高超聲速邊界層基頻二次失穩條紋結構的穩定性

李玲玉，劉建新

(天津大學 機械工程學院 高速空氣動力學研究室，天津 300072)

0 引言

邊界層從層流向湍流的轉變過程被稱為邊界層的轉捩。轉捩問題實際是湍流的起源問題，是流體力學長期關注但尚未解決的重要研究領域之一[1]。研究清楚轉捩過程的機理，對于提高轉捩預測的準確性和理解湍流的產生至關重要。一般認為邊界層的轉捩是由流動不穩定性引起的，分析流動的失穩特性和研究擾動演化的過程，是流動穩定性分析的主要工作[2]，也是理論以及工程上所關心的重要問題之一。

在高超聲速邊界層中，由于流動的壓縮性，邊界層局部會產生相對超聲速區，由此產生的失穩模態被稱作第二模態，它在較高來流馬赫數時對流動失穩起著至關重要的作用。對于馬赫數較高的情況（如Ma>4），二維的第二模態的線性增長率最大，最不穩定，可能最先增長起來[3]。但是只有二維流動是不能導致轉捩的，因為湍流是三維流動的，這就說明中間過程會有三維流動的產生。Herbert的二次失穩理論是在這個過程中研究三維擾動產生原因的理論之一[3]。二次失穩的類型主要包括基頻模態失穩和亞諧模態失穩[4-7]，其中前者通常被稱作為K型失穩而后者則被稱作為H型失穩，表現為在轉捩中不同的流場分布特征。早期的不可壓縮邊界層的相關研究通常認為K型失穩發生在較高的來流湍流度的情況下。

直到20世紀90年代之后，人們才將二次失穩的研究對象從低速問題轉移到了高超聲速問題。在1992年Ng 和 Erlebacher[8]采用二次失穩理論研究了Ma=4.5時的平板邊界層中第二模態的二次失穩，發現了亞諧模態的二次失穩解，但沒有發現基頻模態的二次失穩解。近年來，在高超聲速邊界層的直接數值模擬和實驗研究中，人們相繼發現在Mack模態主導的邊界層轉捩前出現了條紋結構。2010年劉建新[9]在小迎角鈍錐高超聲速邊界層的擾動演化研究中發現：入口的等幅值的擾動波會在下游形成展向波包型分布，在更下游的流場中會出現三維擾動，擾動的定常部分為流向條紋結構，如圖1所示。還發現三維擾動快速增長的機理應該屬于二次失穩理論中的基頻模態失穩。隨后Purdue大學的Schneider小組(2011)[10]在靜風洞實驗中，通過熱敏漆（TSP）技術，觀測到了壓縮錐壁面熱流呈現的三維流向條紋結構，如圖2所示。此后不久Yu 和 Luo（2013）[11]在平板邊界層中也發現了條紋結構，研究表明這種結構是由與第二模態同頻率的三維擾動快速增長引起的，類似于不可壓流動中的基頻模態失穩情況。Sivasubramanian 和Fasel （2016）[12]的DNS研究也表明實驗中出現的條紋結構是由基頻模態失穩引起的，條紋結構對應于基頻共振作用過程中激發的流向渦結構。后來Christoph和Fasel （2019）[13]用直接數值模擬方法研究了馬赫數為6、迎角為0°時，高超聲速裙錐邊界層由層流到湍流的轉變過程，結果發現基頻共振要強于亞諧共振?；l共振誘發了條紋結構的產生，在轉捩中占主導地位。劉建新等[14]在最近研究了不同Mack模態幅值對二次失穩類型的影響。當Mack模態幅值較小時，二次失穩以亞諧模態失穩占主導；當Mack模態幅值較大時，基頻模態的增長率將超過亞諧模態，成為二次失穩的主要模態。這些研究都表明，在由Mack模態主導的邊界層轉捩過程中，可以通過二次失穩機制激發出由基頻模態主導的條紋結構。

圖1 劉建新數值結果中的條紋結構[9]Fig. 1 Streaky structures in numerical results by Liu[9]

圖2 Purdue大學靜風洞中觀測到的條紋結構[10]Fig. 2 Streaky structures observed in the quiet wind tunnel of Purdue University[10]

