改進(jìn)的引力搜索算法及在波束賦形中的應(yīng)用

孫翠珍

(西安科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710054)

1 引言

陣列天線波束賦形屬于陣列綜合問題，是通過確定陣列天線的激勵(lì)幅度、相位，陣元個(gè)數(shù)等參數(shù)，使輻射方向圖盡可能接近要求的天線陣輻射特性的過程。陣列賦形可以很大程度地簡(jiǎn)化天線設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，并且降低設(shè)計(jì)成本，因此成為天線設(shè)計(jì)過程中的熱點(diǎn)研究問題[1]。波束賦形大多數(shù)都具有非線性、不可微、多參數(shù)的特點(diǎn)，利用解析方法及數(shù)值優(yōu)化方法很難得到期望的輻射方向圖。啟發(fā)式算法由于具有魯棒性強(qiáng)、適應(yīng)范圍廣、計(jì)算能力強(qiáng)且對(duì)優(yōu)化目標(biāo)沒有過多約束等特點(diǎn)，因此成為波束賦形領(lǐng)域的有效計(jì)算工具。該類算法中的傳統(tǒng)算法如遺傳算法(Genetic algorithm，GA)[2]、粒子群優(yōu)化(Particle swarm optimization，PSO)[3]已被用于陣列賦形問題中并取得了滿足設(shè)計(jì)要求的結(jié)果。2009年，Esmat Reshedi等人提出了引力搜索算法(Gravitational search algorithm， GSA)[4，5]，該算法作為一種啟發(fā)式算法，具有高效的優(yōu)化性能，已經(jīng)在天線設(shè)計(jì)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[6-9]，但是對(duì)于復(fù)雜的陣列賦形問題，該算法在優(yōu)化過程中的優(yōu)化精度低且收斂速度慢。

論文中提出了一種改進(jìn)算法：偽反向?qū)W習(xí)引力搜索算法(Quasi-oppositional gravitational search algorithm， QOGSA)。首先，為提高GSA的收斂速度，設(shè)計(jì)了一種新的反向概率probq，它隨著迭代次數(shù)的變化而變化，將其用于偽反向?qū)W習(xí)機(jī)制(Quasi opposition-based learning， QOBL)[10]中，替換掉QOBL中的固定反向概率，優(yōu)化了QOBL用于GSA中的時(shí)機(jī)；其次，為提高算法的優(yōu)化精度，定義了“精英粒子”，并用其替換掉下一代種群中適應(yīng)度值較差的粒子，改善了種群的多樣性。將基于可調(diào)反向概率probq的QOBL以及精英粒子嵌入GSA中，提出了QOGSA，基于不同的仿真實(shí)例表明，QOGSA在優(yōu)化精度、收斂速度方面均優(yōu)于GSA算法，更適合于解決復(fù)雜的陣列天線波束賦形問題。

2 引力搜索算法及方向圖

2.1 引力搜索算法實(shí)現(xiàn)過程

引力搜索算法是一種基于萬有引力定律搜索機(jī)制的智能優(yōu)化算法，種群中粒子的位置對(duì)應(yīng)于問題的解[5]。粒子的質(zhì)量大小與適應(yīng)度值成正相關(guān)，粒子所在位置越優(yōu)，其質(zhì)量越大。根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律，粒子之間相互吸引且都向質(zhì)量最大的粒子靠近，即所有解都逐漸向最優(yōu)解靠近。經(jīng)過一定次數(shù)的迭代，所有的粒子將會(huì)聚集在最優(yōu)個(gè)體周圍。種群中最大質(zhì)量的粒子所在位置即為問題的最優(yōu)解。

步驟1：初始化群體中各粒子的位置、速度；

(1)

(2)

步驟2：計(jì)算種群中粒子的適應(yīng)度值和質(zhì)量；

(3)

(4)

其中fiti(t)表示第t次迭代時(shí)粒子i的適應(yīng)度值；best(t)和worst(t)表示第t次迭代時(shí)種群的最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值；Mi(t)為第t次迭代時(shí)粒子i的質(zhì)量。

