求逆(sample matrix inversion, SMI)算法[11]是一種經典的自適應波束形成算法,但是波達方向(direction of arrival,DOA)估計等誤差造成的目標導向矢量失配會嚴重影響該算法的性能,而實際應用中相對于無信號訓練數據,采樣協方差矩陣混有期望信號也必然會降低算法的收斂性,并且在小訓練樣本時算法性能也將嚴重下降[12]。

為解決上述問題,國內外學者提出了許多方法用于提高算法的穩健性。線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LCMV)波束形成器[13]通過在有用信號附近進行多點約束實現主瓣展寬,對期望信號到達角估計誤差有一定穩健性,但會消耗陣列的自由度并且不能克服一般類型的失配。Feldman在文獻[14]中提出基于特征空間(eigenspace-based, ESB)的自適應波束形成算法,該算法在陣列數據含期望信號時,可改善低快拍或指向誤差對算法性能的影響,但在低信噪比(signal to noise ratio,SNR)情況下算法性能下降嚴重[15-16]。對角加載(diagonal loading, DL)算法能夠提高對于一般失配的穩健性,并抵制有限樣本引起的采樣協方差矩陣失配[17],但存在加載系數難以確定的缺陷[18]。近年來,更多的自適應波束形成算法建立在清晰的最優化理論框架上,如文獻[19]和文獻[20]提出最差性能最優化(worst-case performance optimization, WCPO)法,為精確的對角加載因子提供了指導,但是導向矢量誤差2-范數上確界未知可能導致該算法性能過于保守。Li等人提出基于導向矢量不確定集約束的穩健Capon波束形成(robust Capon beamforming, RCB)算法[21],盡管給出準確的最優加載系數計算方法,但性能改善不是很明顯。基于迭代處理的遞推最小二乘(recursive least squares, RLS)算法和最小均方(least mean square, LMS)算法[22]存在運算時耗長,不利于雷達實時處理的問題。

當前對于自適應波束形成算法的研究主要基于相控陣體制進行,對于FDA-MIMO體制下的波束形成算法研究較少。文獻[23]將FDA與MIMO結合,提出一種基于直接數據域的穩健波束形成方法,但該算法僅對訓練數據中存在目標信號的情況具有穩健性。文獻[24]和文獻[25]分別分析了基于FDA不同接收處理機制下的RCB算法和RLS算法性能,并未對算法本身的缺陷進行改進。因此,本文研究了多種穩健波束形成算法在FDA-MIMO下的應用并提出一種基于FDA-MIMO處理機制的改進ESB算法。仿真結果表明:本文所提算法對目標導向矢量失配有較強的穩健性,并且克服了ESB算法在低SNR情況下性能嚴重下降的問題,因此有較好的應用前景。

1 FDA-MIMO信號處理模型

1.1 FDA發射信號模型

考慮由N個間距相等的陣元構成的均勻線性FDA(uniform linear array-FDA, ULA-FDA),附加頻偏增量Δf線性遞增,設第1個陣元為參考陣元,目標相對參考陣元位置為(θ,r0),其結構如圖1所示。

圖1 ULA-FDA發射陣列

在遠場窄帶假設下,不考慮信號包絡,陣元n發射信號形式可以表示為

sn(t)=exp(j2πfnt),n=0,1,…,N-1

(1)

式中:fn=f0+nΔf(n=0,1,…,N-1)為陣元n的發射載頻,f0為參考陣元載頻。

從陣元n發射到達目標的信號可表示為

(2)

式中:rn=r0-ndsinθ,d為陣元間距;c為光速。

(3)

則加權后到達目標的信號為

(4)

(5)

(6)

由式(4)可得

(7)

式中:wf=πΔf;wc=πdfc/c;fc表示為

(8)

式中:exp(jΦ0)為附加固定相位,其數值為

(9)

由式(7)顯然可知,FDA發射波束具有時間-距離-角度三維依賴特性。

1.2 FDA接收處理機制

陣元發射的信號到達目標后,經反射返回接收陣列,文獻[26]提出3種FDA信號處理機制,其中FDA-MIMO機制被認為是最有效率的一種,本文采用該機制對信號進行處理。設有N個接收通道,每個接收通道接收的回波信號均包含所有發射通道的信號,之后通過各個通道的N個窄帶濾波器hnm將接收的所有通道的發射信號進行分離,對分離后的回波數據按接收通道進行重排,數據重排后大小為N×N,對重排后的數據進行普通波束掃描,即

(10)