很多研究都發現流場在變成湍流過程中都存在比較穩定的條紋結構。從條紋結構的生成來看，很多機制都會引起或者表現為流場內條紋結構的產生。除了前面提到的邊界層內由Mack模態引起的基頻二次失穩可以產生條紋結構以外，最典型的，條紋結構的生成可以和邊界層內失穩擾動的非線性演化至飽和過程有關，例如橫流渦、哥特渦等在流場中表現為條紋結構[15-17]；三維邊界層中由于邊界層抬升效應也會產生典型的條紋結構，例如HiFiRE-5模型（橢圓錐）短軸處及粗糙元尾跡流動中出現的流向渦結構，可表現為流向條紋[18]；此外，當外界湍流度較大時，也可以依靠感受性機制直接在邊界層內激發出條紋結構[19-20]。

針對于以上如哥特渦、橫流渦等機制引發的條紋結構，人們開展了相關的二次失穩研究，并將這些二次失穩機制與轉捩過程相關聯。研究結果說明湍流的突變（breakdown）過程可能和條紋結構的二次失穩有關，這說明條紋結構對轉捩有很大的影響，對轉捩的發生起著至關重要的作用。雖然針對于Mack模態的二次失穩機制引起邊界層內條紋結構的產生問題開展了一些研究工作，但對由此產生的條紋結構的二次失穩研究則關注不夠?；诖耍疚囊訫a=4.5的可壓縮平板邊界層為研究對象，以Blasius相似性解為二維基本流，采用線性穩定性分析和二次穩定性分析等研究方法開展研究，旨在研究平板邊界層失穩過程中基頻模態產生的條紋結構的分布特征與規律，探究這種條紋結構的穩定性特征。對于此類條紋結構的穩定性研究，有助于我們更好地理解和描述條紋結構在轉捩中的作用，有助于推進高超聲速邊界層由Mack模態引起的邊界層轉捩機理的研究。

1 方程及求解所用的數值方法

本節介紹本文中用到的方程及求解所用的數值方法。

1.1 線性擾動方程

設有可壓縮氣體流過平板，流動方向為x方向，y方向與z方向分別為法向和展向?？紤]可壓縮邊界層，從有量綱的完全Navier-Stokes （N-S）方程出發，選取適當的特征量將其無量綱化，我們可以得到無量綱的N-S方程。將得到的無量綱N-S方程中的瞬時量設為基本流與擾動量的和：

其中，φ =(ρ,u,v,w,T)T為 瞬時量，上標 T表 示轉置。φ0=(ρ0,u0,v0,w0,T0)T為 定常的基本流，φ′=(ρ′,u′,v′,w′,T′)T為擾動量,。將式（1）代入到無量綱N-S方程中，并減去定?；玖鳚M足的N-S方程，最后略去非線性部分，可以得到線性化擾動方程：

其中，Vxx、Vyy、Vzz、Vxy、Vxz、Vyz、Γ 、A、B、C和D為系數矩陣，系數矩陣元素的具體表達式見周恒等[21]的著作。方程（2）描述了流動中小擾動的線性演化過程，對該方程求解需要給出初始條件和計算域所有邊界上的條件，而且計算量很大，因此需要進行化簡來降低求解的難度，下一小節介紹對該方程的簡化方法。

1.2 線性穩定性方程

首先對二維基本流進行線性穩定性分析（LST）。考慮到擾動的演化相對基本流主要發生在流向、展向和法向，可以假設擾動是時間、流向和展向的周期函數，則擾動可以寫成下列形式：

將式（3）代入到線性的擾動方程（2）中，并忽略基本流的流向導數和法向速度，得到準平行性假設下的邊界層的線性穩定性方程：

其中，LLST是 方程的線性算子，是以α、 β 和 ω為變量的函數?？梢栽O擾動在壁面和遠場擾動為零。這樣線性穩定性問題就可以被認為是一個具有齊次邊界條件的特征值問題，要想有非零解，需要滿足：

式（5）描述了擾動的色散信息，即波數與頻率的關系。通過求解式（5）得到色散關系后，可以從式（4）中求得形函數。所以說穩定性方程的實質正是通過求解這樣一個特征值問題，得到邊界層擾動波的色散關系和擾動的特征函數。該方程可以使用五點四階中心差分格式在法方向上進行離散，矩陣的特征值問題可以通過反冪法或者QZ法進行迭代求解或者直接求解。

1.3 二次失穩分析方法

經典的線性穩定性方程主要是針對二維基本流開展的穩定性研究，它所給出的失穩擾動信息又被稱作首次失穩。然而，當二維基本流與首次失穩的擾動疊加時，又可以產生新的失穩現象，即二次失穩。本文采用經典的基于Floquet理論的二次失穩理論（SIT）進行二次失穩分析。根據二次失穩理論[8]可知，二次失穩分析的基本流由原基本流和有限幅值的首次失穩二維擾動組成，即：

