復(fù)數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的修正延時投影同步

張 昊

(太原理工大學(xué)信息與計算機學(xué)院，山西 晉中 030600)

1 引言

近些年來，高維混沌系統(tǒng)，特別是高維復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)，由于其在物理，化學(xué)，工程力學(xué)領(lǐng)域的潛在應(yīng)用，吸引了越來越多研究者的興趣[1-3]。其中一種廣泛被接受的研究方法就是用動力系統(tǒng)表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的各個節(jié)點，然后通過設(shè)計有效的控制器，同步整個網(wǎng)絡(luò)到固定軌道。如今，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)許多種同步現(xiàn)象，比如說完全同步[4-6]，相同步[7，8]，延遲同步[9]，投影同步[10]，廣義同步[11-14]等。而在許多實際情形中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步往往存在一定時間的延遲，因而對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)延時同步的研究顯得非常重要。近幾年來，人們對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)延時同步的研究取得了大量成果，如Zuo等設(shè)計了帶有時變延遲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步框架[15]。Guo等在不假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是可約和對稱的前提下，用牽制控制的方法研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的延時同步問題[16]。Ji等研究了帶延時耦合的動力網(wǎng)絡(luò)中的延時同步問題[17]， Tang等人研究了兩個復(fù)雜動力網(wǎng)絡(luò)的混沌延時同步[18]， Wang等人研究了多權(quán)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的廣義延時同步[19]， Zhang等人采用牽制控制研究了分數(shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外部延時同步[20]等。

此外，研究者們在考慮延時的同時，不僅研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的完全同步，還研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的其它同步現(xiàn)象。由于完全同步和反同步可以看做是特殊的投影同步，因而在考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題時，研究者常常將系統(tǒng)的延時與同步的投影結(jié)合在一起考慮。Zhang等用脈沖同步的方法研究了一般網(wǎng)絡(luò)的延遲同步和投影同步[21]。Wu等研究了局部結(jié)構(gòu)不完全相同的網(wǎng)絡(luò)的投影延時同步問題[22]。Zheng等人研究了神經(jīng)型時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影延時同步問題[23]。

稍顯不足的是，以上研究均是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的，而當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量取值為復(fù)數(shù)時可用來描述復(fù)數(shù)電流，磁盤發(fā)動機，高能加速器中的粒子束流等的性質(zhì)。Mahmoud等研究了不同種類的復(fù)數(shù)混沌系統(tǒng)的行為和同步問題[24-26]，作者基于復(fù)數(shù)系統(tǒng)，研究了復(fù)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的滑膜控制同步問題[27]。然而現(xiàn)有的關(guān)于復(fù)數(shù)同步的研究并沒有應(yīng)用于具有小世界性和無標(biāo)度性的大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將復(fù)數(shù)變量引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，研究了大規(guī)模復(fù)數(shù)網(wǎng)絡(luò)的延遲投影同步問題，值得注意的是，對于投影同步而言，并不是簡單的將系統(tǒng)變量放在復(fù)數(shù)域內(nèi)進行研究，而是將修正投影的比例因子也取值為復(fù)數(shù)，這樣無論是變量還是參數(shù)均具有了復(fù)數(shù)性質(zhì)，網(wǎng)絡(luò)的同步行為更加復(fù)雜。

2 網(wǎng)絡(luò)模型和理論介紹

由N個節(jié)點組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型可描述為

(1)

將F(·)的線性部分和非線性部分分離，可以得到

(2)

其中Ai，i=1，2，…，N是線性部分的雅克比矩陣，f(·)為剩余非線性部分，繼續(xù)分離實部和虛部，得到

(3)

其中fs表示f的實部，fm表示f的虛部，設(shè)參考節(jié)點為

(4)

其中B是參考節(jié)點線性部分的雅克比矩陣，hs表示h的實部，hm表示h的虛部。

定義1：

當(dāng)存在正的時間延遲τ和復(fù)數(shù)比例因子pu=pus+pumj(pus和pum不同時為零)，u=1，2，…，n使得

i=1，2，…，N，u=1，2，…，n，

時，稱復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(3)達到了關(guān)于參考節(jié)點(4)的延時修正復(fù)數(shù)投影同步，pus和pum分別表示節(jié)點內(nèi)部第u個變量對應(yīng)投影比例因子的實部和虛部。

引理1[28](Barbalat’s lemma)

3 延時復(fù)數(shù)修正投影同步設(shè)計

為了使得復(fù)數(shù)網(wǎng)絡(luò)與參考系統(tǒng)達到同步，對網(wǎng)絡(luò)施加外部控制，令控制器為μi=μis+μimj，μis表示μi的實部，μim表示μi的虛部則有

(5)

根據(jù)延時修正投影同步的定義，代入復(fù)數(shù)狀態(tài)變量和復(fù)數(shù)投影比例因子，可以得到狀態(tài)變量關(guān)于復(fù)數(shù)投影的誤差為

(6)

其中

eis(t)=[ei1s(t)，ei2s(t)，…，eins(t)]Τ

eim(t)=[ei1m(t)，ei2m(t)，…，einm(t)]Τ

結(jié)合以上誤差，由網(wǎng)絡(luò)(3)和參考系統(tǒng)(4)，可得對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的同步誤差系統(tǒng)為

(7)

為了讓投影誤差(6)趨于零，需要設(shè)計相應(yīng)的控制器使得誤差系統(tǒng)(7)穩(wěn)定，從而可設(shè)計同步控制器為

(8)

其中δs>0和δm>0。

當(dāng)考慮復(fù)數(shù)系統(tǒng)時，必須將實數(shù)部分與虛數(shù)部分分開研究，而當(dāng)研究其穩(wěn)定性時，可以將實部與虛部統(tǒng)一考慮，則有以下定理成立。

