自由曲面建筑外立面U型結構優化算法研究

李 珠，張睿豐

(遼寧工業大學，遼寧錦州121000)

1 引言

隨著人們物質生活水平的提升，對建筑水平的需求逐漸多樣化，因此，提升建筑美觀度的同時保障建筑結構達到最高水平，是建筑結構優化設計的重中之重[1]。建筑結構優化設計不僅可以節約建筑成本，還可提升建筑空間使用率[2]，使建筑具備最佳的使用功能。因此，優化建筑結構對建筑行業以及未來城市發展有著非常重要的作用[3]。表面形狀不可以被連續加工的、具有傳統加工成型的任意性特點的曲面，稱為自由曲面，其具有較高的創意性和可塑造性[4]，目前，該曲面在樓宇設計中被廣泛使用，受其幾何形狀的影響，自由曲面寬度較大[5]，因此，其結構的承受荷載率與其穩定性是衡量建筑物質量的重要標準。

以提升建筑結構的穩定性，降低結構位移量為目標，設計自由曲面建筑外立面U型結構優化算法。結合梯度法對自由曲面建筑外立面U型結構進行優化，梯度法也可稱為最速下降法，屬于迭代法的一種，可解決最小二乘問題，其計算過程是沿梯度下降或上升的方向求解極小值或極大值，該算法計算精準度高，是無約束優化方法中最基本的方法之一。采用該方法可以使建筑物立面U型結構更加美觀的同時，又滿足建筑物的基本要求，發揮結構最大功效。

2 自由曲面建筑外立面U型結構優化算法

2.1 建筑外立面U型結構邊界條件

依據B樣條曲線以及曲面理論，使用(2m-1)次周期參數化樣條插值函數生成建筑外立面U型結構邊界條件，其計算公式如下

(1)

其中，x、y分別表示橫縱坐標軸。依據自由曲面建筑外立面U型結構，按順時針方向將橫縱坐標軸x、y數值代入到式(1)中，使用插值原理和實際所需擬合曲線次數，可獲得曲線上剩余點坐標數值，從而形成光滑外邊界曲線。

生成內邊界需在建筑外立面U型結構設定內邊界數量，按逆時針方向，設置內邊界關鍵點的橫縱坐標x、y數值，使用插值原理[6]和實際所需擬合曲線次數，可獲得曲線上剩余點坐標數值[7，8]，形成光滑內邊界曲線。內外兩邊界生成后，將內邊界與外邊界涵蓋的范圍生成建筑平面圖，建筑平面圖網格劃分使用Delaunay三角剖分方法。由于建筑外立面U型結構支座位置和條件具有特定性，在劃分建筑平面圖網格時，需設置不動散點為建筑外立面U型結構的支座點[9]。

2.2 自由曲面生成

利用經過已知點的B樣條插值曲面法生成建筑外立面U型結構自由曲面，需在建筑外立面U型結構設置特定支座，方可滿足自由曲面生成條件。令已知點為N×M個，則B樣條插值算法計算公式為

(2)

其中，x、y方向節點數量分別由M、N表示；x、y方向的第d次和第h次B樣條基函數由Bi，d(x)、Bi，h(y)表示。在B樣條曲面上，關于x，y的函數是節點的縱坐標z，插值點坐標由計算系數gi，j獲得，最終生成光滑自由曲面。

2.3 建立梯度法基本方程

為使自由曲面建筑外立面U型結構更加美觀并且擁有合理的受力性能，自由曲面創建方法需使用實際建筑外立面U型結構上的已知點，初始自由曲面使用B樣條理論進行擬合。受初始模型力學符合率較低的影響，需在建筑條件允許的情況下對該模型進行微調。自由曲面建筑外立面U型結構最優性能可由其應變能和應變能敏感度來衡量，當應變能敏感度近似0時，該結構應變能收斂最小，自由曲面建筑外立面U型結構上節點受微小力量干擾時，應變能敏感度可調整該結構上關鍵點的高度，降低應變能收斂，提升該結構受力性能。使用自由曲面創構方法計算曲面上的關鍵節點，優化目標使用梯度法，可實現自由曲面建筑外立面U型結構優化。

控制點的多元函數可描述自變量是曲面控制點的應變能，其計算公式為

R=f(Q1，Q2，…，Qn)

(3)

其中，應變能、控制點分別由R、Qn表示。設R是一個標量場，該標量場內任意一點處的梯度方向，可標記該標量場內增長最迅速的方向，其梯度長度表示這個梯度方向的最大變化率。當控制點為1時，應變能可由單變量的實值函數計算，梯度則由導數表示。因此，自變量的變化方向與其梯度方向相反時，標量場降低速度最快。應變能敏感度可由在任意(Q1，Q2，…，Qn)位置的梯度表示。正負梯度方向分別為應變能增加最快和降低最快的方向，控制點Qn變化的敏感度是通過應變能對設計變量的控制程度計算，移動該控制點，該控制點處應變能敏感度則變大，因此，若得到合理U型結構，即U型結構受到微小力量干擾時，其總體結構變化較小，那么其控制點處應變敏感度最小。

2.4 建立變量優化方程

設置QZ={Qi，j(Z)}表示自由曲面控制點豎向分量，其中，(i=1，2，…，N，j=1，2，…，M)，控制點的函數是曲面上的點坐標，以控制點豎向分量作為變量的結構靜力平衡方程由下式表示

O(QZ)·U(QZ)=F(QZ)

(4)

