基于能量最優的多約束小衛星碰撞規避控制

洪 濤，王國剛，杜 斌

(1. 中國西安衛星測控中心，陜西 西安 710000；2. 長光衛星技術有限公司， 吉林 長春 130000)

1 引言

隨著時代的發展，空間任務的復雜性越來越高，單憑一顆或者幾顆大衛星已不能滿足某些領域的任務要求，因此采用小衛星星座來完成單星完成不了的任務，小衛星星座包含少則幾十顆多則上百顆衛星，衛星的數量之多，增加了衛星間的碰撞風險系數，碰撞預測和規避控制是防止小衛星碰撞的有效且可行的手段[1-2]。若忽視碰撞安全問題，可能會導致衛星碰撞而造成災難性后果。

由于衛星長期在軌運行空間碎片環境中，以及任何的外部攝入和內部故障都會引發衛星發生碰撞[3]，從而導致任務失敗，所以要對星座構形控制過程中的碰撞預測和碰撞規避進行研究。目前碰撞預測的研究方法非常多，如區域法碰撞預警[4]、差分GPS載波相位碰撞檢測[5]、位置協方差計算碰撞概率[6]、衛星碰撞預報并行算法[7]等，但是規避碰撞措施的研究比較少。文獻[8]提出了基于粒子群優化(PSO)算法的在線軌跡優化算法， 并將其應用于衛星編隊保持控制系統之中， 實現了高精度、低能耗的快速穩定控制，避免了編隊衛星間的碰撞。文獻[9]采用有界概率橢球理論計算碰撞概率，提出一種自主在線碰撞規避方法。針對小衛星星座來說，存在應用約束和攜帶燃料的約束，考慮在原有的構形基礎上進行碰撞規避控制非常有必要。

以上的碰撞規避控制研究中，未考慮實際的工程應用約束，本文考慮了載荷約束、測控資源約束、星座構形約束等，采用數學表征法建立各約束的數學模型，針對帶有約束的軌道動力學模型，設計了一種能量最優的碰撞規避控制算法。結合實際的工程應用需求和現有的地面站資源條件以及在軌衛星的構形約束，采用最優霍曼理論，實現多約束下的能量最優碰撞規避。

2 軌道動力學建模

2.1 軌道建模

兩顆衛星d和g正常在軌飛行，當t時刻，衛星d與衛星g相交于空間某一點，兩顆衛星即發生碰撞。設衛星d當前的位置和速度為r1和v1，衛星g當前的位置和速度為r2和v2，則衛星碰撞圖如圖1所示。

圖1 衛星碰撞示意圖

ρ=r1-r2

(1)

當|ρ|≤ρm時，ρm為兩顆衛星間允許的距離，需要提前將規避星施加某一個方向的推力，使規避星避開目標星，防止兩顆衛星碰撞。假設兩個航天器都受到與距離平方成反比的中心引力作用，且目標航天器不施加主動軌道控制，則有

(2)

其中，aT為規避航天器的推力加速度。

2.2 約束建模

2.2.1 有效載荷約束

遙感衛星的載荷與高度密切相關，當軌道高度越高，載荷的分辨率將會下降，不滿足用戶需求；當軌道高度越低，衛星的軌道衰減越快，使用壽命大大減少。

成像載荷設計的分辨率為fl，分辨率允許偏差值為fp，可運行在軌道高度為H，則衛星軌道允許的高度為

(3)

軌道高度偏差就是載荷對軌道高度的約束，軌道半長軸滿足

H+ae≤Hp+ae

(4)

2.2.2 測控資源約束

首先確定可利用的測控站，盡量選擇在測控弧段內進行軌道規避調整，當可以預測到碰撞位置和時刻后，選擇可利用的測控站進行控制指令發送，執行規避控制。

(5)

碰撞時刻為t，則控制約束為

t-T>TL

(6)