步驟3：計(jì)算每個(gè)粒子在各個(gè)維度受到引力的合力；

(5)

(6)

(7)

步驟4：計(jì)算粒子的加速度和速度；

(8)

(9)

步驟5：更新粒子所在位置；

(10)

步驟6：如果滿足終止條件，則輸出最優(yōu)粒子位置，并終止算法；否則轉(zhuǎn)向步驟2。

2.2 方向圖及適應(yīng)度函數(shù)

N元等間距線陣的歸一化方向性函數(shù)如下

(11)

其中In是陣元n的復(fù)激勵(lì)(激勵(lì)幅度和相位)；Fmax是方向性函數(shù)最大值，θ為陣列軸線與射線方向之間的夾角，N為陣元數(shù)目，k為波數(shù)，d為陣元間距。

陣列天線中，適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)置和方向圖的誤差相關(guān)，而優(yōu)化過程中要綜合考慮方向圖的主瓣和旁瓣誤差，同時(shí)為了避免誤差出現(xiàn)0值影響后續(xù)計(jì)算，論文中把最小值問題轉(zhuǎn)化為最大值問題進(jìn)行處理。適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置如下

f=100/(1+α·ffit1+β·ffit2+γ·ffit3)

(12)

其中ffit1=(FNBW-FNBWde)2，F(xiàn)NBW，F(xiàn)NBWde是實(shí)際方向圖的零功率主瓣寬度和期望方向圖的相應(yīng)值；ffit2=(MSL-MSLde)2，ffit3=(MML-MMLde)2。MSL，MSLde是最大旁瓣電平及其期望值；MML，MMLde代表了主瓣最大抖動(dòng)及其期望值。α，β，γ為權(quán)值系數(shù)。

3 偽反向?qū)W習(xí)引力搜索算法實(shí)現(xiàn)過程

3.1 概率可調(diào)的偽反向?qū)W習(xí)機(jī)制

論文中對(duì)QOBL[10]中的固定反向概率進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)計(jì)了一種可調(diào)反向概率probq。

在QOBL實(shí)現(xiàn)過程中，計(jì)算每次反向操作后，反向操作值優(yōu)于原始值的個(gè)體數(shù)量Ns及其概率Ps，將迭代次數(shù)按照反向?qū)W習(xí)周期劃分，經(jīng)過一個(gè)反向周期PNmax次迭代后，統(tǒng)計(jì)Ps的平均值Psav，最大值Psmax及最小值Psmin。Pst代表第t次迭代后的Ps。

(13)

根據(jù)Ps的變化趨勢(shì)動(dòng)態(tài)調(diào)整probq的大小

probq=probq*ZF

(14)

當(dāng)

(15)

否則

(16)

其中，μ是控制因子，PNmax是反向周期，在利用算法進(jìn)行優(yōu)化的過程中，這兩個(gè)參數(shù)的取值要兼顧收斂速度和計(jì)算精度，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，論文中μ設(shè)置為4，PNmax取為5。

當(dāng)反向操作可以產(chǎn)生更多的優(yōu)秀個(gè)體時(shí)，說明此時(shí)的種群需要更多的反向操作，按照調(diào)整過的probq就可以在后續(xù)迭代過程中增加反向操作的機(jī)會(huì)；反之亦然。這樣可以根據(jù)實(shí)際需求，來自適應(yīng)調(diào)整反向操作的次數(shù)，優(yōu)化反向時(shí)機(jī)，從而提高全局收斂速度。

3.2 精英粒子

(17)

(18)

滿足上面兩個(gè)表達(dá)式的粒子為精英粒子。精英粒子雖然與最優(yōu)粒子的距離較大，在迭代過程中很可能被淘汰，但是由于其適應(yīng)度值好于平均值，周圍存在最優(yōu)解的概率較大，若用其替換掉下一代種群中的較差個(gè)體，可以提高種群的多樣性，從而提高算法的優(yōu)化精度。