其中，結構剛度矩陣、結構點位移向量、節點荷載向量分別由O(QZ)、U(QZ)、F(QZ)表示。結構應變能力為R(QZ)的計算公式為

(5)

通過式(5)可知，數學表達式min(R(QZ))可表示優化模型。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

假設外立面U型結構材料是理想彈塑性材料，結構屈曲荷載可通過以下公式計算

|[Wb]+λ[Wσ]|=0

(11)

其中，結構彈性剛度矩陣、結構曲面剛度矩陣、屈曲荷載因子分別由[Wb]、[Wσ]、λ表示。

2.5 推導應變能梯度表達式

設曲面形狀變化不影響優化流程中的荷載值，則有

(12)

將第k步優化后獲取的自由曲面剛性結構作為對象，對控制點進行求導則有

(13)

(14)

變換梯度表達式可將式(13)代入式(14)中，則有

(15)

通過以上公式可推導出應變能對于控制點的敏感度，控制點單元剛度矩陣對控制點的微分公式可通過推導整體坐標系內的梁單元剛度矩陣微分公式進行表達，那么單元剛度矩陣和部分坐標系下單元剛度矩陣關系可通過以下公式表示

(16)

其中，Oe、T分別表示部分坐標系下單元剛度矩陣和空間梁單元坐標系轉化矩陣。

(17)

復合函數求導可依據實際問題和敏感度方向，控制點Qi，j在z方向的導數可由以下公式計算

(18)

計算坐標系轉換矩陣對控制點的導數，需先計算單元坐標系轉換矩陣，其公式如下

(19)

其中，λ0計算公式為

(20)

(21)

由推導坐標系轉換矩陣對控制點的導數以及單元部分坐標系內單元矩陣對控制點的導數可知，計算自由曲面上的節點坐標對控制點的導數是二者必不可少的步驟，所以需要構建自由曲面上節點坐標對控制點導數的計算公式。設豎向坐標QI，J(z)是第k步后自由曲面的控制點坐標，該控制點在自由曲面上與其相對應豎向控制點導數可由以下公式計算

(22)

其中：ωi，j表示權因子；Ni，Q(u)、Nj，r(v)分別為表示定義在非周期節點矢量u、v上的Q、r次B樣條基數。

通過上述公式推導流程，可計算出U型結構應變能梯度數值，使用梯度法調整自由曲面控制點坐標，可實現自由曲面U型結構優化。

3 實驗分析

使用MATLAB軟件，構建建筑面積為25436m2，建筑結構最高點為25.8m的建筑物，該建筑物由鋼筋混凝土框架結構和鋁合金立面U型單層網殼結構組成建筑主體的下部與上部，建筑物頂部長軸為207.5m，立面U型單層網殼結構的支座由落地支座和建筑物頂部混凝土柱子支座組成。采用所提算法依據建筑外立面U型結構邊界條件，生成初始結構，以數值為1.5kN/m2的豎向均布恒載力作為計算荷載，其缺陷數值分別為200mm、400mm、600mm。使用梯度算法，對建筑外立面U型結構展開優化。

在保證計算荷載數值不變的情況下，通過改變控制點豎向z坐標，改變自由曲面形狀，計算應變能關于整體控制平均敏感度和應變能滾圓控制平均敏感度，其初始結構與所提算法優化后敏感度數值曲線如圖1所示。

圖1 結構優化前后數值曲線

分析圖1可知，應變能關于整體控制平均敏感度和應變能關于控制平均敏感度都是隨著優化步數的增加而降低。在圖1(a)中，兩個敏感度曲線都呈逐漸下降趨勢。通過使用所提算法對建筑結構優化后，兩個敏感度曲線在優化步數為200步前下降速度明顯，優化步數超過200步后，二者曲線逐漸趨于平穩，結構應變能對控制點變化的敏感度降低。說明使用所提算法可降低整體控制平均敏感度和應變能關于控制平均敏感度，提升建筑外立面U型結構穩定性能。

設置初始自由曲面與優化后的自由曲面建筑物屋頂結構均完整，對其施加均勻荷載因子，前8階屈曲荷載因子情況如表1所示，(荷載因子與施加荷載的積為屈曲荷載)。

表1 結構屈曲荷載因子

分析表1可知，屈曲荷載因子隨著階數的增加而增加，優化后的結構屈曲荷載因子較初始結構增加明顯，尤其是階數為4時，二者屈曲因子最大差值達到14.452，可見經過所提算法優化后的結構剛度較大，結構出現失穩的概率較低。

結構的初始缺陷是影響結構穩定的因素之一，當缺陷數值不同的情況下，對比初始結構和優化后結構位移情況，結果如圖2所示。

圖2 結構位移

分析圖2可知，位移數值與缺陷數值成正比，初始結構位移隨著缺陷數值的增加而增長迅速，優化后的結構位移數值增長極小，當缺陷數值為600時，初始結構位移達到50cm，優化后的結構位移僅為20cm，穩定性較好。由此可見，所提算法可有效實現建筑外立面U型結構優化。

4 結論

本文研究自由曲面建筑外立面U型結構優化算法，有效結合B樣條插值曲面法以及梯度法完成建筑物自由曲面優化。通過實驗驗證，該算法可降低結構應變能對控制點變化敏感度和應變能關于整體平均敏感度，提升建筑外立面U型結構的穩定性能；使用該算法對結構進行優化后，可增加結構屈曲荷載因子，增加結構剛度，降低失穩率；當缺陷數值相同時，優化后的結構位移較小。