基于新型趨近律的永磁直線同步電動機全局滑模控制

宮海濤，徐 馳，鄭如霞，趙希梅

(1.遼寧泛適達科技有限公司，沈陽 110004； 2.沈陽工業大學 電氣工程學院，沈陽 110870)

0 引 言

近年來，人們對機械加工精度的要求日益提高，在傳統工業領域，通過旋轉電機實現直線驅動已無法適應現代工業對驅動系統的需求，因此，直接驅動技術受到了人們的廣泛關注。與“旋轉電機+滾珠絲杠”的傳統傳動方式不同的是，永磁直線同步電動機(以下簡稱PMLSM)利用電磁效應，無需中間傳動環節，直接驅動執行機構做直線運動，且具有推力大、響應速度快等優點，在數控機床、醫療器械、軌道交通等重要場合得到廣泛應用[1]。但在實際運行過程中，PMLSM是一個非線性、多變量、耦合度高的復雜系統，且在運行過程中會受到內部參數攝動、外部負載擾動、摩擦阻力及端部效應阻力等多方面影響，故對其控制的難度也相應增加[2]。

近幾年來，滑模控制(以下簡稱SMC)在許多對可靠性要求較高的運動控制場合中得到了廣泛的應用[3]。SMC最大的特點是其控制作用具有不連續性，根據控制目標所設計的切換面對外界干擾和參數變化等因素具有魯棒性[4]。SMC的不連續開關特性會引起抖振，而系統狀態軌跡趨近于滑模面的快速性與抖振程度相矛盾[5]。因此，縮短趨近時間、削弱抖振現象成為了SMC研究的主要方向。

國內外許多學者對SMC進行了廣泛研究[6-8]。文獻[9]在傳統指數趨近律的基礎上設計了一種變指數趨近律，通過引入變指數項函數，提高了系統的動態品質以及抑制抖振的能力，達到了全局收斂，但控制律對參數變化適應性低，調節速率較低，響應速度較慢。為了提高系統的收斂速度。文獻[10]針對一類二階非線性系統提出了一種雙冪次型趨近律，既可削弱抖振現象，又能加快系統的收斂速度，但由于引入大量參數，加大了計算的復雜程度，占用計算內存變高。文獻[11]將傳統符號函數替換為具有邊界層的飽和函數，對輸入不連續函數進行連續化處理，削弱了抖振。但由于傳統的飽和函數邊界層固定，系統狀態軌跡無法漸近收斂至切換面，同時在邊界層內系統的魯棒性也有所降低，影響了系統的位置跟蹤精度。文獻[12]提出了一種自適應趨近律，可以根據系統狀態變量與滑模面的距離自適應調整系統狀態向滑模面趨近時的速度，從而削弱了SMC固有的抖振現象，提高了系統的穩定性，但系統的平衡點難以判斷，加大了系統的復雜性并降低了可應用性。

為解決上述問題，實現PMLSM的高精度位置跟蹤控制，本文設計了一種基于新型趨近律的全局滑模控制(以下簡稱GSMC)方法，在滑模面方程中引入非線性因子項來實現GSMC，保證系統穩定運行的同時，可以消除滑模控制的到達階段，使系統具有全局魯棒性。此外，引入具有動態邊界層飽和函數的新型趨近律替代等速趨近律，使狀態軌跡平穩收斂至切換面上，削弱了輸出抖振，提升了系統控制性能。

1 PMLSM數學模型

在d-q坐標系下，PMLSM的電磁推力方程可以表示:

(1)

式中:Fe表示電磁推力；pn表示極對數；ψf表示永磁體磁鏈；id，iq表示d，q軸電流；τ表示極距；Ld，Lq表示d，q軸電感。

采用矢量控制方法，取id=0，為方便設計，其中Ld=Lq，Kf=3πpψf/(2τ)，電磁推力方程簡化:

(2)

式中:Kf為電磁推力系數。

PMLSM的機械運動方程:

(3)

式中:M表示PMLSM的動子總質量；B為粘滯摩擦系數；v為動子速度；F為總擾動項，其中包括系統內部參數攝動、外部負載擾動、摩擦阻力和端部效應阻力等。

考慮F時，直線電機的動態方程表示:

(Cn+ΔC)F

(4)

式中:x(t)為動子位置；An=-B/M；Bn=Kf/M；Cn=-1/M；ΔA、ΔB、ΔC表示系統參數變化引起的不確定量，且是有界的。系統的不確定性總和D表示如下:

(5)

假設D有界，即|D|≤δ，其中δ為正常數。

2 系統設計

2.1 系統組成

采用基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統框圖如圖1所示，將變邊界層飽和函數和新型趨近律應用其中，消除了滑動模態到達滑模面的快速性和抖振之間的矛盾，保證PMLSM伺服系統在受到不確定性因素影響時，仍能準確跟蹤位置給定信號。

