一種改進加權函數的GCC時延估計方法研究

魏文亮，茅玉龍

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，江蘇 南京 211106)

1 引言

在軍事斗爭領域，對敵方目標的定位主要有三種定位方法：有源定位、無源定位和利用第三方輻射源的無源相干定位。隨著高靈敏度、高速信號截獲和處理技術的發展，無源定位技術的研究和應用越來越廣泛。它具有作用距離遠，隱蔽性好等優點，因而具有極強的生存能力和反隱身能力。無源定位按照定位方法可以分為單站測向(DOA)和測相位差變化率定位、時差(TDOA)多站無源定位、差分多普勒定位、測向-時差聯合無源定位等，其中時差多站無源定位以其較高的定位精度，較強的組網能力和抗打擊能力等特點而應用更為廣泛。

TDOA定位是無源定位技術發展的主要方向之一，通過測量輻射源信號到達不同觀測站的時差構建時差觀測方程，聯立多個時差觀測方程可計算出輻射源位置[1]。目前對TDOA定位的研究主要包括定位方程的解法算法、布站方式的選擇和定位精度的分析，其中時差測量的精度是影響定位精度的一個重要因素，因此，對時差測量相關問題的研究十分重要。

目前，以下幾種時差測量的方法較為常見：根據信號到達時間的測量時差法、廣義互相關法[2-3](GCC)、循環互相關法[4]、廣義雙譜或高階累積量[5]和自適應法[6]等，其中，最常見的是基于相關法的時差測量技術。基本相關法計算簡單，但是如果觀測站接收的信號信噪比較低，則不能獲得良好的效果。為了降低或消除噪聲對時差估計精度的影響，許多文獻中提出了廣義互相關(GCC)法的時差測量技術，通過信號處理中的互相關函數來估計信號的時差，對兩個觀測站接收信號的互功率譜密度函數進行加權濾波[7]。各種改進的方法主要是為了提高方法的抗噪聲性能，增加其適用性。

使用傳統的加權函數進行廣義互相關時延估計，當信噪比較低時，通常會出現峰值拓展、多個峰值、小功率信號估計精度差等問題[8]，導致無法得到準確的時延估計效果，本文提出一種改進的加權函數，主要針對低信噪比下時延估計時出現信號的互相關函數峰值拓展、多個峰值以及小功率信號時延估計精度較差的情況進行改進。改進的加權函數可以很好地解決上述問題，提高時差測量的精度。

2 無源時差定位

2.1 時差定位基本原理

無源時差定位是利用主站和輔站之間接收到輻射源信號的到達時間差(TDOA)來定位的。獲得時差的信息之后，通過乘以電磁波的傳播速度就可以得到輻射源到主站和輔站的距離差，在二維平面中，就形成了一條以兩站為焦點的雙曲線，多個到達時間差的估計值就可以構成一組雙曲面方程組。因此，二維時差定位至少需要三個觀測站，而三維時差定位則至少需要四個觀測站才能實現對目標的定位，其中包括一個主站(中心站)和三個輔站(邊站)。如圖1所示。

圖1 四站三維無源時差定位模型

主站A的坐標為(x0，y0，z0)，輔站的坐標分別為B(x1，y1，z1)、C(x2，y2，z2)和D(x3，y3，z3)，輻射源O(x，y，z)，由圖1的幾何關系可以得到以下方程組：

(1)

式中ri(i=0，1，2，3)表示輻射源到各站之間的距離：c為電磁波傳播速度；Δt0i為主站與各輔站所對應的時差；Δri表示距離差。

2.2 時差定位算法

方程組(1)為一組關于目標輻射源坐標(xi，yi，zi)的非線性方程組，目前，有很多文獻研究了關于這個方程組的解法，如Chan算法、泰勒級數展開法和其它一些算法等。

3 時差估計方法

3.1 基本相關法

基本相關法[9]是基于相關法進行所有時差估計的理論基礎。

假設源信號為s(t)，主輔觀測站接收系統接收的信號分別為x0(t)，xi(t)；噪聲分別為n0(t)，ni(t)；信號的時延為di(t)；主輔觀測站接收系統接收到的信號幅度分別為A0(t)，Ai(t)。主輔觀測站接收系統接收到的信號模型為

(2)

主輔觀測站接收信號的相關函數為

Rx0xi(τ)

=E[x0(t)xi(t-τ)]

=E{[A0s(t)+n0(t)][Ais(t-di-τ)+ni(t-τ)]}

=A0AiRss(τ-di)+A0Rsni(τ)+AiRsn0(τ-di)+A0AiRn0ni(τ)