此時對接收數據加載的權矢量wr可以表示為

(11)

式中:

(12)

(13)

經過加權處理后的接收信號輸出為

(14)

化簡式(14),得到加權后接收信號輸出的結果為

(15)

式中:Φ1為固定相位偏移,其數值為

(16)

對式(15)求模值,則有

(17)

在對FDA-MIMO接收的回波信號進行處理提取信息時,文獻[27-28]提出在各個接收陣元均采用多個匹配濾波器來利用FDA的距離角度相關特性。其設計的信號處理方式為:當接收信號進入各個接收陣元,首先在模擬設備中與頻率為f0的信號進行混頻,經低通濾波輸出后再進行模數轉換,最后在數字設備中用特定濾波器組進行匹配濾波。其信號處理架構如圖2所示。

圖2 接收端匹配濾波信號處理

目標回波信號經過最終的匹配濾波輸出為

(18)

因此,在整個FDA-MIMO的處理系統中,時間參數的影響可以在接收端經信號處理后消除。

2 自適應波束形成技術

2.1 SMI算法

基于最小方差無失真準則得到的最優波束形成器,即MVDP波束形成器,其原理的數學表達式如下:

(19)

解得算法的自適應權矢量wMVDR為

(20)

(21)

式中:xi+n(l)為第l個樣本數據元素；L為可利用的樣本總數。

將該算法擴展到FDA的應用上,則自適應權矢量表示為

(22)

2.2 傳統ESB算法

在研究自適應波束形成算法穩健性問題時,非理想因素主要包括DOA估計誤差造成的目標導向矢量失配和小快拍數引起的采樣協方差矩陣失配[29]。假設有1個期望信號,J個干擾,對有限快拍下的采樣協方差矩陣Rs進行特征分解

(23)

式中:Us∈CM×(J+1)包含了Rs中信號加干擾子空間的J+1個特征向量；Σs∈C(J+1)×(J+1)其中的對角線元素為其對應的特征值;矩陣UN∈CM×(M-J-1)包含噪聲子空間M-J-1個特征向量；ΣN∈C(M-J-1)×(M-J-1)其中的對角線元素為其對應特征值。

由式(23)可以看出,陣列接收信號的空間由信號加干擾子空間和噪聲子空間分量構成,而理想情況下期望信號僅存在于信號加干擾子空間中,ESB算法便基于此原理,摒棄權矢量在噪聲子空間中的分量而僅保留在信號加干擾子空間中的分量。于是,ESB算法權矢量[29]表示為

(24)

將ESB算法擴展到FDA的應用上,則自適應權矢量表示為

(25)

在計算波束形成算法的權矢量時,假定的目標導向矢量受DOA估計誤差等因素影響會存在一定的失配,但是真實的目標導向矢量一定存在于信號加干擾子空間。因此，用假定的導向矢量在信號加干擾子空間的投影作為估計的導向矢量,排除了噪聲擾動的影響,改善了目標導向矢量失配條件和小快數條件下的雷達檢測性能。

2.3 空間擴展ESB算法

傳統的ESB算法在輸入SNR較低時,信號子空間與噪聲子空間會發生混疊現象,無法保證良好的正交性,此時直接舍棄權矢量在噪聲子空間的分量會有較大的誤差,獲得的權矢量不是最優權矢量。

(26)

式中:um(m=1,2,…，j)為干擾對應的特征向量,之后對Es進行奇異值分解：

Es=UDVH

(27)

將算法獲得的權矢量w0向Es的大特征值對應的左奇異向量列空間UUH投影,即

wIESB=UUHw0

(28)

由于引入期望信號導向矢量,空間擴展ESB算法可以在低輸入SNR條件下具有較好的波束保形能力,但是該算法計算量大,需要進行一次特征分解和一次奇異值分解。

3 改進的ESB算法

本文提出一種ESB改進算法,能在陣列接收信號和波達方向估計的先驗信息之間實現一種平衡。在高SNR條件下,傳統ESB波束形成器利用陣列接收的信號進行處理具有很好的穩健性,而低輸入SNR條件會發生噪聲子空間和信號子空間糾纏,故需要對采樣協方差矩陣進行重構來消除此影響。

于是我們確定一個判決門限η來進行先驗信息的選擇：

λJ+1/λJ+2η

(29)

式中:λJ+1,λJ+2為第J+1個和第J+2個特征值,當比值小于判決門限時,可認為是低SNR條件,ESB算法性能嚴重下降,甚至在較低快拍數時協方差矩陣近似為奇異矩陣。此時剔除信號和噪聲所在的子空間,僅保留大特征值對應的干擾子空間,重構的協方差矩陣寫為

