面向溫度變化的相機光學系統參數模型研究

劉麗偉，趙子君，朱緒康，許 倩

(長春工業大學計算機科學與工程學院，吉林 長春 130012)

1 引言

隨著航空航天光學儀器分辨力的提高，高空或空間熱環境的溫度變化會引起圖像發生偏移，對光學系統成像質量造成的影響已經不容忽視。溫度變化對相機光學系統的影響主要和三個方面有關:第一，光學材料的折射率會隨溫度的變化而改變，此現象致使光學系統的焦距、主點位置以及畸變系數發生變化;第二，溫度的變化會導致光學系統不同組件(如探測器靶面、鏡頭、支撐結構等)的膨脹或收縮，從而改變鏡頭的厚度、曲率半徑和表面形狀，進而導致焦距、主點位置的變化；第三，由于鏡筒材料的熱膨脹和冷收縮，光學元件之間的間距會發生變化[1，2]。因此，在光學系統的設計中，降低溫度變化的影響是十分必要的，尤其是對于精度要求較高的光學系統。

對于此問題的研究起源于上世紀40年代，J.W.Perry等人研究了均勻溫度變化對光學系統成像質量的影響[3]。隨后有一些研究人員通過有限元分析的方法討論了溫度變化對光學系統材料特性、結構形變以及像面位移等問題進行了分析[4，5]。由于這些研究目的是為無熱化技術[6]提供理論支撐，雖然無熱化成像技術可以有效地提高成像質量，但不能完全消除溫度變化對光學系統參數的影響。因此缺少對于基于幾何光學參數溫變模型的研究，目前該領域的研究仍然較少，缺少成熟的理論模型。

Podbreznik等人提出一種簡單的模型，用于消除由特定溫度條件引起的測量誤差[7]。然而此模型是基于光學系統內參數及相機姿態不隨溫度變化的假設前提下，故該模型的應用范圍和精度十分有限。Smith和Cope通過將鏡頭放置在恒溫箱，取出后再進行安裝標定的方法，研究了相機參數隨溫度的變化情況，但每次拆裝過程中會不可避免的引起機械結構的改變。由于光學系統參數隨溫度變化的變化量本身就很小，因此無法確定其測量結果是否與拆裝過程中機械結構改變有關，該測量方法不夠嚴謹[8]。Handel研究了相機溫度上升過程中，對圖像處理的影響問題，并給出了相應的補償方法。在該模型中，投影中心不變，且光學系統的內參數需保持不變。事實上，真實環境溫度變化引起的熱膨脹會改變光學系統的內參數，可見，此模型的假設也是不準確的[9，10]。姜廣文團隊通過半物理仿真和有限元分析相結合的方法研究了攝像測量中的溫度效應及消除方法[11，12，13]。從以上文獻分析中可以看出，目前對于光學系統參數隨溫度變化影響機理的研究還不夠充分。

本文主要研究了相機內參數隨溫度變化的關系模型。首先介紹了相機的成像模型和實驗設備。實驗表明，溫度變化會引起相機拍攝的圖像點位置發生變化。同時，仿真證明了參數的變化會導致圖像點位置發生變化。然后通過像點位置變化量和相機成像過程提出了圖像點位置漂移模型。再通過曲線擬合方式得到了溫度變化與內參數變化的關系模型。最后，驗證了該模型能夠有效地降低受溫度影響的圖像點位置漂移量，從而說明該模型可以減小溫度對相機光學系統的影響。

2 相機模型和實驗設備

2.1 相機模型

為了研究溫度對相機光學系統內參數的影響，首先要研究相機成像原理[14]。相機成像的過程就是從三維空間轉換到二維空間。針孔成像模型是理想的成像模型。由于本文研究的是溫度變化對相機內參數的影響，因此在成像過程中選擇針孔成像模型來實現從三維坐標系到二維坐標系的轉換。假設現實世界中任意一點P的世界坐標系坐標為Pw(Xw，Yw，Zw)，該點相對應的相機坐標系中的坐標為Pc(Xc，Yc，Zc)，對應的像素坐標系中的坐標為p(u，v)。