其 中， φ0對 應于 原 基 本 流，對應于首次失穩擾動的形函數，A為首次失穩擾動的幅值。α和 ω對應于首次失穩擾動的流向波數和頻率。二次失穩分析的基本流是時間t的函數，為了消除t，使得二次失穩分析的基本流定常，這里引入坐標變換：

通過這樣的變換，在首次失穩擾動的行進坐標系中，新構成的基本流就可以被看作為定常的。

為了研究二次失穩，在新構成的基本流即二次失穩的基本流上疊加二次失穩擾動，則瞬時流場可表示為：

將式（10）代入到式（9）中，可以得到方程：

下面給出邊界條件，在壁面y=0處：

在遠場y=∞處擾動趨于零：

對于一個給定的展向波數 β2，未知的復特征值σ描述了二次失穩擾動的時間失穩。二次失穩分析既適用于時間模式，也適用于空間模式。由于本文研究的是時間模式下的情況，所以只給出了時間問題解的推導，空間問題解在這里不再贅述。類似的，該方程也可以稍加改動即可適用于求解條紋邊界層的無黏失穩情況。

式（11）是一個大規模的特征值問題，我們在法向上采用四階中心差分格式，流向采用傅里葉譜方法進行離散。特征值問題選用Arnoldi子空間迭代法進行求解，該方法是求解大規模稀疏矩陣局部特征值的迭代方法。ARPACK[22]是目前最流行的實現Arnoldi方法求解大型稀疏矩陣特征值的開源軟件包。

1.4 程序驗證

為了驗證本文所用程序的正確性，計算了Ng 和Erlebacher 等[8]Ma=4.5平板邊界層二次失穩分析的算例。首先用線性穩定性方程求解器計算了Re=10000、α=2.52、T=61.11K的工況，得到了Mack模態擾動。圖3和圖4分別給出了Mack模態的速度和 溫度隨法向坐標的變化關系。

圖3 Mack模態的流向速度沿法向的分布Fig. 3 Distribution of streamwise velocity in Mack mode along the normal direction

圖4 Mack模態的溫度沿法向的分布Fig. 4 Distribution of Temperature in Mack mode along the normal direction

從圖中不難看出，Mack模態擾動的溫度最大值明顯大于速度最大值，因此以Mack模態的溫度最大值來定義Mack模態擾動的幅值，即這樣定義可以避免負溫度的出現。為了和文獻[8]作比較，本文的Mack模態擾動的幅值分別取為6%、3%和2%。

在二次失穩分析中，不考慮Mack模態的非線性作用，利用上述穩定性分析得到的Mack模態擾動乘以相應的幅值加上相似性解作為二次失穩分析的基本流，采用時間模式計算了三組不同幅值的工況。來流參數為：Ma=4.5， 來流溫度為T=61.11K，邊界層位移厚度定義的雷諾數為Re=10000。首次失穩擾動為二維的Mack模態擾動，無量綱流向波數為α=2.52 ，無量綱頻率為 ω=2.27。最后將計算結果與文獻[8]結果進行對比，圖5為本文計算結果和文獻結果的比較,從圖中可以看出本文的計算結果與文獻結果吻合的很好，從而驗證了本文所用的分析程序是可靠的。

圖5 二次失穩分析的結果與文獻[8]的結果對比圖（實線為文獻中結果，方塊為本文結果）Fig. 5 Comparison between the secondary instability analysis results and those in Ref.[8](The solid lines are the results in literature,and the square symbols are the results in this study)

2 條紋結構的穩定性分析

2.1 首次失穩擾動幅值對二次失穩的影響

此前研究中都發現，首次失穩的擾動幅值對二次失穩的主導模態會產生較大的影響，為了研究這種影響，我們利用1.4節中通過線性穩定性方程求解器得到的Mack模態擾動作為首次失穩擾動，首次失穩擾動乘上相應的幅值A加上相似性解，作為二次失穩分析的基本流。研究了首次失穩擾動的幅值A從0.06增加到0.8時，亞諧模態和基頻模態的增長率隨展向波數 β2的變化關系，結果如圖6和圖7所示。從兩張圖中可以看出，隨著Mack模態幅值的增加，亞諧模態和基頻模態的失穩波數范圍不僅擴大，其相應的增長率也在增大。亞諧模態的最大增長率從0.025增加到了0.064，基頻模態的最大增長率從0.0008增加到了0.065。

