模糊變量與隨機變量組合時模糊可靠度計算方法研究

周建方，鄭鼎聰，高 冉，冷 偉

(1. 河海大學機電工程學院，常州 213022；2. 河海大學力學與材料學院，南京 211100；3. 四川省水利水電勘測設(shè)計研究院，成都 610072)

對于兩變量功能函數(shù)：

式中，fR(r)、fS(s)分別為R、S的概率密度函數(shù)。其失效或安全準則是明確的，即結(jié)構(gòu)要么處于安全狀態(tài)，要么處于失效狀態(tài)。

當R、S中有一個為模糊變量，或失效準則Z<0(或安全準則Z>0，下面僅以失效準則表示)為模糊狀態(tài)時，其概率就為模糊概率。對于模糊概率(下面簡稱概率)，有三種情況[2-3]：

1)失效準則具有模糊性，而基本變量具有隨機性，即模糊事件的普通概率。對這類問題的處理，采用的基本思想就是用模糊集來描述模糊失效狀態(tài)這一模糊事件A，進而利用Zadeh[4]對模糊事件概率的定義來計算其失效概率：

式中：f(x)為隨機變量x的概率密度函數(shù)；μA(x)為模糊事件的隸屬函數(shù)，表示x隸屬于模糊事件A的程度。所求得的失效概率為定量。

對于這種情況的研究目前相對較為深入，建立了一套與常規(guī)可靠性指標相對應(yīng)的模糊可靠性指標[5-6]；對結(jié)構(gòu)或零部件失效概率和可靠度計算[7-8]；對系統(tǒng)模糊可靠性分析[9-10]等。

2)失效準則不具有模糊性，而基本變量具有模糊性，即普通事件的模糊(語言)概率。也即失效狀態(tài)這一事件是確切的，而概率是模糊的，通常用語言來描述事件發(fā)生的可能性，因此，也稱為語言概率。它是個模糊量[11]，不是定量。

目前對于這類問題雖然有許多研究，但還沒有達成共識，文獻[12 - 17]提出了可能性理論來求解這類問題；文獻[18]提出了基于誤差原理的計算方法。

3)失效準則與基本變量均具有模糊性，即模糊事件的模糊概率。由于同時含有兩種模糊性，問題較為復雜，處理變得更加困難。因此，關(guān)于該類問題的研究相對較少。

因此，對于工程中經(jīng)常出現(xiàn)的R、S中有一個為模糊變量，失效狀態(tài)為確切的，屬于第2 種情況，其概率應(yīng)為模糊量。不失一般性，本文假設(shè)R為模糊變量，S為隨機變量。對于概率是模糊量，在工程上應(yīng)用是不方便的[19]。因此，許多文獻從實用的角度，提出了許多計算方法，這些方法可分成以下四類：

第一類是直接把模糊變量R轉(zhuǎn)化成隨機變量，從而使問題變成傳統(tǒng)概率可靠度問題，采用式(2)計算，因而得到的概率是確定量。具體轉(zhuǎn)化方法有：廣義密度函數(shù)法[20]、當量密度函數(shù)法[21]、信息熵法[22-23]等。

第二類是把模糊強度R的隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化成失效模糊事件的隸屬函數(shù)，從而采用式(3)計算。它也有幾種方法：隸屬函數(shù)面積之比法[24]、截集法[25]、直接轉(zhuǎn)化法[26]、模糊數(shù)總效用值法[27]、加權(quán)面積之比法[28]。它們得到的概率也是確定量。

第三類為可能度法[16]。通常情況下，可能度法是針對R、S都是模糊變量情況下的，但文獻[16]把它應(yīng)用到一個是隨機變量、一個是模糊變量情況。它得到的概率是模糊的。