1)世界坐標系到相機坐標系：這兩個坐標系的變換屬于剛體變換，只需要進行旋轉和平移。其關系可表示為

Pc=RPw+t

(1)

2)相機坐標系到像素坐標系：相機坐標系中的任意點Pc(Xc，Yc，Zc)對應的像素坐標系中的投影點齊次坐標為p(u，v，1)，則這兩點關系可表示為

Zcp=KPc

(2)

其中

(3)

K矩陣中這4個參數只和相機的內部結構有關。f為焦距，dx和dy分別是每個像素在圖像平面x和y方向上的物理尺寸。u0和v0表示平移距離，與相機成像平面的大小相關。

2.2 實驗設備

為了研究溫度變化與光學系統參數變化的數學模型，必須通過實驗的方法采集真實環境中溫度變化與光學系統參數變化的數據集。

溫控箱的箱體分為外側固定支撐部分和內部保溫層兩部分。在鏡筒表面覆蓋導熱材料，并在導熱材料上粘貼多組半導體加熱/制冷片以及溫度傳感器，溫控系統通過分別控制多組半導體加熱/制冷片的電流大小和方向模擬溫度的快速變化，并通過溫度傳感器對溫度變化進行實時監控，實現了對溫變環境的模擬功能。箱體的正面留出鏡頭孔，外面再用圓形玻璃罩住，用膠水粘好，防止空氣流動，光線又能透過玻璃進入鏡頭里面。箱體的側面留出引線孔，方便信號線、控制線、半導體制冷片引線和溫度傳感器信號線的引出。實驗設備如圖1所示，主要分為三部分，其中圖(a)為12×9棋盤格標定板，圖(b)為實時顯示當前鏡筒溫度的液晶顯示屏，圖(c)為控制鏡頭溫度變化的溫控箱。

圖1 實驗設備

采用半導體加熱/制冷片可以快速實現溫度變化，在面向內參數變化時，不僅控制精度更高，還能減少其它因素的影響。其中，鏡頭的型號為EB10210GDJ·HR，選自福建福光公司，半導體加熱/制冷芯片采用TEC1-127，溫度傳感器選用DS18B20。在鏡筒的四個方向都設置了溫度傳感器，為了短時間內可以快速對鏡頭控溫，最后以平均溫度作為基準。

3 溫度影響與建模

3.1 溫度對光學系統的影響

溫度變化會導致光學系統不同組件的膨脹或收縮和光學材料折射率的變化，這些都會帶來光學系統內參數的變化，從而影響相機的測量精度。

光學系統內參數受溫度變化的影響可以通過實驗直觀體現為像平面中的點位置漂移現象，隨機選取了在16℃和45℃時拍攝的標定板照片，并對中間80個像點數據做處理。如圖2所示，其中圖(a)為像點位置的整體漂移效果，可以看出來在不同的環境溫度下，圓圈沒有重合，也就是像點位置發生了變化，便于結果更突出顯示，對圖(a)選取部分點進行局部放大，如圖(b)所示，明顯看到圓圈位置發生漂移。說明像點位置會隨著環境溫度的變化而變化

圖2 漂移現象

3.2 仿真驗證

利用MATLAB對攝像機成像過程進行仿真，同樣可以清楚地看到當內參數發生變化時，圖像點的位置也會發生變化。如圖3所示，其中圖3(a)為主點u0和v0增加1/100倍后的效果，很明顯可以看出，圓圈發生了漂移現象，沒有重合；圖3(b)為焦距f增加1/100倍后的效果，可以看出圓圈有向中間“聚攏”的現象。從這里也能看出來，內參數對像點位置的影響效果是不同的。由于光學系統參數受溫度影響的變化量本身就很小，下圖為坐標放大1000倍后的效果。

圖3 仿真漂移現象

3.3 圖像點漂移模型

溫度變化是通過影響光學系統組件形變和材料折射率使得其內參數發生變化，進而影響光學系統性能。因為溫度變化和圖像點位置漂移量之間的關系是易得的，因此為了從理論上研究溫度變化對光學系統內參數的影響，首先需要建立圖像點坐標漂移量和參數變化量之間的關系模型，這樣可以間接得到溫度變化與內參數變化之間的模型關系。