圖6 亞諧模態的增長率隨展向波數變化的關系Fig. 6 Relationship between the growth rate of subharmonic modes and the spanwise wavenumber

圖7 基頻模態的增長率隨展向波數變化的關系Fig. 7 Relationship between the growth rate of fundamental modes and the spanwise wavenumber

結合兩張圖不難看出，相對于亞諧模態來講，基頻模態的增長率隨著初始Mack模態幅值的增大而增長的更快，說明首次失穩擾動的幅值對基頻模態擾動的影響更顯著。進而說明在首次失穩擾動小幅值的情況下，亞諧模態在流場中占主導地位；反之基頻模態占主導地位，這個結論與劉建新[14]等研究的結論是相符合的。這也解釋了為什么在Ng和 Erlebacher等[8]的論文中，只發現了亞諧模態的二次失穩，沒有發現基頻模態的二次失穩。因為文獻中的首次失穩擾動幅值最大為6%，幅值等于6%屬于小幅值的情況，此時流場中亞諧模態占主導地位，所以沒有發現基頻模態的二次失穩。

由于本文重點研究基頻模態的失穩，所以圍繞亞諧模態失穩的研究這里不再展開。圖8給出了首次失穩擾動幅值A=0.6 ， 展向波數 β2=2.1時，基頻模態的特征函數?？梢钥闯觯l模態速度的最大值集中在y≈0.6附近。

圖8 基頻模態的流向速度特征函數沿法向的分布Fig. 8 Streamwise velocity eigenfunction of the fundamental mode along the normal direction

進一步的，我們可以對基頻模態的特征函數進行傅里葉分析，即分析特征函數分量的值的分布特征。圖9給出了最大的三個分量的分布。

圖9 基頻模態特征函數的傅里葉分析Fig. 9 Fourier analysis of the fundamental mode eigenfunction

2.2 二次失穩擾動幅值對條紋結構基本流的影響

通過對前人研究工作的調研，我們知道了在首次失穩擾動大幅值的情況下，基頻模態在流場中占主導地位，而且隨著流動向下游的發展，會產生條紋結構。為了研究條紋結構的失穩特性，我們首先要獲得條紋結構。這里選擇Blasius相似性解為原基本流，Mack模態作為首次失穩擾動，其幅值為0.6，基頻模態擾動作為二次失穩擾動，根據一般計算的經典二次失穩結果，進行后處理，從而生成全部的流場和條紋結構的流場。這樣，考慮到基頻失穩擾動 σ的虛部為零，則二次失穩擾動增長起來后的流場可寫為：

2.3 二次失穩擾動幅值對全部流場的影響

根據流場的性質，人們在研究中總是通過分析流動過程中渦結構的演化特點來研究擾動的發生、演化及其表現特征的。

圖10給出了首次失穩擾動幅值A=0.6，展向波數 β2=2.1時，不同二次失穩擾動幅值下，全流場的流向渦量云圖?？梢钥闯隽飨驕u量是呈對稱分布的，且分布比較均勻。隨著二次失穩擾動幅值B的增加，流向渦量的強度也越來越大。

圖11給出了不同二次失穩擾動幅值下，全部流場的展向渦量云圖，不難看出隨著擾動的發展，y≈1附近的流體逐漸被卷起，形成渦結構。隨著二次失穩擾動幅值B的增加，展向渦量的強度越強。

對比圖10和圖11兩組相同二次失穩擾動幅值下的流向渦量和展向渦量云圖可以發現，流向渦量的強度要顯著大于展向渦量的強度，說明在流場中流向渦量占主導地位，展向渦量次之。這意味著此時流場中的動力學結構應該主要受流向渦量的制約。因此，以下研究中我們主要關心流向渦量的條紋結構，而忽略掉展向結構的影響和特征，只研究某一個流向站位的流場結構。

圖10 流向渦量云圖Fig. 10 Streamwise vorticity contours

圖11 展向渦量云圖Fig. 11 Spanwise vorticity contours

根據前面的討論，所謂流向渦量的條紋，其主要成分為基頻模態的零階擾動，因此，此時流向渦結構即基頻失穩條紋可以寫成如下形式：

為了研究不同二次失穩擾動幅值對條紋結構基本流的影響，我們計算了四組不同的參數，二次失穩擾動幅值分別為0、0.2、1和2。

圖12給出了兩個周期內，不同二次失穩擾動幅值下的條紋結構流向速度云圖。從圖中不難看出，隨著B的增加，條紋結構的峰值越來越大，條紋結構越來越明顯。說明B對條紋結構的產生有促進作用，二次失穩擾動的幅值越大，那么對應的條紋結構的峰值也越大。