3.3 偽反向?qū)W習(xí)引力搜索算法實(shí)現(xiàn)步驟

將基于可調(diào)概率的QOBL和精英粒子嵌入GSA，形成了QOGSA，其實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1：初始化種群P0，粒子個(gè)數(shù)為Np個(gè)；

步驟2：利用QOBL產(chǎn)生P0的偽反向?qū)W習(xí)種群QOP0；

步驟3：重新產(chǎn)生種群；根據(jù)式(12)計(jì)算P0、QOP0中粒子的適應(yīng)度值，從中挑選Np個(gè)最優(yōu)個(gè)體作為初始種群P0；

步驟4：probq的計(jì)算；每隔PNmax次迭代，計(jì)算Ps，Psmax，Psmin，根據(jù)式(13)計(jì)算Psav，根據(jù)式(15)(16)判斷計(jì)算ZF，式(14)計(jì)算可調(diào)概率probq；

步驟5：精英粒子的選擇；根據(jù)式 (17)-(18) 計(jì)算精英粒子。并用最優(yōu)粒子及精英粒子替換下一次迭代時(shí)適應(yīng)度值最差及次差的粒子；

步驟6：GSA中各變量的計(jì)算；根據(jù)式(3)-式(10)計(jì)算相應(yīng)值；

步驟7：迭代過程中進(jìn)行QOBL；判斷probq，若其在規(guī)定的范圍內(nèi)(小于0.3)[10]，對(duì)當(dāng)前種群進(jìn)行QOBL操作，并進(jìn)行步驟3；

步驟 8：判斷是否終止；若滿足終止條件，停止迭代；否則重復(fù)步驟2-步驟7。

4 算法的驗(yàn)證及結(jié)果分析

利用QOGSA實(shí)現(xiàn)多個(gè)目標(biāo)的波束賦形，并且和GSA進(jìn)行對(duì)比，為客觀準(zhǔn)確地比較算法的性能，GSA和QOGSA的參數(shù)取值均參照文獻(xiàn)4，包括種群個(gè)數(shù)取50，G0=100，α=20。

4.1 階梯包絡(luò)波束賦形

設(shè)計(jì)一個(gè)26元階梯包絡(luò)陣列，其方向圖的具體要求為：主瓣寬度10°，式(12)中，旁瓣區(qū)域θ∈[-40°，-5°]∪[5°，40°]對(duì)應(yīng)的MSLde=-30dB，θ∈[-90°，-40°]∪[40°，90°]的MSLde=-40dB；d=λ/2，α=0.45，β=0.55，γ=0。對(duì)陣元激勵(lì)進(jìn)行優(yōu)化，GSA[4]和QOGSA的迭代次數(shù)相同，均為1000次。

圖1是兩種算法綜合得到的方向圖曲線，QOGSA的方向圖兩個(gè)旁瓣區(qū)域的電平均低于GSA；圖2是適應(yīng)度值曲線(收斂曲線)對(duì)比，當(dāng)?shù)螖?shù)超過300次時(shí)，QOGSA和GSA的適應(yīng)度值趨于穩(wěn)定，且前者的穩(wěn)定值要高于后者，說明經(jīng)過1000次迭代，QOGSA得到的方向圖更接近期望方向圖，優(yōu)化精度更高。當(dāng)適應(yīng)度值相同，即主瓣和旁瓣的誤差和相同時(shí)，QOGSA需要的迭代次數(shù)略少，說明該算法收斂速度略快于GSA。表1是兩種算法具體的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比，在主瓣展寬程度相同的情況下，論文中提出的 QOGSA算法優(yōu)化得到的峰值旁瓣電平分別為-30.5126dB和-40.5669dB，與GSA算法相比(-29.5991dB和-39.6370dB)，分別降低了0.9135dB和0.9299dB。綜上，QOGSA在收斂速度略快于GSA的基礎(chǔ)上，優(yōu)化精度得到了大幅度提高，進(jìn)一步驗(yàn)證了QOGSA的優(yōu)化性能。

