車身響應面模型參數的拉丁超立方采樣仿真

張忠元，矯承軒，桑 濤，張起勛

(1. 吉林大學汽車工程學院，吉林 長春 130025；2. 吉林大學機械與航空航天工程學院，吉林 長春 130025)

1 引言

車輛原材料參數對汽車駕駛的穩定性和安全性具有較大影響，當車輛的參數發生異常變化時，會導致轉向沉重、輪胎過度磨損以及很難保持直線行駛等問題，導致車輛性能下降，因此如何提高車輛質量和性能，是現階段研究的重點問題。

文獻[1]提出一種基于響應面模型的連桿輕量化研究方法，以液壓滾切剪的連桿機構為研究對象，利用超拉丁試驗設計選擇合適的設計變量，結合結構有限元分析，在保證剛度、強度的前提下，以連桿的整體質量為目標函數，建立多項式響應面模型，然后利用遺傳算法對所建立的模型進行優化求解，得出最佳的參數組合。實驗結果表明，采用該方法優化后的零件在重量上比原結構減輕了25.41%，但是該方法的耗時較長；文獻[2]提出一種基于響應面方法的軸承多應力加速模型建模與驗證方法，分析真空、溫度、預緊力、轉速、微重力環境下，液體潤滑軸承的界面微觀失效模式及機理，推導和建立考慮上述多應力綜合作用機理的微觀接觸統一潤滑模型，基于改進牛頓-拉夫遜法的數值解算方法，設計5因素5水平的正交仿真方案，開展真空、溫度、預緊力、轉速、微重力的失效規律仿真與分析，獲得微觀接觸界面膜厚、壓力峰值、摩擦系數、最大下表面應力隨應力水平及接觸區尺寸變化的失效響應值，建立基于響應面方法的多應力加速模型，并對其進行試驗驗證及工程應用。該方法有助于提高車身質量，但在設計中蘊含的參數較多，只能處理小規模采樣，無法處理大規模采樣，所得樣品的精度較低。

針對上述方法中存在的不足，本文提出運用二階響應面近似模型進一步闡述參數變化與設計變量之間的關系，利用超立方采樣方法，在較大的設計空間內進行合理劃分并準確采樣，采樣的次數較低，并且充分保證了大量設計參數的均衡性與精確度，很大程度上提高了模型精度。

2 車身響應面模型參數分析

2.1 車身質量評價指標確定

車身比較容易造成的質量缺陷主要是破裂缺陷，這是在受到較大沖擊或拉伸時發生的狀況。通常在出現缺陷時，會增加大量的經濟和時間成本，因此運用參數優化對其質量進行有效改善[4]。

在生產過程中所輸入的參數含有較大的隨機性。針對不同生產批次的原材料，其屬性會在一定范圍內產生波動，摩擦條件隨著模具的摩損而產生變化，設備設置也隨著環境的變化而發生改變。此時所輸入參數波動會造成板料成形過程的不穩定，從而導致出現較高的廢品率T。

(1)

在式(1)中，t0為車身的原始厚度，tf為車身受到撞擊后的厚度。

當料板在拉延成形時的減薄率越大，那么拉裂的程度就更加顯著。故通過減薄率可以較為直觀的對料板的破裂程度進行綜合評價，且預測的準確性較高[5]。根據產品的不同特性，所要求的最大減薄率合格的標準不同，根據目標對象的實際要求而言，最大減薄率不高于30%，那么此產品便是合格的。

增厚率H的表達式為

(2)

其中，hf所描述的是拉延結束后的料板的厚度，h0所描述的是料板的原始厚度。

增厚率被作為衡量料板的起皺程度。當最大增厚率越大，那么料板在拉延成形過程中的起皺變得尤為顯著。在實際生產中的最大增厚率不高于5%，那么此產品便是合格的。

2.2 響應面模型建立

響應面方法又可以當作是建立一種近似模型，需要對設定設計空間進行試驗操作，擬合輸出變量的整體逼近來代替真實的響應面[6]。合理運用響應面方法建立近似模型時，需要確定近似函數形式，并根據統計實驗設計方法在設計空間中選擇合適并且充足的設計點，然后利用最小二乘法原理獲得近似模型來擬合設計點的分析結果。近似模型的操作流程如圖1所示。

