基于有限元的衰蕩光腔內溫度分布仿真

邢素霞，曹 宇，郭瑞民，曹 珂

(1. 北京工商大學，北京 100048；2. 中國計量科學研究院，北京 100029；3. 江蘇省計量科學研究院，江蘇 南京 210023)

1 引言

光腔衰蕩光譜法(cavity ring-down spectroscopy， CRDS)由于測量速度快、靈敏度高、量程大、穩定性好，受光源強度和檢測系統噪聲影響小，不需要昂貴、費時的校準，被認為是潛在的氣體成分量測量基準方法[1-3]。

光腔衰蕩光譜測量系統需要一個溫度均勻且溫度變化小的實驗環境[4，5]。根據實驗測量精度要求，光腔的最大形變量要求控制在20nm之內，光腔溫度變化小于±0.003℃。為實現以上精度要求，為光腔設計一帶有加熱裝置的控溫箱體，將光腔置于箱體內部，箱體內加熱裝置均勻分布在控溫箱內，由于箱體各面散熱效果不同，相同的功率下，各加熱片附件溫度不同。為使箱體內溫度均勻分布，本研究利用有限元分析方法模擬控溫箱體內溫度分布，并采用參數化掃描優化加熱裝置的分布位置及功率大小，直至腔內溫度分布均勻。

COMSOL Multiphysics是一個多物理場耦合的仿真平臺[6，7]，可用于建模和模擬物理場問題，具有仿真結果可視化和強大的后處理功能，提高實際研究或生產效率。

2 衰蕩光腔控溫箱體幾何建模

本研究在 COMSOL 中根據成型控溫箱體直接繪制幾何模型。控溫箱體結構設計為中間鏤空的長方體，其長、寬、高分別為1.2m×0.22 m×0.22m。光腔置于長方體的控溫箱體中，在控溫箱內部分布有加熱片。繪制的衰蕩光腔模型結構如圖1所示。

圖1 衰蕩光腔幾何模型

3 基于有限元分析的溫度場分布

3.1 傳熱模型和定邊界條件

對衰蕩光腔溫度場仿真計算前，首先根據實際溫度場情況進行熱源分析，確定傳熱方式，設置并計算出傳熱模型的一系列邊界條件。

在本研究中，熱源是硅膠加熱片，熱傳導占主要部分，熱對流占次要位置。但是由于外界實驗環境為17℃，光腔溫度需要控制在25.5℃，箱體內部與外部溫差較大，而且箱體內各表面由于位置不同，導致與空氣對流的傳熱系數也不同，因此需要對6個面分布確定邊界條件。

傳熱模塊的邊界條件通常分為以下三種類型[8，9]：

1)第一類邊界條件

第一類邊界條件用以設置傳熱模型邊界上的溫度值。設置邊界溫度為常數，即tw等于常量，是第一類邊界條件最簡單的應用。在瞬態傳熱過程中，第一類邊界條件的關系式為

τ>0，tw=f1(τ)

(1)

2)第二類邊界條件

第二類邊界條件用以設置傳熱模型邊界上的熱流密度值。將邊界上的熱流密度設置成定值，即qw等于常數，是第二類邊界條件的最簡單的應用。在瞬態傳熱過程中，第二類邊界條件的關系式如下

(2)

3)第三類邊界條件

第三類邊界條件用以設置傳熱模型邊界周圍流體的溫度ft和周圍流體與物體之間的表面傳熱系數h。如果物體處于被降溫冷卻的狀態下，那么第三類邊界條件表示如下

(3)

以上三類邊界條件分別與數理方程中的三類邊界條件相對應，分別稱為Dirichlet條件、Neumann 條件和Robin 條件。

根據以上邊界條件的定義，第一類邊界條件將幾何模型外表面溫度設置為常量17℃。第二類邊界條件用于設置6個外表面，由于6個外表面位置不同，設置上稍微不同，但是基本方法一致。以上表面為例，如圖2所示。

圖2 上表面外部對流邊界

幾何模型通過上表面散發的熱量為

qo=h·(Text-T)

(4)