第四類為實用計算法[29]。它的一般形式是R、S都是模糊隨機變量，R為模糊變量、S為隨機變量時是它的特殊情況。它得到的概率也是模糊的。

從上面可以看出，這些計算方法各不相同，自然結(jié)果也是各異。由于至今為止對于這種情況還沒有一個公認的更準確的方法，因此這些方法熟優(yōu)熟劣，目前沒有標準，也無人對此研究。本文系統(tǒng)分析總結(jié)了這些方法，疏理了這些方法之間的相互關(guān)系，對R為對稱線性隸屬函數(shù)和正態(tài)隸屬函數(shù)情況推導了有關(guān)公式，并通過例子進行了精度比較，得到了一些有益的結(jié)果。

1 模糊變量直接轉(zhuǎn)化為隨機變量

所謂模糊變量直接轉(zhuǎn)化為隨機變量，就是通過將模糊變量的隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化為密度函數(shù)，從而將模糊變量直接轉(zhuǎn)化為隨機變量。具體有以下幾種方法。

1.1 廣義密度函數(shù)法[20]

文獻[20]在分析模糊變量隸屬函數(shù)特性的基礎(chǔ)上，注意到在結(jié)構(gòu)工程中常見的隸屬度函數(shù)形式與常見的隨機變量的概率密度函數(shù)經(jīng)常具有相同的類型，提出了將具有某種隸屬度函數(shù)的模糊變量等價轉(zhuǎn)化為具有相同類型概率密度函數(shù)的隨機變量方法，即所謂的廣義密度函數(shù)法。按照歸一化原則，它將模糊變量R的隸屬函數(shù)積分，然后將隸屬函數(shù)除以積分值，作為轉(zhuǎn)化后隨機變量的概率密度函數(shù)：式中：μR(x)為R的隸屬函數(shù)；fR(x)為R轉(zhuǎn)化為隨機變量后的廣義概率密度函數(shù)。

如此定義的廣義密度函數(shù)fR(x)，既保留了原模糊變量隸屬度函數(shù)的分布信息，又滿足了概率密度函數(shù)要求的完備性和非負性。由于fR(x)在自變量的取值范圍內(nèi)各函數(shù)值的相對大小無改變，故它對應(yīng)于原隸屬度函數(shù)在某值處的密度大小，仍蘊涵著原模糊變量取該值的模糊程度。因此，雖然如此轉(zhuǎn)化的方法缺乏一定的理論依據(jù)，但從直觀上看，還是可行的。圖1 給出了模糊變量隸屬度函數(shù)曲線μR(x)，以及將它們按關(guān)系式(4)轉(zhuǎn)化后的廣義密度函數(shù)曲線fR(x)形狀。

圖1 隸屬函數(shù)和轉(zhuǎn)化后的廣義密度函數(shù)Fig. 1 Membership function and transformed generalized density function

很顯然，該法適用于隸屬函數(shù)面積有界情況。工程中大多數(shù)都屬于這種情況。

在文獻[30]中，也采用了這種方法，并推導了R、S均為模糊變量時隸屬函數(shù)同時為矩形、梯形、正態(tài)時可靠度的計算公式，但梯形情況式(9)有誤。在文獻[31 - 32]中也有類似的定義，但稱為加權(quán)平均法。

對于R為對稱線性隸屬函數(shù)情況(圖2)：

圖2 對稱線性隸屬函數(shù)和相應(yīng)廣義密度函數(shù)Fig. 2 Symmetric linear membership function and corresponding generalized density function

式中：m為均值；α 為分布參數(shù)。分布參數(shù)越大，模糊變量越模糊，可能取值的范圍越大。

在文獻[26]中給出了將密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為隸屬函數(shù)的公式：

取ρ 為隸屬函數(shù)的積分，則上法本質(zhì)上也屬于廣義密度函數(shù)法。

有了式(4)后，就可以根據(jù)式(2)求失效概率，它是一個定值。

1.2 當量密度函數(shù)法[21]

文獻[21]根據(jù)模糊事件A的概率P(A)可由其λ 截集Aλ的概率P(Aλ)在區(qū)間[0,1]內(nèi)積分獲得這一結(jié)論[33]，給出了當量密度函數(shù)法。