定理1：當(dāng)

證明：

對于復(fù)數(shù)系統(tǒng)，可設(shè)定復(fù)數(shù)李雅普諾夫函數(shù)如下

(9)

將控制器代入誤差系統(tǒng)，并對該李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)可以得到

其中

es(t)=(e1s(t)，e2s(t)，…，eNs(t))Τ

em(t)=(e1m(t)，e2m(t)，…，eNm(t))Τ

評述：

當(dāng)對網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點采用以上方法進行牽制控制時，可以看做是

Δs=(δ1s，δ2s，…，δps，0，…，0)Τ

p，q是正的整數(shù)且1

推論：

對于特殊的線性矩陣A，如果A是負定的，可以取Δs=(0，0，…，0)Τ，Δm=(0，0，…，0)Τ來使得網(wǎng)絡(luò)達到同步，即不需要加入線性反饋控制項。

4 數(shù)值仿真

在這一部分中，將針對不同拓撲結(jié)構(gòu)和不同節(jié)點數(shù)目的網(wǎng)絡(luò)進行模擬，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點都可以用如下復(fù)數(shù)Lorenz系統(tǒng)來描述其動力學(xué)行為

其中conj表示對應(yīng)項的共軛復(fù)數(shù)。

4.1 NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型

NW小世界網(wǎng)絡(luò)是一種典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，采用隨機概率 來加邊的方法構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，與當(dāng)前節(jié)點有連接的鄰居節(jié)點范圍定義為，以下為對應(yīng)不同規(guī)模NW網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)不同參數(shù)時的情況。

首先，選取網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N=15，隨機加邊概率為0.6，連接鄰居范圍為8， 隨機生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣為：

在本部分，選取網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N=15，隨機加邊概率ν=0.6，連接鄰居范圍K*=8， 隨機生成網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣為

為了方便起見，設(shè)定如下變量來衡量網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點的實部和虛部總誤差：

令網(wǎng)絡(luò)耦合強度c=0.03，選取復(fù)數(shù)投影為p1=2+5j，p2=3+8j，p3=6，延時選取為τ=0.5s在3s時對網(wǎng)絡(luò)施加控制，選取前10s 進行觀察，可以得到仿真結(jié)果如圖1 所示。

其中re(·)代表實部，im(·)代表虛部。從圖1(a)和圖1(b)中可以看到對于網(wǎng)絡(luò)中隨機抽取的節(jié)點9，其第2個變量的實部和虛部在施加控制后迅速達到了同步，且存在延時，而圖1(c)則說明整個網(wǎng)絡(luò)的實部和虛部都達到了類似于節(jié)點9的延時同步。

在實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)往往比較多，節(jié)點之間的連接并沒有4.1.1小節(jié)中那樣緊密，選取網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N=100，隨機加邊概率，連接鄰居范圍， 隨機生成網(wǎng)絡(luò)的同步圖像如圖2 所示。

圖2 當(dāng)N=100時，復(fù)數(shù)NW小世界網(wǎng)絡(luò)的復(fù)數(shù)投影同步圖像

從圖2(a)和圖2(b)中可以看到對于網(wǎng)絡(luò)中隨機抽取的節(jié)點9，其第2個變量的實部和虛部在施加控制后迅速達到了關(guān)于復(fù)數(shù)投影的延時同步，而圖2(c)則說明整個網(wǎng)絡(luò)的實部和虛部都達到了類似于節(jié)點9的同步。

4.2 BA網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)數(shù)投影延時同步

世界雜網(wǎng)絡(luò)的類型有許多，除了以上典型的NW小世界網(wǎng)絡(luò)之外，還有BA網(wǎng)絡(luò)也是另一種典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。采用增加節(jié)點和隨機加邊的方法生成網(wǎng)絡(luò)，選取初始網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N1=10，最終生成網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)N2=15，對于新生成的每個節(jié)點隨機加邊數(shù)為5， 隨機生成網(wǎng)絡(luò)及其同步圖像如圖3所示。

圖3 當(dāng)N=15時，復(fù)數(shù)BA網(wǎng)絡(luò)的復(fù)數(shù)投影同步圖像

從圖3(a)和圖3(b)中可以看到對于網(wǎng)絡(luò)中的延時同步情況，圖3(c)則說明整個網(wǎng)絡(luò)都到達了同步。

5 結(jié)論

本文將復(fù)數(shù)系統(tǒng)引入到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，對于該類狀態(tài)變量為復(fù)數(shù)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，考慮了網(wǎng)絡(luò)的延時，以及對于復(fù)數(shù)系統(tǒng)而言特有的復(fù)數(shù)投影，提出了復(fù)數(shù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)數(shù)投影延時同步。延時在許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中都存在，而復(fù)數(shù)投影式復(fù)數(shù)系統(tǒng)才有的特有同步現(xiàn)象。本文所提方法可以通過改進得到Pinning控制器和自適應(yīng)控制器，對于合適的線性與非線性劃分，甚至可以在不添加線性反饋控制項的基礎(chǔ)上使得網(wǎng)絡(luò)達到同步。最后，對不同拓撲結(jié)構(gòu)，不同規(guī)模以不同類型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進行了仿真，均能在網(wǎng)絡(luò)的實部和虛部得到復(fù)數(shù)投影延時同步，這表明了無論網(wǎng)絡(luò)是稀疏還是稠密，規(guī)模龐大與否都可以達到同步。值得注意的是，這也是首次在變量和投影項都是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值時來考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的投影延時同步問題。仿真結(jié)果說明了方法的有效性。