其中，h是上表面的對流系數，該對流系數與所處環境的空氣對流系數、上表面的等效板直徑、絕對壓力和外界溫度有關。其關系如式(5)所示

h=hair(L，pA，Text)

(5)

上表面與外界環境接觸，屬于外部自然對流。依次類推，設置其它5個外表面的邊界條件。

3.2 網格生成

確定傳熱模式和邊界條件后，設置初始加熱片功率，其中，4個側面內壁上的加熱片功率相同，2個地面內壁加熱片功率相同。利用有限元分析法將模型網格化劃分，網格越小，計算量越大，結果更加精確。本研究采用極端細化的模式將模型進行劃分，模擬加熱片進行加熱，計算得到控溫箱體初步溫度分布，如圖3所示，為經過網格化的衰蕩光腔幾何模型。

圖3 衰蕩光腔網格化幾何模型

3.3 參數化掃描優化

根據邊界條件初步計算的箱體內溫度分布，為達到精度要求，需進一步優化，改善加熱片功率設計。

COMSOL優化模塊中有基于梯度和無梯度兩種優化技術。無梯度優化方法適應于沒有解析導數且目標函數和約束不連續情況。優化模塊提供了四類方法：二次近似的界限優化 (BOBYQA)、Nelder-Mead、坐標搜索以及蒙特卡洛(Monte Carlo )方法。其中最常用的是蒙特卡洛方法。蒙特-卡羅模擬法是一種基于統計和概率的隨機模擬方法。此方法可以用隨機數或偽隨機數的方法來解決諸多計算問題。具體方法就是把特定的概率模型與目標求解的問題匹配關聯起來，然后通過計算機去實現抽樣或統計模擬，從而得到問題的近似解值。

與蒙特卡洛方法相比，參數化掃描的采樣點更多、更有規律一些[10，11]。通俗來說，參數化掃描就是遍歷法。按一定的規律，將所有可能的組合都計算一遍。相對于蒙特卡洛方法來說，參數化掃描的結果要更加全面。此外參數化掃描方法計算結果保留整個計算過程的結果。而蒙特卡洛方法只保留最后一次采樣時的結果。經過以上比較，本研究采用參數化掃描的方式進行優化。

4 仿真結果與分析

首先計算最優化下的控溫箱體內六個加熱片的理想功率，進而得到理想溫度分布。如圖4所示為經過仿真計算的衰蕩光腔控溫箱體內溫度分布情況。可以清晰地看到，雖然控溫箱體與外界環境接觸的位置與內部結構之間存在溫度差，但是溫度差極小，在0.06℃之內。控溫箱體中間的衰蕩光腔位置，溫差變化更小。為檢測衰蕩光腔位置溫差變化，沿光腔方向，隨機取樣18個點進行溫度采集，采集溫度如表1所示，根據采集溫度值，控溫箱體內等溫面分布如圖5所示。

圖4 衰蕩光腔溫度分布圖

表1 控溫箱體長度方向采樣溫度值

圖5 衰蕩光腔等溫面分布圖

根據表1中測量數據，其統計數據結果如表2所示，平均溫度25.4828℃，最大絕對誤差0.002℃，根據極差法誤差計算[12，13]，當測量次數為18次時，極差系數為3.64，得箱體內控溫精度為±0.0005℃，滿足衰蕩光腔溫度變化±0.003℃的精確度要求。

根據測量各點溫度求得加熱片內各面的理想功率，即最優解對應的形變量示意圖，如圖6所示。根據溫度變化導致光腔長度的變化關系。

圖6 溫度分布最優解對應的形變示意圖 (單位：nm)

5 結論

本研究對衰蕩光腔溫控箱體內實際溫度場的熱源分布進行分析，確定傳熱方式，設置并計算出傳熱模型的一系列邊界條件。然后利用參數化掃描方法，對溫控箱內的溫度分布進行迭代仿真，求得內部各加熱片的理想功率及各個面功率之間的關系，溫度控制精度達±0.0005℃，仿真結果顯示，通過設置合理的加熱片功率，可以滿足衰蕩光腔溫度變化±0.003℃的精確度要求。