首先對R取λ 截集，由模糊數(shù)學的λ 截集的概念, 則可得到一普通集合[aλ,bλ]，在這普通集上，認為R是均勻分布的隨機變量，然后按照常規(guī)可靠度方法求失效概率，再對所得概率積分(λ從0～1)得到失效概率，然后與常規(guī)可靠度計算公式(2)進行比較，得到當量密度函數(shù)式(13)，從而將模糊變量轉(zhuǎn)化成隨機變量：

有了式(13)后，代入式(2)，就可求得失效概率，它也是一個定值。

1.3 信息熵法[22]

所謂信息熵法就是根據(jù)隨機變量信息熵和模糊變量信息熵相等的辦法，將模糊變量轉(zhuǎn)化成隨機變量。該法在早期的模糊可靠度研究中應(yīng)用較多[34-35]，其基本思想為：

連續(xù)隨機變量x信息熵定義為：

就可將模糊變量轉(zhuǎn)化為隨機變量。

很顯然，以上轉(zhuǎn)化同樣只能適用于隸屬函數(shù)有界情況，并且一個等式，只能得到一個參量，通常根據(jù)這個等式求標準差，而對于均值，有三種做法：

1)對于隸屬函數(shù)為對稱型的，則將對稱點值作為均值；

2)其均值等于不考慮模糊變量模糊性時的值[36]；

3)在文獻[36]中，按式(4)定義概率密度函數(shù)，然后根據(jù)該概率密度函數(shù)按概率方法求均值，將該均值作為轉(zhuǎn)化后正態(tài)分布的均值。顯然該方法存在矛盾的地方，因為既然認為轉(zhuǎn)化后為正態(tài)分布，又用式(4)定義的概率密度函數(shù)去求均值，相當于同一隸屬函數(shù)出現(xiàn)了兩個概率分布。

以上轉(zhuǎn)化雖保證了轉(zhuǎn)換前后模糊變量與當量隨機變量不確定程度的大小相等，但它是不確定性總體信息的含量，各變量與之對應(yīng)函數(shù)間的映射關(guān)系并未真實保留，隸屬函數(shù)和概率密度函數(shù)分別表達了自變量與之對應(yīng)函數(shù)間的一一映射關(guān)系，僅按熵等價轉(zhuǎn)化之后，至少損失了原有的分布信息，使轉(zhuǎn)化后隨機變量的分布概型不唯一。因此，這種轉(zhuǎn)化處理是不嚴密的[20]。

2 由模糊強度的隸屬函數(shù)直接構(gòu)造模糊失效事件的隸屬函數(shù)

雖然當R為模糊變量時，給出了其隸屬函數(shù)，但它僅是變量R本身的隸屬函數(shù)，并不是失效事件的隸屬函數(shù)，因此不能直接代入式(3)進行計算。但有許多文獻在R隸屬函數(shù)的基礎(chǔ)上，采用不同的方法構(gòu)造出模糊失效事件的隸屬函數(shù)，從而計算失效概率。

2.1 隸屬函數(shù)面積之比法[24]

該法認為圖3 中區(qū)間[xmin,S]為某種程度上的失效區(qū)，而[S,xmax]為某種程度上的安全區(qū)，可以用模糊強度的隸屬函數(shù)在某種程度上的失效區(qū)的面積與整個隸屬函數(shù)的面積的比值來定義模糊失效狀態(tài)的隸屬函數(shù)，注意這里的失效狀態(tài)是指R

式中，各量意義見圖3。

圖3 隸屬函數(shù)面積之比法Fig. 3 The area ratio method of membership function

該法本文稱之為隸屬函數(shù)面積之比法。當R為式(5)所示對稱線性隸屬函數(shù)時，可得：

求得了失效事件的隸屬函數(shù)后，代入式(3)，就可求得失效概率，它是一個定值。注意這里的密度函數(shù)是S的密度函數(shù)。

在文獻[37]中，計算了對數(shù)正態(tài)分布應(yīng)力、線性模糊強度的具體例子。

2.2 截集法[25]