(3)

因為源信號、主輔觀測站之間噪聲無關，所以有

Rx0xi(τ)=A0AiRss(τ-di)

(4)

其中Rss(τ-di)為源信號的自相關函數，根據其性質可知，Rss(τ-di)≤Rss(0)。即當τ-di=0時，相關函數Rx0xi(τ)達到峰值[10]，主輔觀測站接收到的信號的相關性最大，相關函數的峰值點即為時差估計的值。

3.2 廣義互相關法

廣義互相關法是基本相關法的改進，對其缺陷的克服，其原理就是在進行相關運算之前先對觀測站接收到的信號進行濾波，適當消除噪聲和干擾的影響，再進行相關運算，取其峰值進行時延估計，以達到提高時延估計精度的目的。

由Wiener-Khinchin定理可知，兩路信號的互功率譜密度函數是其互相關函數的傅里葉變換[11]。則有

(5)

濾波器濾波之后的功率譜密度函數為

(6)

(7)

由此可見，廣義互相關法實質是對功率譜密度函數作傅里葉逆變換之前先進行加權濾波處理，從而有效抑制噪聲干擾的影響，然后會使得相關函數有一個峰值相對較大、較尖銳，其對應的橫坐標即為時延估計值，從而提高時延估計的精度。

4 加權函數分析對比與改進

傳統加權函數[12]如表1。

表1 加權函數

其中

|rx0xi(f)|2=|Sx0xi(f)|2/(Sx0x0(f)Sxixi(f))

(8)

基本互相關加權函數對外部噪聲比較敏感，可能導致較大的時延估計誤差，進而造成較大的定位誤差；ROTH加權函數，可以有效地抑制噪聲大的頻帶，具有一定的抗噪聲性能，但容易拓寬相關函數的峰值，出現多峰值從而造成錯誤估計；SCOT加權函數，雖然考慮兩個接收通道的影響，但當兩個通道接收信號的功率譜密度相等時，也會拓寬相關函數的峰值，產生虛假的峰值造成錯誤估計；PHAT加權函數，與上述權值相比效果稍好，但因其加權函數分子始終是定常數，對于功率較大信號時延估計精度較高，而功率較小信號則會引入較大誤差[13]。為改善以上傳統加權函數時延估計的性能，本文提出一種改進的加權函數，為

(9)

將式(9)帶入式(7)，重新計算推導，得到

=F-1[ψ(f)Sx0xi(f)]

(10)

改進的加權函數，通過Sx0x0(f)Sxixi(f)兼容了SCOT加權函數的特性，克服了相關函數峰值拓寬而產生虛假峰值的影響；通過1/Sx0xi(f)抑制了較大的噪聲頻帶。

ROTH加權函數僅采用一路信號的自功率譜密度函數加權，沒有考慮兩路信號的影響，相比較本文改進的加權函數兼顧考慮到兩路信號同時會影響時延估計，在加權函數中同時采用兩路信號的功率譜密度函數。相較于SCOT加權函數，本文改進的加權函數通過分母中的Sx0xi(f)來抑制相關函數峰值拓展而造成的多峰值現象。對于PHAT加權函數，本文改進的加權函數可以有效地改進PHAT加權函數在小功率信號下分母趨于零的現象，得到更高的時延估計精度。

考慮到加權函數的分母會隨著信號功率的減小而減小，本文改進的加權函數，在其分子中同時加入兩路信號的功率譜密度函數可以抑制分母減小時而出現較大的誤差，同時分子也會隨著信號功率的減小而逐漸減小，因此整個加權函數的誤差可以逐漸減少，進而提高時延估計的精度。

本文改進的加權函數為了適用于不同功率的信號，在分子中加入了兩路信號的自功率譜密度函數和互功率譜密度函數。應用于大功率信號時，兼顧了各加權函數的特性，以達到提高時延估計精度的目的；應用于小功率信號時，信號的自相關系數會隨之減小，因此在小功率信號的情況下，改進的加權函數在分母逐漸減小的同時分子也在逐漸減小，進而達到提高時延估計的精度的效果。

5 仿真與分析

仿真分析的源信號選取雷達信號中的LFM信號，噪聲選取非相關高斯白噪聲[14]。主輔觀測站接收信號的信噪比分別為SNR0和SNRi。信噪比(SNR)表達式為20log(σs/σn)，其中表示信號和噪聲的標準差分別為σs，σn。假設噪聲和源信號之間與噪聲和噪聲之間無關[15]。