圖1 基于新型趨近律GSMC的PMLSM系統控制框圖

2.2 GSMC

滑模控制器的設計首先要構造滑模面函數，隨后求解滑模控制律。為了使系統具有全局魯棒性，消除到達階段，加快收斂速度，系統采用GSMC方法。

設系統期望運動軌跡為xd，定義位移跟蹤誤差:

e=xd-x

(6)

全局滑模面函數設計:

(7)

式中：c>0；f(t)滿足下列三個條件[13]:

(2)t→0時，f(t)→0；

(3)f(t)具有一階導數。

當系統狀態滿足上述條件時，可確保s→0始終成立，使系統具備全局魯棒性，即實現GSMC,跟蹤誤差從任意狀態收斂到零。

根據上述條件，將函數f(t)定義:

(8)

因此，將式(7)改寫:

(9)

對于在不確定性因素影響下的系統，為保證系統狀態收斂至滑模面上，且具有魯棒性，滑模控制律可分為等效控制律ueq和切換控制律uvss兩個部分，因此，設計GSMC的控制律可表示:

u=ueq+uvss

(10)

(11)

(12)

因此，切換控制表達式:

(13)

(14)

式中：φ>0，為邊界厚度。

因此，將式(10)改寫:

(15)

選取李雅普諾夫函數:

(16)

對式(16)求導得:

s[-δsgn(s)-D]=

-δ|s|-Ds≤0

(17)

因此，系統是漸近穩定的。

2.3 基于可變邊界層飽和函數的新型趨近律

由于系統在飽和函數邊界層內部為線性化控制，魯棒性能較差，且系統狀態無法漸近收斂至切換面上，到達時間較長，影響了系統的動態響應。因此，本節設計了一種新型趨近律。

SMC通過選擇合適的趨近律來削弱抖振，通過引入開關函數來抑制參數變化以及外部擾動的影響。等速趨近律的表達式：

(18)

等速趨近律的缺點是趨近速度單一，ρ值的大小決定系統的抗干擾性以及抖振大小，在sgn(s)的作用下，ρ值越大，系統抗擾性越強，但也使輸出的抖振更嚴重。因此，為削弱SMC中固有的抖振現象，在等速趨近律的基礎上予以改進，提出了一種新型趨近律。

(19)

式中：x為系統的位置變量；s為滑模面；ε，η，δ均為大于零的常數。由式(19)可知，新型趨近律中起到切換作用的符號函數由飽和函數取代，以此實現準滑模控制，在一定程度上抑制了抖振，eq(x,s)是一個與系統狀態變量有關的函數，根據系統狀態與滑模面間的距離自適應地調節向滑模面趨近的速度，|s|取值越大，即狀態點距離滑模面越遠時，速度越快；|s|取值越小，即狀態點距離滑模面越近時，利用反正切函數的有界性，保證了系統的速度不會過大，讓狀態點不斷地向原點趨近，穿越滑模面后的幅值逐漸減小，加速系統趨于穩定狀態，從而抑制了系統的抖振。

傳統飽和函數的邊界范圍為一定值，當邊界層范圍較小時，在狀態軌跡趨向滑模面速度加快的同時，也加強了系統的抖振。為了抑制抖振，邊界層厚度取較大值，但在減小抖振幅度的同時也影響了系統的動態響應。因此，為了解決這個問題，設計了變邊界層飽和函數，其表達式:

(20)

將常數β(β>0)與位置狀態變量絕對值的反正切函數的乘積定義為該飽和函數的邊界層，利用反正切函數值域有界的特點，保證了邊界層厚度范圍不會隨著狀態變量與原點間的距離的增大而無限增大。邊界層的范圍隨著狀態變量收斂至零而逐漸縮減為零，保證了狀態軌跡漸近收斂到切換平面，從而實現系統在原點的穩定性。

將式(15)中的傳統等速趨近律替換為新型趨近律，滑模控制律表示:

(21)

選取李雅普諾夫函數:

(22)

對式(22)求導得:

(23)

3 系統實驗分析

本實驗采用TMS320F2812A型號DSP作為控制核心單元，對基于新型趨近律的GSMC進行系統實驗驗證。PMLSM控制系統結構如圖2所示，系統由IPM模塊、PMLSM、PC+DSP控制單元、光電耦合器、電流傳感器、光柵尺等部分構成。IPM用于進行整流及逆變，輸出控制信號；光電耦合電路用于隔離強弱電信號，從而保護PWM輸出；電流傳感器采用霍爾傳感器，將檢測得到的電流信號輸出到DSP的A/D轉換電路；采用分辨率為1 μm的直線光柵檢測動子實時位置，并將位置信號傳輸到DSP的正交編碼電路。