與當量密度函數(shù)法類似，同樣對R取λ 截集，將模糊變量變?yōu)樵谄胀蟍aλ，bλ]內(nèi)均勻分布的隨機變量，然后按照常規(guī)可靠度方法求失效概率，再對所得概率積分(λ 從0～1)得到模糊失效概率，與式(3)比較，從而可得模糊失效事件的隸屬函數(shù)，本文稱之為截集法。

當R為線性隸屬函數(shù)，失效事件A的隸屬函數(shù)：

式(24)、式(25)圖形如圖4所示。

圖4 模糊失效事件隸屬函數(shù)Fig. 4 Membership function of fuzzy failure event

代入式(3)，可求得失效概率。同樣，這里的失效狀態(tài)是指R

在上述文獻中，均是認為在截集[aλ,bλ]內(nèi)R是均勻分布的，事實上這并沒有理論依據(jù)。文獻[43]討論了在截集上取三種分布(均勻、線性、截尾正態(tài))時結(jié)果的差異性，在三種分布情況中，均勻分布所算得的模糊失效概率最大。

在文獻[3]中證明，若以均勻分布、線性分布或截尾正態(tài)分布為截集分布，則當模糊變量逐步收斂于隨機變量時，基于截集法的可靠度將收斂于固定值，該數(shù)值只與安全準則的形式有關(guān)，而與具體結(jié)構(gòu)無關(guān)，這一結(jié)果證明了常用截集分布在模型收斂性方面的缺陷和不足，因而提出了所謂的一類新的截集分布－本征截集分布，同時討論了本征截集分布下模型的收斂性。

另外，需要說明的是，當有多個模糊變量時，每個變量的閾值λ 應(yīng)不相同，不能用同一λ 值，不然會得到不正確的結(jié)果[44]。

所以，截集法的應(yīng)用，受到諸多因素的制約。

2.3 直接轉(zhuǎn)化法[26]

所謂直接轉(zhuǎn)化法，就是根據(jù)R的隸屬函數(shù)，直接轉(zhuǎn)化成模糊事件的隸屬函數(shù)。對于圖5(a)的R隸屬函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為圖5(b)中的模糊失效事件的隸屬函數(shù)，其余集就為模糊安全事件的隸屬函數(shù)(圖5(c))。這個方法本文稱之為直接轉(zhuǎn)化法。

圖5 隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化過程Fig. 5 The transformation process of membership function

式(26)的余集即為相應(yīng)模糊失效事件的隸屬函數(shù)。

2.4 模糊數(shù)總效用值法[27]

該法根據(jù)模糊數(shù)學理論，引入了模糊數(shù)最大集、最小集概念，給出了模糊數(shù)右效用值、左效用值和總效用值的定義，提出了模糊數(shù)的排序規(guī)則，在上述定義和模糊強度隸屬度函數(shù)(主要用于求效用值)的基礎(chǔ)上建立了模糊失效事件的隸屬函數(shù)，從而進行可靠性計算。

模糊失效事件的隸屬函數(shù)定義為：

式中：Ur、Ul為右效用值、左效用值；xmax、xmin是R的最大、最小值。

圖6 隨p 變化的模糊安全事件隸屬函數(shù)Fig. 6 Fuzzy security event membership function varying with p

式(27)存在的問題是，在s=xmin處隸屬函數(shù)不連續(xù)，文獻[28]也指出了這點。因此，該法目前沒有被廣泛使用，這里作為一種思路，把它列出。

2.5 加權(quán)面積之比法[28]

文獻[28]認為影響模糊數(shù)大小有兩個主要特征因素，一個是隸屬函數(shù)曲線下的面積分布，即對于任一點它兩側(cè)隸屬函數(shù)曲線下面積的大??；另一個是隸屬函數(shù)的峰值的位置。在此基礎(chǔ)上，將R的隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊安全狀態(tài)隸屬函數(shù)μA。μA由兩部分組成，第一部分根據(jù)R的隸屬函數(shù)的面積分布求得(式(28)，圖7)：

圖7 根據(jù)μR 的面積分布確定μA1Fig. 7 Determine μA1 according to the area distribution of μR