其中，TL為規避控制提前時間，TL>4Tz，Tz為規避星的軌道周期，當最接近TL的測控站資源被占用，調用次接近TL的測控站資源，依次遞推，得出適合的測控站資源。

2.2.3 控制策略約束

遙感小衛星質量輕，攜帶的燃料少，因此采用能量最優規避控制。當跟蹤星進入目標星的安全范圍后，給出跟蹤星控制標志，制定控制策略，將碰撞點作為軌道轉移的遠地點，控制點火時刻選擇在轉移軌道的近地點時刻，選擇合適的測控站上注指令，最優控制量指標為

Δr=az-ag

(7)

其中，az為以碰撞點為轉移軌道的遠地點的軌道半長軸，ag為規避星的軌道半長軸。

2.2.4 星座能力約束

對于商業遙感星座，重訪和覆蓋是客戶最為關心的能力，相位分布情況直接影響重訪能力，因此，相位分布的保持尤為重要，若同一個軌道面上的衛星高度相差較大，幾天時間就會超出允許相位差，因此控后盡量回到原來的高度或百米級的高度差。

假設速度增量為u，衛星角速度為n，則半長軸變化量Δa為

(8)

衛星軌道周期為T，軌道控制后周期為Th，則每天的相位漂移速度為

(9)

(10)

3 碰撞規避控制設計

3.1 控制策略

對于碰撞規避，通過改變相對半長軸來實現星間的安全飛行。假設兩顆衛星，一顆為在軌正常運行的目標衛星，另一顆變軌衛星不斷靠近目標星，采用主動控制策略，假設變軌星從A點到B點的軌跡路徑的任意一點到目標星的距離為r(t)，目標星的安全球半徑為rs，則定義

Δr(t)=r(t)-rs

(11)

其中，Δr(t)為變軌星在路徑上與安全球的距離。其最小值Δr(t)min可以作為用來判斷是否發生碰撞的準則。判斷準則為：

(12)

當Δr(t)min>0時，變軌星與目標星不會發生碰撞的風險；當Δr(t)min=0時，變軌星與目標星存在碰撞的風險；當Δr(t)min<0時，變軌星與目標星會發生碰撞的風險。rs=rs1+rΔ，其中rΔ為預留距離，即準備啟控時間。

3.2 多約束下最優控制策略

設有以地心為中心的圓軌道1和橢圓軌道2，半徑分別為r1和r2，設r2>r1，航天器在軌道1上的K點施加與當地速度vc1同方向的速度增量Δv1，進入橢圓轉移軌道2，橢圓軌道H點為遠地點，具體見圖2。

圖2 軌道轉移過程圖

根據軌道的能量公式可知，軌道1的機械能為

(13)

由軌道1到軌道2需要增加軌道能量，假設在K點的速度增量Δv1不是沿著vc1的方向，而是與vc1存在夾角θ，如圖3所示。

圖3 速度增量施加方向的影響

則在K點的機械能的變化為

(14)

由上式可知，要想增加機械能ΔE，當θ=0時，Δv1最小，相當于最省能量。此時所有的能量都用來增加軌道的動能，不存在僅改變速度方向的分量Δv12。由此可定性的理解霍曼轉移的最優性。

θ=0意味著K點和H點為轉移軌道的近地點和遠地點，將兩顆衛星的碰撞點選擇在L點，點火點選擇在近地點K點，這樣一來，兩顆即將碰撞的衛星在遠地點L處的距離最大。假設兩顆衛星間的安全距離為r2-r1，在軌道面內調整軌道來規避衛星間的碰撞，在加入機械能ΔE時，兩顆衛星在H點處達到最大距離。

橢圓轉移軌道的半長軸ra=(r1+r2)/2，因此軌道的能量為

(15)

在K點，航天器由初始軌道進入轉移軌道，需要的能量增量為

(16)

在K點處，機械能的改變都是動能的改變，因此有

(17)

記nT=r2/r1，由式(1)和(2)可得

(18)

因此，霍曼轉移的特征速度為

(19)

霍曼轉移的時間為橢圓軌道周期的一半，即

(20)