圖1 近似模型的構建流程

響應面法能夠對多個變量進行建模和有效分析。根據對整個過程的回歸擬合和響應曲面等繪制，可以更加便捷的獲取到與其相對應的各個因素水平的響應值。在此基礎上，能夠尋找出預測的響應最優值以及相對應的實驗條件。呈現出響應面與多個變量之間存在關系。在車身響應Y和變量x兩者間滿足函數相關性，其表達式為

Y=y(x)+ε

(3)

(4)

式中，φi(x)作為響應面的基函數，a0為初始系數，ai為基函數的系數，N為基函數的個數。

依據式(4)獲得一階和二階響應面近似模型的公式如下

(5)

(6)

獲取與M>(M1.5N)個樣品點所對應的響應量y=(y(1)，y(2)，…，y(M))T之后，運用最小二乘法運算獲得基函數系數列陣，其表達式為

a=(ΦTΦ)-1(ΦTy)

(7)

式(8)中，Φ所描述的是響應面樣品點矢量，根據二階多項式響應面獲得，其表達式為

(8)

根據設計空間層面的設計樣品點，進一步確認矩陣Φ與相對應的響應矢量y，然后將其引入到式(7)中，就能夠運算出響應面近似模型的系數列陣a，從而獲得響應面的準確表達式。

設計樣品點的適當選取被作為響應面近似模型構建精度的主要因素之一[7]。針對設計變量較多的現象，在大型空間中怎樣進行準確采樣，需要運用拉丁超立方方法進行合理設計，按照等概率隨機正交分布的原則，能夠通過較少的試驗點從而獲得較高精度的響應面近似方程。

構建的響應面模型是否能夠反映優化目標和設計變量兩者間的統計規律，需根據確定性系數進一步實施檢測。其表達式為

(9)

其中，SSTotal和SSModel分別表示為

(10)

(11)

3 拉丁超立方采樣方法

拉丁超立方采樣作為一種極其特殊的多維分層采樣方法，被大范圍的應用于現實工程中。在此方法中，采樣點的分布具有均勻性，可以很快速地達到收斂的效果。

拉丁超立方采樣在各個設定好的集合內只能隨機采取一個樣品點，在很大程度上避免了樣品點坍塌的現象[9，10]。若采樣目標是N維，那么采樣的次數將是M次。因此采用的過程能夠代表為在N維向量空間內采取了M個樣品，設定各個維上實施的均是0-1的平均采樣。將N×M的矩陣A保存期間過程，N×M的矩陣B保存最終的樣品點坐標。拉丁超立方采樣具體過程如下所示：

把各個維都平均分為M個同等集合，各個集合之間的長度是1/M。之后將一個子集(0-1/M)內可重復的隨機采取N個值P11，P21，…PN1，重新構成一個新的集合(P11，P21，…PN1)，將其代表為矩陣A的第一列[11]。與其相同，可以在第二個集合內獲得(P12，P22，…PN2)，將其代表為A的第二列。諸如此類，直到矩陣A的各個列全部被填滿。如式(13)所示

(12)

之后把矩陣A內各個行的順序進行更改，從而獲得矩陣B，其表達式為

(13)

在式(13)中，x，y，z，o，p，q，r，s，t=1，2，…，M。將矩陣B的各個向量作為單獨的樣品點，矩陣B代表最后采樣的M個樣品點。

為了能夠全方面的進行評估設置目標函數G(L)，采樣結果的表達式為

(14)

當G(L)的數值越小，那么采樣所得結果的性能就越優質?？傻贸鯣(L)的表達式為

(15)

拉丁超立方采樣流程如圖2所示。

圖2 拉丁超立方采樣流程

設置一個生成函數h(x)，其平均值為E(h(x))的無偏差估計表達式如下

(16)