圖8 根據(jù)Rp 的位置確定μA2Fig. 8 Determine μA2 according to the position of Rp

然后加權(quán)求和：

式中，w1、w2為權(quán)值，其值之和為1。

文中說，權(quán)值w1、w2可結(jié)合具體問題，根據(jù)經(jīng)驗或其他方法給定。一般情況下，隸屬函數(shù)不對稱程度越大，w2的值越大。

該法除權(quán)值憑經(jīng)驗確定外，其計算公式(29)也無多少理論依據(jù)，而且Rp的隸屬函數(shù)μRP(x)如何確定，也無依據(jù)和辦法，文獻中說可以是正態(tài)形或?qū)ΨQ三角形，但為何采用這兩種隸屬函數(shù)以及采用這兩種隸屬函數(shù)差別多少，也無研究，所以實際中使用很少。

當w2=0 時，實際即為隸屬函數(shù)面積之比法，所以面積之比法也可看作為此法的特例。

3 可能度法[16]

文獻[12]最早對可能性理論進行了系統(tǒng)研究，提出了其基本概念和理論體系。它主要針對的是R、S都是模糊變量的情況。文獻[16]把它與區(qū)間可靠度方法相結(jié)合，推廣到了一個模糊變量、一個隨機變量情況。

首先對R取λ 截集，變成區(qū)間變量[aλ,bλ]，然后求其區(qū)間可靠指標：

對不同的λ，可得相應(yīng)的失效概率，從而即得模糊失效概率的可能性分布?？梢钥闯?，失效概率不是定值，是隨λ 而變化的，因此是個模糊量。

4 實用計算法[29]

文獻[29]是從最一般形式開始討論的。它首先將R、S認為是模糊隨機變量，根據(jù)模糊隨機變量的定義，采用λ 截集，將R、S變成隨機區(qū)間：

5 幾種方法的關(guān)系和比較

上面列出了各種計算方法，下面對這些方法作一比較分析。

1)上面四類方法是按對變量的處理方式而分的，如果按求得的失效概率屬性又可合并成兩類：一類是求得的失效概率是定量，如廣義密度函數(shù)法、當量密度函數(shù)法、面積之比法等價、截集法等；另一類是求得的失效概率是模糊量，有可能度法、實用計算法。

2)在第一類、第二類方法中，廣義密度函數(shù)法與面積法等價[31]，這從計算公式上就可直接證明。當量密度函數(shù)法與截集法相同，因為出發(fā)點是相同的。事實上對當量密度函數(shù)積分，就是事件的隸屬函數(shù)。

廣義密度函數(shù)與信息熵法是一致的，其定義也可從信息熵相等公式中得到，自然滿足信息熵相等的要求。

3)廣義密度函數(shù)法與截集法是不等價的，文獻[46]中證明兩者等價是不正確的。證明中先認為R轉(zhuǎn)化后在區(qū)間內(nèi)是均勻分布的，然后證明確是均勻分布的，來回重復。事實上，當定義密度函數(shù)后，它根據(jù)R的隸屬函數(shù)是有分布的，不是常量，再認為是均勻分布是不正確的。這從后面的例子結(jié)果就可以看到。

4)直接轉(zhuǎn)化法是將抗力的隸屬函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為模糊安全事件的隸屬函數(shù)，與面積之比法和截集法都不同。因此，在第一類、第二類方法中，本質(zhì)上是3 種方法：面積之比法(廣義密度函數(shù)法)、截集法(當量密度函數(shù)法)和直接轉(zhuǎn)化法。圖9分別給出了R為線性隸屬函數(shù)和正態(tài)隸屬函數(shù)情況按廣義密度函數(shù)法和當量密度函數(shù)法轉(zhuǎn)化后的概率密度曲線，圖10 則給出了按面積之比法和截集法轉(zhuǎn)化后的失效事件的隸屬函數(shù)，可以看出，差別還是較大的。對于直接轉(zhuǎn)化法，事實上當p=1、xm時，其失效事件的隸屬函數(shù)為1，可見其差別更大。