表1 基于GSA算法和QOGSA算法的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖1 兩種算法優(yōu)化的方向圖比較

圖2 兩種算法的收斂曲線比較

4.2 余割平方波束賦形

設(shè)計(jì)一個(gè)20元直線陣列，要求其主瓣為余割平方包絡(luò)，方向圖的具體要求為：零功率主瓣介于[85°，130°]之間，式(12)中，主瓣抖動(dòng)MMLde在±0.5dB之間， MSLde=-20dB，d=λ/2，誤差系數(shù)α=0.4，β=0.2，γ=0.4。本節(jié)除了將QOGSA和GSA[4]進(jìn)行比較，還和文獻(xiàn)中的GA[2]、PSO[3]算法的性能進(jìn)行了比較，4種算法迭代次數(shù)均為1000次。

仿真得到的方向圖曲線如圖3，QOGSA優(yōu)化得到的方向圖無論是主瓣還是旁瓣均為最優(yōu)，GSA算法次之；圖4是在相同迭代次數(shù)的條件下，4種算法的適應(yīng)度函數(shù)曲線(收斂曲線)對(duì)比，QOGSA和GSA經(jīng)過相同迭代次數(shù)，可以得到比GA和PSO更好的適應(yīng)度值，QOGSA的優(yōu)化精度在4種算法中最佳。迭代超過400次時(shí)，QOGSA的優(yōu)勢(shì)更明顯，此時(shí)其收斂速度快于GSA，并且當(dāng)適應(yīng)度值要求超過90時(shí)，GA和PSO增加迭代次數(shù)，其適應(yīng)度值也不能滿足要求，說明QOGSA和GSA可以改善GA和PSO算法局部最優(yōu)的問題。表2是4種算法的設(shè)計(jì)指標(biāo)及具體優(yōu)化結(jié)果對(duì)比，可以看出，GSA和QOGSA綜合得到的峰值旁瓣電平(-19.7236 dB和-20.7584dB)明顯要低于GA和PSO算法(-18.7719 dB和-18.2530 dB)； QOGSA在主瓣抖動(dòng)最小(0.7398dB)的情況下，其旁瓣區(qū)的峰值電平最低(-20.7584 dB)，且零功率主瓣展寬遠(yuǎn)小于其它3種算法(1.8°)。QOGSA以快于GSA，GA，PSO三種算法的收斂速度得到了最優(yōu)解。

圖3 四種算法優(yōu)化的方向圖比較

圖4 四種算法優(yōu)化的收斂曲線比較

表2 四種算法優(yōu)化余割波束的結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

為了解決GSA用于復(fù)雜的波束賦形時(shí)優(yōu)化效果不理想的問題，提出了一種改進(jìn)算法：基于概率可調(diào)偽反向?qū)W習(xí)機(jī)制的引力搜索算法(QOGSA)。首先針對(duì)QOBL中反向概率固定帶來的反向時(shí)機(jī)判斷不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種隨迭代次數(shù)變化而動(dòng)態(tài)調(diào)整的概率probq，將其用于QOBL和GSA中，可以調(diào)節(jié)種群全局探索能力和局部開采能力的平衡，提高算法的收斂速度；其次為提高種群的多樣性，定義了精英粒子，在GSA迭代過程中保留該類粒子，并用其替換下次迭代時(shí)的次差粒子，從而大大改善了算法的優(yōu)化精度。通過對(duì)階梯包絡(luò)波束、余割平方波束的優(yōu)化結(jié)果可以看出，和同類算法GSA、GA、PSO相比，在迭代次數(shù)以及算法控制參數(shù)相同的條件下，QOGSA在收斂速度得到提高的基礎(chǔ)上，主瓣展寬小，旁瓣電平低，主瓣抖動(dòng)小，更適合應(yīng)用于復(fù)雜的陣列波束賦形問題。