(30)

式中:Uj∈CM×J包含了Rs中干擾子空間中J個特征向量；Σj∈CJ×J其中的對角線元素為其對應的特征值。

但此時的重構協方差矩陣近似為奇異矩陣,直接求逆會出現縮放錯誤造成算法失效,于是對目標函數增加一個二次懲罰項ξwHw,表示為

(31)

式中:ξ為對角加載因子；w為改進ESB算法的自適應權矢量。

類似于對角加載方法,改進ESB算法在重構的協方差矩陣上人為地引入一個固定加載電平ξ,從而避免了協方差矩陣接近奇異陣導致的求逆運算錯誤。不同于對角加載算法加載因子難以確定,改進ESB算法對ξ的選取不敏感。

最終通過改進ESB算法得到的低輸入SNR條件下的自適應權矢量為

(32)

將該算法擴展到FDA的應用上,則相應的自適應權矢量為

(33)

通過以上分析,所提基于FDA-MIMO的改進ESB算法完整步驟如下：

步驟 1設定初始權矢量,在發射端對發射信號進行加權,并向目標空域照射;

步驟 2在FDA-MIMO接收端對發射信號進行分離,并進行數據重排獲得各通道接收數據;

步驟 3對接收數據進行下變頻,模數變換,匹配濾波處理,消去時間參數的影響;

步驟 4對經信號處理后的數據進行特征分解,并將獲得的特征值由大到小進行排列;

步驟 5設置判決門限η,將λJ+1/λJ+2的結果與η進行比較,若λJ+1/λJ+2>η,執行傳統ESB算法獲得自適應權矢量wESB,若λJ+1/λJ+2<η,執行步驟6;

步驟 6僅保留大特征值對應的干擾子空間,并人為地引入一個固定加載電平,根據MVDR準則對重構的協方差矩陣求解,便可獲得波束形成器的自適應權矢量w。

所提改進ESB算法在低輸入SNR條件下保形效果良好,對于發射陣元與接收陣元數均為N的FDA-MIMO體制,其滿自由度為N2,改進ESB算法的時間復雜度漸進式表示為O((NN)3)。相比于擴展ESB 算法,本文所提算法減少一步奇異值分解,故實際運算復雜度要低于擴展ESB算法。但是與擴展ESB算法相同的是,由于低SNR條件下波束形成依賴于波達方向估計的先驗信息,故其對導向失配的穩健性相比算法在高SNR條件下有所損失。

4 仿真分析

4.1 FDA-MIMO常規波束形成

結合式(18), FDA-MIMO處理機制仿真參數設置如表1所示。

表1 仿真參數

圖3為理想條件下,僅有目標存在情況時的常規波束形成方向圖。

圖3 常規波束形成方向圖

由圖3可以看出,FDA-MIMO處理機制在目標位置形成了高增益,空域濾波效果良好。

4.2 SMI波束形成器

考慮空間中存在多點源干擾的情況,干擾源的位置和干擾強度如表2所示。

表2 干擾參數

采用SMI算法,在目標沒有導向矢量失配且較大的快拍數(快拍數為2 000)下進行自適應波束形成,獲得的波束方向圖如圖4所示。

圖4 理想條件SMI方向圖

圖4中綠色圓圈標識目標位置,紅色方框標識干擾位置。由圖4可以看出,在理想條件下,SMI算法能夠在目標位置處形成高增益,干擾源位置處形成零陷。下面進一步研究非理想條件下SMI的穩健性,即在小的快拍數(快拍數為200)和目標導向矢量失配情況下的波束形成情況如圖5所示。

圖5 非理想條件SMI波束方向圖

由圖5可以看出,在小快拍數條件下算法無法在目標位置形成高增益;當存在導向矢量失配時,峰值位置也相應發生了一定偏移。故非理想條件使得SMI波束形成器的性能嚴重下降。