圖2 PMLSM控制系統結構圖及實驗裝置圖

為驗證本控制方法的有效性，分別對基于式(15)和式(21)的GSMC方法進行了實驗研究。其中，實驗采用的PMLSM主要參數：p=3，Rs=2.1 Ω，ψf=0.09 Wb，Ld=Lq=41.4 mH，B=8.0 N·s/m，τ=32 mm，M=16.4 kg。電流PI控制器的參數設定：Kp=520，Ki=4000；在GSMC中，參數選取：c=5，α=130,ρ=500；在新型趨近律中，參數選取：ε=500，η=0.5，δ=0.5，β=0.5；動子初始位置為0.2 mm。

位置信號給定幅值為1 mm的階躍信號，基于傳統飽和函數的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖3所示。從圖3(a)中可以看出，兩種控制方法沒有明顯的超調量，均能在較短時間內達到穩定狀態，在3 s時刻，加入100 N的負載擾動，從局部放大圖可以看出，基于普通飽和函數的GSMC在受到干擾后的波動幅度明顯大于基于新型趨近律的GSMC波形波動幅度。圖3(b)顯示，受到干擾后，基于傳統飽和函數的GSMC的最大位置跟蹤誤差為-0.37 μm，而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.18 μm，說明改進后的控制方法具有更強的抗干擾能力。

圖3 階躍信號作用下PMLSM的位置跟蹤曲線和誤差曲線

兩種控制方法的輸入控制u曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，基于傳統飽和函數的GSMC誤差收斂到零的速度較慢，時間較長，而且抖振現象明顯；而基于新型趨近律的GSMC收斂速度更快，且曲線較為平滑，沒有明顯的抖振現象。這是由于新型趨近律中采用邊界層可變的飽和函數替換了傳統的邊界層固定的飽和函數，邊界層隨著狀態點向滑模面的趨近逐漸減少至零，提高了系統在邊界層的魯棒性，削弱了抖振現象。因此，本文的新型趨近律在提高收斂速度和抑制抖振方面更加優越。

圖4 控制輸入曲線

為進一步驗證本文的控制方法抗干擾性能，在電機運行過程中，負載不斷變化。負載變化曲線如圖5(a)所示，基于傳統飽和函數的GSMC和基于新型趨近律的GSMC的PMLSM控制系統的位置跟蹤曲線和位置誤差曲線如圖5(b)和圖5(c)所示。電機運行達到穩態后，在2 s時，負載由20 N突變到50 N，從中可以看出，基于飽和函數的GSMC位置跟蹤誤差由-0.28 μm變化為-0.61 μm；而基于新型趨近律的GSMC無明顯波動，位置跟蹤誤差由-0.16 μm變化為-0.31 μm。4 s時，負載由50 N突減到30 N，基于飽和函數的GSMC位置跟蹤誤差在-0.61 μm～-0.36 μm之間變化；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差在-0.31 μm～-0.18 μm之間變化。6 s時，負載由30 N突變到40 N，基于飽和函數的GSMC位置跟蹤誤差由-0.36 μm變化為-0.5 μm，位置誤差增大了0.14 μm；而基于新型趨近律的GSMC的位置跟蹤誤差由-0.18 μm變化為-0.25 μm，位置誤差只增大了0.07 μm，誤差變化僅為基于飽和函數的GSMC的一半。8 s時，負載由40 N突減到10 N，基于飽和函數的GSMC最大位置跟蹤誤差為-0.49 μm；而基于新型趨近律的GSMC的最大位置跟蹤誤差僅為-0.25 μm。進一步驗證了基于新型趨近律的GSMC抗干擾能力更強，可提高系統的跟蹤性能。

圖5 變負載情況下PMLSM控制系統的位置跟蹤曲線和誤差曲線

從圖3和圖5中可以看出，在系統受到擾動后，本方法仍只能確保系統位置收斂到一有界范圍內，存在一定的穩態誤差，可以通過調節ε和η的值來減小穩態誤差，但同時也會相應地增大輸出抖振，在應用過程中需要在期望誤差及抖振大小之間進行平衡。

4 結 語

本文采用了一種基于新型趨近律的GSMC方法來控制PMLSM運行。首先采用GSMC方法控制電機運行，消除了傳統SMC的到達階段不具有魯棒性的缺陷，使系統響應具有全局魯棒性。為抑制滑模控制中的固有抖振，在傳統等速趨近律的基礎上進行了改進，將邊界層固定的傳統飽和函數替換為邊界層動態變化的新型飽和函數，得到了新型趨近律。最后通過實驗得到了不同工況下的位置跟蹤曲線及誤差曲線。實驗結果表明，相較于基于傳統飽和函數的GSMC，本控制方案可以有效地削弱輸出抖振，提高PMLSM系統的收斂速度和位置跟蹤精度，使系統具備較強的魯棒性能。