霍曼轉移是共面圓軌道間、時間自由的沖量全局最優轉移。實際控制中，將遠地點作為碰撞位置，在近地點進行點火，即燃料最省，也可以有效地規避碰撞。

4 算例分析

4.1 仿真輸入

1)選擇二體遞推模型進行遞推；

2)軌道初始值和控制策略參數如表1和表2；

表1 衛星初始軌道參數

表2 控制策略參數

3)最小安全距離設置為300m，小于300m時即發出預警，并進行碰撞規避。

根據有效載荷，星座構性約束、測控資源約束等數學模型，可知，

當有效載荷分辨率為1m(@500km)，允許分辨率上限為1.002m，則允許調整的軌道高度不高于501km；

當規避星軌道有兩顆衛星，以180°等相位分布，允許相位偏置7°，當調整50m時，相位差飄出0.059°/天，則118天飄出應用需求允許范圍，因此允許調整的軌道高度范圍±50m以內，要求比較苛刻，因此，第一次在轉移軌道近地點處，衛星飛行方向施加速度增量，第二次仍在近地點處，衛星飛行反方向施加相同的速度增量，使規避衛星回到原來軌道；

可用的測控站位長春站、三亞站和喀什站，啟控時刻盡量選擇在可利用的較近的測控弧段內，可選擇境外啟控。

4.2 數值仿真

采用Mmatlab進行數值仿真，仿真時間24小時，設置目標星安全距離為300m，兩顆衛星2018.7.11 03：59：45開始發生碰撞，則燃料最優規避控制策略仿真如下。

選擇有效載荷約束，星座構性約束、考慮測控資源約束，進行燃料最優規避控制。假設載荷允許衛星軌道的最大高度調整范圍為200m以內；星座構形約束衛星軌道最大高度調整范圍50m以內；選擇合適的測控站為長春站，上注延時控制指令，選擇轉移軌道的近地點時刻為點火時刻，點火方向和控制量見圖4所示。

圖4 燃料最優控制

從圖4可知，規避星在轉移軌道的近地點處沿著飛行方向進行點火控制，轉換到慣性系下的三軸的速度增量為X軸：0.0002m/s2，Y軸：0.0001m/s2，Z軸：0.0018m/s2。將碰撞點選擇為遠地點，在載荷約束的情況下，則在碰撞點處兩顆星的距離最大達到300m，超出了碰撞距離，控制前后的半長軸差在轉移軌道的遠地點處為200m，誤差在2m以內，慣性系下的衛星軌道如圖5-7所示。

圖5 慣性系下衛星軌道

圖6 規避星控前控后軌道半長軸

圖7 第二次軌道半長軸控制量

由圖5-7可知，當兩顆衛星距離小于300m時，衛星將要碰撞，至少提前2.5個軌道周期在長春站內上注指令，在近地點處開始進行軌道碰撞控制，在遠地點時兩顆星的距離達到200m，再回到近地點時第兩次點火，半長軸控制量不超過100.8m，第二次控后的軌道半長軸為6913.527km，控前軌道半長軸為6913.487km，控制前和控制后軌道半長軸差為40m，在星座構形約束范圍內，滿足控制約束要求，兩顆衛星碰撞規避如圖8所示。

圖8 碰撞規避圖

圖9 碰撞規避局部放大圖

從圖8和9可知，當2018.7.11 03：59：45時，兩顆衛星的距離小于300m，碰撞規避控制后的兩顆衛星最小距離為2300m，在星座構形約束和載荷約束的條件下，完成規避控制，半長軸變化40m，因此以最優燃料控制規避了兩星碰撞。

仿真效果可知，在存在約束和不存在約束的情況下，采用設計的自主碰撞規避算法很好的實現了衛星的自主碰撞規避，證明了最優碰撞規避算法的有效可行。

5 結論

本文設計了一種多約束下的能量最優的碰撞規避控制解決了小衛星間近距離碰撞問題。

1)采用軌道力學和數學表征法建立了慣性系下的小衛星軌道動力學模型和約束模型；

2)根據帶有約束的動力學模型，制定了碰撞規避策略；

3)通過數值分析了給出最優的控制方向和控制時刻，采用霍曼變軌理論給出了最優條件下的速度增量，實現了衛星間的碰撞規避。

最后通過數學仿真給出有約束的碰撞規避軌跡，證明了設計的控制算法的有效性和可行性。