圖9 兩種隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化后的概率密度函數(shù)Fig. 9 Probability density function after transformation of two membership functions

圖10 兩種隸屬函數(shù)轉(zhuǎn)化后的失效事件隸屬函數(shù)Fig. 10 The membership function of the failure event after the transformation of the two membership function

5)目前對一個變量是模糊變量、一個變量是隨機變量的情況還沒有一個明確的求解方法，但從模糊數(shù)學的角度，它的失效概率應(yīng)是模糊數(shù)，因此第三類、第四類解法更符合問題的本質(zhì)，可能度法結(jié)果含蓋在實用計算法中。

6 算例

這里采用文獻[47]中的算例來說明這些方法結(jié)果的差異。

其形狀見圖11。

圖11 算例概率密度函數(shù)和隸屬函數(shù)Fig. 11 The probability density function and membership function of the calculation example

求失效概率。

1)廣義密度函數(shù)法

根據(jù)式(5)，可得R的概率密度函數(shù)：

代入式(2)，可得失效概率Pf=0.001 373。

3)信息熵法

根據(jù)式(17)，可求得模糊強度R的模糊熵為G=4.188 879，假設(shè)轉(zhuǎn)化后的隨機變量為正態(tài)分布，

代入式(3)，可得失效概率Pf=0.002 604，與廣義密度函數(shù)法的結(jié)果相同。

5)截集法

根據(jù)式(24)，可得失效事件的隸屬函數(shù)為：

代入式(3)，可得失效概率Pf=0.001 373，與當量密度函數(shù)法結(jié)果相同。

6)直接轉(zhuǎn)化法

根據(jù)R的隸屬函數(shù)及式(26)，可得安全事件隸屬函數(shù)：

具體數(shù)值可見表1。

表1 失效概率隨p 變化Table 1 Failure probability varies with p

7)可能度法

根據(jù)式(32)，可得：

失效概率隨的可能性分布見表2。

表2 失效概率的可能性分布Table 2 The possibility distribution of failure probability

8)實用計算法

因為R為模糊變量、S為隨機變量，根據(jù)式(35)，可得：

對上式去模糊化，分別采用形心法和面積法可得[19]：

形心法：Pf=0.150 000。

面積法：Pf=0.006 510。

根據(jù)文獻[48]，面積法是比形心法更好的去模糊化方法，因此，面積法的結(jié)果應(yīng)更合理。

基于算例采用不同方法計算所得的失效概率結(jié)果，可知，廣義密度法的結(jié)果與面積之比法相同，當量密度函數(shù)法與截集法相同。信息熵法與廣義密度函數(shù)法相差不大，這兩個方法的差別在于轉(zhuǎn)化后概率密度函數(shù)前者為正態(tài)分布、后者仍為線性分布，說明本算例轉(zhuǎn)化后采用正態(tài)分布是可行的?？赡芏确ǖ慕Y(jié)果含蓋在實用計算法中，實用計算法的結(jié)果模糊度較大，工程實際中不易應(yīng)用。在定量計算方法中，當量密度函數(shù)法(截集法)計算的失效概率最小，廣義密度函數(shù)法(面積之比法)居中，直接轉(zhuǎn)化法最大，且相差都較大。實用計算法去模糊化后的結(jié)果居于廣義密度函數(shù)法和直接轉(zhuǎn)化之間。

7 結(jié)論

本文對目前計算抗力R為模糊變量、應(yīng)力S為隨機變量情況的模糊失效概率方法進行了系統(tǒng)分析總結(jié)，推導了R的隸屬函數(shù)為線性、正態(tài)分布時的有關(guān)公式，并通過算例給出了具體計算結(jié)果，討論了方法之間的相互關(guān)系，可以看出它們之間的差距較大。從理論上講，實用計算法更符合問題的本質(zhì)，但其結(jié)果工程實際中不易應(yīng)用，而三個定量計算方法，結(jié)果差異又較大，因此，哪個方法更合理，還需進一步研究。