圖12 不同B值下的條紋結構（流向速度）沿法向的分布Fig. 12 Streamwise velocity contours of streaky structures under different B values along the normal direction

2.4 對條紋結構的無黏穩定性分析

得到條紋結構后，我們就可以進一步對該條文結構進行穩定性分析。這里我們使用無黏穩定性方程進行分析。因為根據通常的理論，條紋結構的穩定性主要是依賴于流場的局部剪切造成的，而黏性只起到阻尼作用，因此直接使用無黏穩定性分析就可以給出穩定性分布的本質與特征。無黏的控制方程可以寫為：

其中，α為流向波數，M? 為相對馬赫數，具體表達式可見式（17）。對應于y-z平面的拉普拉斯算子，對應壓力擾動的特征函數。

為了驗證我們的分析，本文計算了兩個二次失穩擾動幅值為0.2和2時的線性條帶流場對應的無黏穩定性的工況。圖13給出了二次失穩擾動幅值為0.2時最不穩定的兩支擾動的增長率隨波數的變化關系，對應圖中的F1和F2曲線。兩支解都是隨著波數的增加，增長率呈先增大后減小的趨勢。從圖中不難看到，兩支模態的增長率分布特征與二維Blassius邊界層時的分布狀態十分相似。這是由于此時條紋幅值較小，流場中保留了更多的二維性的特征。圖14給出了與圖13相對應的兩支曲線的相速度隨波數的對應關系。從圖中不難看到，F1模態的相速度變化不大，其值約為0.865～0.88，該值基本對應于條紋邊界層廣義拐點位置的速度。因此F1模態主要對應于無黏剪切模態。相對于F1，F2模態的相速度范圍變化較大，其中下支點相速度接近于1，上支點相速度接近于0.88，即廣義拐點的值。這種相速度的分布特征與二維邊界層中第二模態擾動的分布特征十分相近。

圖13 增長率隨波數的變化關系Fig. 13 The relationship between the growth rate and the wavenumber

圖14 相速度隨波數的變化關系Fig. 14 The relationship between the phase velocity and the wavenumber

為了進一步研究兩支解的性質，圖15和圖16分別給出了F1和F2兩支曲線增長率最大時所對應的壓力特征函數云圖，分別為αr=0.7、ωi=0.00617668和αr=2.4、ωi=0.04775的情況。

圖15 α r=0.7,ωi=0.00617668的特征函數Fig. 15 The eigenfunction for αr=0.7,ωi=0.00617668

由圖15可以看到，對于F1模態，壓力最大值主要集中y≈1的臨界層附近，峰值點位置對應的基本流速度約為0.87，這是典型無黏剪切解特征。圖16則給出了F2模態的特征函數分布，此時壓力分布特征與F1大不相同，壓力最大值集中在壁面附近。由圖中的云圖分布我們不難看到壓力模態的模呈現隨著法方向從大變小逐漸到零然后再變大最后逐漸在遠場衰減到零的特征。這一分布特征與Mack第二模態的分布特征非常相近，是壓縮模態的特征。只是此時失穩模態并非是二維模態而是三維的，這是由于流場由于存在微小的條紋，流場呈現一定的三維性，此時壓縮模態受影響也使得最不穩定擾動變成了三維的。

圖16 α r=2.4,ωi=0.04775的特征函數Fig. 16 The eigenfunction for αr=2.4,ωi=0.04775

圖17給出了F2模態所對應的相對馬赫數分布。從圖中不難看到近壁區域整體上相對馬赫數都小于?1，因此擾動波在此處是超聲速的，此時方程（16）在局部表現為波動方程特性，從而導致壓力的波動解。該特征和結論與二維基本流情況時的Mack第二模態基本相同。比較F2和F1模態的特征我們不難得出，在高超條件下，由于微小條紋的存在，流場中可以存在此時在三維邊界層中類似二維情況中第一模態和第二模態的解。因此，我們將F1類的擾動稱之為條紋邊界層的第一模態，將F2類似的擾動稱之為條紋邊界層的第二模態。其中，第一模態F1失穩頻率較低，增長率較小，第二模態F2增長率較大，但頻率較高。