實驗分別仿真分析了基于各傳統加權函數與改進加權函數的廣義互相關法在不同信噪比下的時延估計精度，結果如圖2、3、4所示；同時仿真分析了改進的加權函數對于小功率信號的時延估計精度，結果如圖5所示；并對不同加權函數的時延估計進行100次仿真，采用均方根誤差(RMSE)分析各加權函數的時延估計性能，結果如圖6所示。均方根誤差定義如下

(11)

其中N為仿真次數，ti為時延估計值，t為時延真實值。

仿真參數設置如下：

脈寬：5μs

線性調頻帶寬：100MHz

采樣頻率：200MHz

數據點數：1000

預設時延：1us

1)信號幅度均取1時，各加權函數在不同信噪比下的時延估計精度

如圖2、3、4所示，信號幅度均取1，當SNR=0dB時，不同加權函數的相關函數峰值尖銳明顯，時延估計值均為1.005us，可以得到良好的時延估計精度。

圖2 SNR=0dB時各傳統加權函數與改進的加權函數時延估計仿真

當SNR=-5dB時，不同加權函數的時延估計精度均受到了噪聲的影響，其中基本互相關的相關函數已經出現多個峰值，無法準確進行時延估計。PHAT加權、ROTH加權、SCOT加權以及改進的加權函數的相關函數峰值仍然尖銳，時延估計值均為1.005us，具有良好的時延估計效果。

圖3 SNR=-5dB時各傳統加權函數與改進的加權函數時延估計仿真

圖4 SNR=-9dB各時傳統加權函數與改進的加權函數時延估計仿真

當SNR=-9dB時，不同加權函數的時延估計精度均受到了較大影響，其中各傳統加權函數的相關函數已經出現多個峰值，無法進行時延估計，而改進的加權函數雖然在一定程度上也受到較大干擾，但相關函數峰值尖銳程度仍然明顯，時延估計值為1.035us，具有較高的時延估計精度。

隨著信噪比的不斷降低，各傳統加權函數的相關函數峰值均無法準確分辨，而本文提出的改進的加權函數直到信噪比下降到SNR=-10dB時，才無法得到準確的時延估計，相較于其它傳統加權函數具有更好的抗噪聲性能。

2)信號幅度均取1e-7時，各加權函數在不同信噪比下的時延估計精度

如圖5中所示，信號幅度均取1e-7，當SNR=0dB時，相比圖2中信號幅度均取1時，各傳統加權函數與改進的加權函數相關峰均尖銳明顯，具有良好的時延估計效果。本實驗中采用小功率信號時，各傳統加權函數的相關函數峰值均已無法分辨，不能進行準確的時延估計，而改進的加權函數相關函數峰值尖銳明顯，時延估計值為1.045us，對小功率信號仍然具有較好的時延估計效果。

圖5 傳統加權函數、改進的加權函數時延估計仿真

隨著信噪比的不斷降低，對于小功率信號，本文提出的改進加權函數直到信噪比下降到SNR=-4dB時，才無法得到準確的時延估計，對于小功率信號相較于其它傳統加權函數具有更好的抗噪聲性能。

3)不同信噪比下各加權函數100次仿真分析

不同信噪比下對各加權函數進行100次仿真，均方根誤差如圖6所示，當信噪比降為0dB以下時，基本相關法已經無法進行準確的時延估計；當信噪比繼續下降到-5dB以下時，各傳統加權函數的時延估計精度急劇下降，逐漸無法獲得準確的時延估計值；而本文提出的改進加權函數的廣義互相關法仍然具有良好的時延估計精度，具有一定的抗噪聲性能。

圖6 各加權函數的均方根誤差

6 結束語

本文提出一種改進加權函數的廣義互相關時延估計方法，對其在不同信噪比下，對不同功率的信號重新加權仿真。當信噪比較高時，各加權函數的相關函數均可以觀察到尖銳的相關峰，得到良好的時延估計精度。隨著信噪比的不斷下降，各傳統加權函數的相關函數峰值均受到不同程度的影響，直至出現多個相關峰進而無法得到準確的時延估計，而改進加權函數的相關函數峰值尖銳明顯，仍然可以得到準確的時延估計，具有較高的抗噪聲性能。

對比圖5和圖2仿真結果，當信噪比相同時，對于小功率信號各基本加權函數均已無法分辨相關函數的相關峰，不能進行時延估計，而改進的加權函數對小功率信號的相關函數仿真仍然可以得到尖銳的相關峰，準確的進行時延估計。本文通過多次仿真和理論分析，表明基于改進加權函數的廣義互相關時延估計方法對不同功率的信號都具有更好的抗噪聲性能，具有一定的應用前景。