以棋盤格中心點坐標建立世界坐標系，點Pw(Xw，Yw，Zw)為該坐標系中一點。設K′為溫度變化后的內參數矩陣，對應的變化后的圖像像素坐標系中的投影點的齊次坐標為p′(u′，v′，1)，模型建立過程如下：

首先將變化后的內參數矩陣K′和變化后的投影點坐標p′(u′，v′ )代入式(2)，得

Zcp^′=K′Pc

(4)

用δK表示內參數矩陣的變化量，像點坐標u和v的變化量分別用δu和δv表示，則

K′=K+δK

(5)

(6)

其中

(7)

將(5)-(7)代入(4)，得

(8)

用式(8)減去式(2)得

(9)

將式(7)代入式(9)并展開得

(10)

用線性方程組形式來表示，得

(11)

上式中的i表示第i個點(i從1開始)。

其中

X=(δu0，δv0，δf/dx，δf/dy)T

(12)

通過求解上面的方程組即可得到圖像點坐標漂移量和內參數變化量的關系，即圖像點漂移模型。

3.4 溫度變化和內參數變化的關系模型

通過上一節已經得到圖像點坐標漂移量和參數變化量的關系，然后經過多組實驗可以得到溫度變化和像點位置漂移量的離散點對應關系，再借由漂移模型得到參數變化量，進而可以得到溫度變化和內參數變化量之間的關系模型。下面采用曲線擬合方式來建立溫度變化和內參數變化之間的關系模型。如式(13)所示

f(x)=a0+a1×cos(x×w)+b1×sin(x×w)+a2×cos(2×x×w)+b2×sin(2×x×w)

(13)

其中，輸入為x表示溫度的變化量，輸出為f(x)表示內參數的變化量。a0、a1、a2、b1、b2、w是模型系數。從該模型可以得到溫度變化與參數變化之間的關系。內參數隨溫度變化的擬合曲線如圖4所示，(a)、(b)、(c)分別對應參數δu0、δv0δ、δf(dx和dy固定不變)。

圖4 擬合曲線

4 模型驗證

從上面可以看出，通過溫度的變化量可以得到內參數的變化量，然后通過內參數的變化量又可以得到圖像點的漂移量，為了驗證該模型，進行了如下實驗。

如圖5所示:設置標準溫度為20℃，隨機選取其它溫度下的圖像點，其中“x”表示原始點集的漂移量，“.”表示經過模型修正后的點集漂移量。

圖5 模型驗證

從上圖中可以看出，原本分散的圖像點集經模型修正后都集中在左下角。圖像點集在x方向上的漂移量由大約2.5個像素下降到了0.3個像素左右，在y方向上的漂移量由大約0.7個像素下降到了0.3個像素左右。為了更直觀地顯示模型的修正效果，直接將溫度差為20℃左右的兩個點集漂移量進行比較，如圖6所示。其中圖(a)表示x方向的偏移量減小效果，圖(b)表示y方向的偏移量減小效果。

圖6 漂移量比較

從上圖中可以看出，漂移量在x方向上從2個像素左右降低到0.3個像素左右，在y方向上的偏移量從大約0.7個像素左右降低到0.2個像素左右。該實驗說明受溫度變化影響的漂移量經過該模型修正后能夠有效改善。

5 結論

溫度變化會導致航天相機光學系統不同組件的膨脹或收縮和光學材料折射率的變化，這些都會帶來光學系統內參數的變化，從而影響相機的測量精度。因此，對于溫度變化影響的分析和修正是必不可少的。本文首先分析了溫度變化對相機光學系統的影響機理，然后通過圖像點漂移現象建立了圖像點位置漂移模型，在此基礎之上利用曲線擬合方式建立溫度變化與內參數變化的關系模型，最后通過實驗對該模型進行驗證。結果表明，該模型可以有效地減小溫度變化對相機測量的影響。