圖17 Ma=4.5,cr=0.912時的相對馬赫數云圖Fig. 17 The relative Ma contours for Ma=4.5,cr=0.912

圖18出了二次失穩擾動幅值B= 2時的增長率隨波數變化的關系。可以看出，此時大幅值情況下，流場中主要存在四支解。圖19為四支曲線對應的相速度分布。從圖中不難看出，隨著條紋幅值的增加，增長率有放大，其中第二模態的增長區域顯著放大。同時，流場中失穩模態也較條紋幅值較低時更豐富。相速度分布行為隨著條紋幅值的增加逐漸偏離二維邊界層時的典型特征，但整體上第一模態的相速度較小，而第二模態的相速度較大。

圖18 增長率隨波數的變化關系Fig. 18 The relationship between the growth rate and the wavenumber

圖19 相速度隨波數的變化關系Fig. 19 The relationship between the phase velocity and the wavenumber

為了進一步說明問題，圖20給出了F1、F3、F4最大增長率對應的壓力云圖，由于F1和F2曲線的壓力云圖類似，所以這里不再給出F2曲線對應的壓力云圖。圖20（a）對應的是剪切解的情況，壓力最大值在臨界層附近。圖20（b、c）對應的是壓力最大值都集中在壁面附近。這與二次失穩擾動幅值為0.2時的結論類似，即第二模態類的解集中在壁面附近。其中第二模態類的解增長率較大，失穩頻率范圍和增長率隨著條紋幅值增大而顯著增大，而第一模態類的擾動相對變化范圍要小。

圖20 不同波數下的壓力特征函數云圖Fig. 20 The eigenfunction of pressure for different wavenumbers

圖21和圖22給出了相速度為F3和F4模態最不穩定擾動對應的相對馬赫數云圖。從圖中可以看到，依然滿足于近壁區域相對馬赫數小于?1的性質，這使得擾動在該區域呈現出波動的特征，從而導致了非平凡解的產生。

圖21 c r=0.8的相對馬赫數云圖Fig. 21 The relative Ma contours for cr=0.8

圖22 c r=0.915的相對馬赫數云圖Fig. 22 The relative M a contours for cr=0.915

3 結論

本文采用線性穩定性分析和二次穩定性分析的方法，以高超聲速平板邊界層為研究對象，圍繞邊界層基頻二次失穩條紋結構的穩定性開展了研究，得到結論如下：

1）首次失穩擾動的幅值對二次失穩類型有影響。當首次失穩擾動幅值較小時，亞諧模態占主導；反之，基頻模態占主導，其特征函數在邊界層內有較大的值。

2）基頻模態的主要成分為流向的條紋結構，表現為流向渦。二次失穩擾動的幅值對全流場的流向渦和展向渦結構分布和強度都有影響。在相同的擾動幅值的前提下，流向渦顯著強于展向渦，這表明此時流場中的動力學特征主要受流向渦結構影響。同時，首次失穩擾動幅值相同的條件下，二次失穩基頻模態擾動的幅值對條紋結構（流向渦）的產生直接相關。二次失穩擾動的幅值越大，條紋結構越明顯，幅值越大。

3）通過對條紋結構的無黏穩定性分析，結果表明流場中存在多失穩模態特征，且失穩特征與多種物理機制相關。其中低頻失穩擾動的增長率較小，對應于拐點無黏不穩定性，而高頻擾動的增長率較大，對應于由于局部相對馬赫數絕對值大于1導致的壓縮性的解。從解的特征解來看，條紋邊界層中的失穩模態可以看作為二維邊界層流動中第一模態和第二模態在三維邊界層中的擴展。

綜上所述，本研究通過對邊界層內條紋結構的產生和無黏穩定性特征進行了初步研究，基于線性模型構造條紋基本流，研究了條紋結構中的無黏模態分布以及其物理主導機制。這推進研究高超聲速邊界層轉捩過程中的非線性穩定性機制以及轉捩中的典型流動結構的物理機理的理論認識。

這里需要額外指出的是，在本文的研究中，條紋結構的產生主要是基于線性模型構造的，并未考慮條紋產生激發的初值效應以及飽和特征，后續需要對此進行更詳細的分析和研究。此外，對條紋邊界層的穩定性模態在轉捩過程中的意義應進一步基于直接數值模擬開展研究工作。