4.3 WCPO算法

設置采樣快拍數為200,其他仿真參數保持不變,目標導向矢量存在5°的失配,利用WCPO算法獲得的波束方向圖如圖6所示。

圖6 非理想條件下WCPO算法方向圖

由圖6可知,WCPO算法對小快拍數和導向矢量失配有一定的穩健性,但會提高旁瓣電平,且無法徹底解決目標導向矢量失配問題。

4.4 ESB算法

仿真參數保持不變,利用傳統ESB算法獲得的波束方向圖如圖7所示。

圖7 高輸入SNR條件下ESB算法方向圖

由圖7可以看出,在較小的快拍數,較高的輸入SNR(SNR=0 dB)條件下,傳統ESB算法對目標導向矢量失配具有很好的穩健性。將輸入SNR設置為-20 dB,其他參數保持不變,得到此時傳統ESB算法的波束方向圖如圖8所示。由圖8可知,傳統ESB算法在低SNR條件下失效導致了波束畸變,這會嚴重影響雷達檢測性能。

圖8 低輸入SNR條件下ESB算法方向圖

4.5 改進的ESB算法

由第4.4節分析可知,在高SNR條件下,改進的ESB算法具有與傳統ESB算法相同的公式形式與性能,即輸入SNR為0 dB時得到的改進的ESB算法方向圖與圖7一致。設置輸入SNR為-20 dB,加載電平為-100 dB, 采樣快拍數為200的波束形成方向圖如圖9所示。

圖9 低輸入SNR條件下改進的ESB算法方向圖

對比圖8和圖9可知,改進的ESB算法在低輸入SNR條件下,具有良好的波束保形能力,克服了傳統ESB算法低輸入SNR條件下子空間糾纏導致波束畸變這一嚴重缺陷。仿真參數保持不變,以信干噪比(signal to interference noise ratio,SINR)對加載電平ξ的變化，來表示所提算法相對參數ξ的穩健性能，其結果如圖10所示。

圖10 輸出SINR相對加載電平變化曲線

由圖10顯然可知,改進ESB算法所需加載電平在-200～-60 dB的范圍內都可以保持算法良好的輸出性能,因此該算法相比較DL算法,有著對加載電平穩健并易于選取的優勢。

4.6 算法性能分析

針對各波束形成算法在不同SNR下的輸出SINR進行對比。DL算法(采用合適加載電平)、傳統ESB算法、SMI算法與本文所提改進ESB算法、WCPO算法均考慮5°的目標導向矢量失配,并記無目標導向矢量失配的SMI算法為理想SMI算法作為對照組。圖11展示了不同快拍數下的波束形成算法SINR隨SNR變化的統計曲線。

圖11 輸出SINR相對輸入SNR變化曲線

由圖11可知在大采樣快拍數和小采樣快拍數條件下,本文所提的改進的ESB算法均具有穩定的輸出SINR,克服了小采樣快拍數SMI算法失效的缺陷。在高輸入SNR條件下,改進的ESB算法具有比理想SMI算法和WCPO算法更好地輸出SINR,這是因為在訓練數據中含期望信號時,較高的輸入SNR會使SMI算法和WCPO算法性能嚴重下降,而改進的ESB算法對這種非理想條件具有較好的穩健性,同時改進的ESB算法不存在WCPO算法約束保守的缺陷。在低輸入SNR條件下,改進的ESB算法與DL算法(采用合適加載電平)有著相近的輸出SINR,但改進的ESB算法具有對加載電平穩健的優勢。

設置采樣快拍數為2 000,在不同輸入SNR條件下,分析幾種波束形成算法對目標導向誤差的穩健性,進行100次蒙特卡羅實驗,得到仿真結果如圖12所示。

圖12 輸出SINR相對角度誤差變化曲線

由圖12可知在高輸入SNR條件下,改進的ESB算法與傳統ESB算法對5°內的目標導向矢量失配的穩健性明顯優于SMI,DL和WCPO算法。在低輸入SNR條件下,由于剔除了噪聲子空間,改進的ESB算法相比SMI算法對噪聲擾動有著更好的穩健性,并且克服了傳統ESB算法失效造成雷達檢測性能下降的缺陷。

5 結 論

本文研究了基于FDA-MIMO體制的穩健自適應波束形成算法問題,針對ESB算法在低SNR條件下性能嚴重下降的缺陷,提出一種改進的ESB算法,該算法具有以下優勢:① 完全保留傳統ESB算法高輸入SNR條件下的良好穩健性能,在低輸入SNR條件下波束也具有很好的波束保形效果；② 相比擴展ESB算法,無需引入目標導向矢量和進行額外的奇異值分解,簡化了運算復雜度并節省了運算量；③ 算法適用于小采樣快拍數條件；④ 低輸入SNR條件下,具有同采用合適加載電平的DL算法相近的輸出性能,但克服了DL算法加載系數難以確定的缺陷。仿真結果證明了該算法良好的性能和適用性,其在雷達波束形成方面具有很好的應用前景。