無偏差估計的方差值表達式即

D()=D(h(x))/N

(17)

可以獲得拉丁超立方的無偏差估計方差，表達式即

D()=D(h(x))/N+(N-1)cov(h(x1n))，(h(x2n))/N

(18)

式中，(N-1)cov(h(x1n))，(h(x2n))/N的概率接近負值，采用拉丁超立方采樣方法更加便于收斂[12]。

拉丁超立方采樣方法具有有效的空間填充力，擬合非線性能力強。為了能夠使拉丁超立方更具有均衡性，使因子與響應面的擬合程度更加精確，設計了采樣圖如圖3所示。

圖3 拉丁超立方二維變量采樣圖

4 仿真分析

為了驗證車身響應面模型參數的拉丁超立方采樣的綜合有效性，需要進行仿真。實驗環境為：Windows 7(64位)操作系統，CPU頻率為1.90 GHz，內存為16.0 GB，在Matalb平臺上進行仿真處理。實驗指標為相關系數誤差、運算時間和減薄率，其中相關系數誤差可以直接方法的精度，其數值越低方法的準確性越高；運算時間可以反映該方法的效率，其數值越低表示方法的性能越好；減薄率可以進一步反映方法的性能，其數值越高表示方法的有效性越好。以本文提出的方法為實驗組，以文獻[2]方法為對照組。

4.1 相關系數誤差對比實驗

將本文所提方法比文獻[2]方法的相關性控制效果進行比較分析，運用樣品相關系數和目標相關系數兩者之間差值的均方根EC作為評價指標，其表達式如下

(19)

圖4 相關系數誤差對比圖

由圖4可知，當樣品數量不斷增大時，隨機產生的樣品矩陣相關性也不斷變化。文獻[2]方法所得的相關系數波動性較大，相關系數值在0.10-0.18范圍內，而利用本文所提方法得出的相關系數波動范圍很小，且隨著樣本數的增加，相關值始終在0.48以下。相關系數誤差數值越低，表示方法的準確度越高，通過以上數據可以證明，本文方法的精度更高，能夠用樣本值精確反映出變量之間的相關性。這是因為本文方法通過確定性系數來反映模型的優化目標和設計變量之間的規律，能夠提高其精度。

4.2 運算時間對比實驗

為了檢驗本文所提方法的有效性，將兩種方法的運算時間進行比較，表1作為兩種采樣方法下所耗費的時間。

表1 相關性控制方法運算時間對比

從表1中可以看出，在運算過程中文獻[2]控制方法的運算時間在0.70-3.44s之間，而本文所提方法比文獻[2]方法更加節省時間，其運算時間在0.67-3.36之間，平均運算速度均提高0.03秒以上，證明本文方法收斂速度更快，效率更高。這是因為本文方法采用拉丁超立方采樣法，能夠合理劃分設計空間內的樣品點，并獲得目標函數的最小值，從而降低方法的運算時間。

4.3 減薄率對比實驗

為了進一步檢測本文所提方法的綜合性能，對兩種方法的減薄率進行測試，實驗結果如下。

通過圖5可知，不同實驗次數下，文獻[2]控制方法的減薄率在34%-63%之間，而本文所提方法的減薄率在80%-92%之間，始終明顯高于傳統方法。減薄率越高拉裂程度越明顯，方法的性能越好，通過以上數據能夠證明本文方法的有效性更好。這是因為本文方法通過優化參數，實現對車身質量的綜合評價，從而得到參數的最大減薄率。

圖5 減薄率對比圖

5 結論

綜合考慮汽車車身極其容易受到外界因素影響，造成車身出現磨損、破裂、劃痕等損害?；诖藢嚿眄憫娌淮_定性參數進一步實施研究。首先設計近似模型，然后運用拉丁超立方采樣方法，在設計空間內進行合理劃分，能夠提高模型的精度，從而保證產品的質量。仿真結果表明：本文所提方法相比其它方法在檢驗時準確性更高，運算時間更短，具有顯著優越性、適用性以及高效性。