基于相圖幾何特征的夾芯梁蒙皮裂紋識別方法

黃雅華，陳建恩*，葛為民，劉 軍

(1. 天津理工大學天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2. 天津理工大學機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384)

1 引言

裂紋是工程結構最典型的損傷形式，它的出現會影響結構的力學性能，其發展演化更是會為工程結構的安全帶來嚴重隱患和危害。諸如超聲波、紅外線等局部檢測技術，僅適用于靜態結構的裂紋檢測，對于復雜結構損傷或結構內部損傷，這些檢測手段往往無法適用。基于振動特性的整體檢測技術通過探測裂紋對結構振動響應的影響識別裂紋位置和深度。相比局部檢測技術，該類技術更加高效且具有更強的適應性，此外，基于振動特性的裂紋識別方法可以對裂紋進行實時檢測，在不影響工程結構正常運行的情況下完成檢測工作。

任何結構都可以看作是由質量、剛度、阻尼所組成的力學系統，裂紋的出現必然會影響結構的振動特性。目前，基于固有頻率[1，2]、模態振型[3]、頻響函數、柔度矩陣、振動功率流等[4，5]振動信息的裂紋識別方法得到了不同程度的發展，然而，每類方法均存在各自的缺點[6，7]。一些非線性振動特征被逐步用于裂紋識別，這些方法往往可以在裂紋形成前期就可以對其動態特性進行有效的描述，諧波響應是應用最為廣泛的非線性損傷指標[8]。此外，基于結構分岔特性、非線性強弱程度及非線性模態的裂紋識別方法也取得了一定的進展[9，10]，但由于非線性問題的復雜性，這些方法在工程應用上仍需進一步開發。理論上講，任何能夠反映裂紋特征的模態參數或振動信號變化都可以用來進行裂紋檢測，構建更為豐富的裂紋識別指標，尤其是針對微小裂紋的識別指標，仍是一個重要的研究方向。

點陣夾芯結構[11]是一種在航空航天領域有了一定應用的基礎材料，其線性和非線性動力學特性的研究已較為深入[12，13]。Li等[14]利用有限元軟件對具有桿件損傷的點陣夾芯板的動力學特性進行了研究。Tian等[15]基于振動信號對點陣夾芯板的蒙皮剝離進行了探測。對于點陣夾芯結構的損傷識別仍是一個亟待解決的問題。

相圖是非線性分析中常用的分析手段，包含了豐富的振動信息。相圖中的軌道在橫坐標上的投影體現了位移的信息，在縱坐標上的投影體現了速度的信息，整個軌道也表示出位移與速度之間的關系。裂紋的出現和演化必然會對相圖軌道產生影響，目前，有較多文獻利用相圖軌道的變化對裂紋參數進行定性分析[16，17]。其中，文獻[16]通過分析相圖形狀隨裂紋參數的變化規律，研究了含蒙皮裂紋夾芯梁的振動特性，指出了相圖幾何特征在裂紋識別方面的潛力，然而在相圖特征的定量分析方面仍有待突破。Andreaus 等[18，19]提出利用相圖中軌道的偏心率和偏移量差作為損傷指標的裂紋識別方法，使相圖信息能夠用于裂紋的定量分析，而這兩個指標均只用到軌道的位移信息。本文中，對相圖的幾何特征進行深入的挖掘，提出基于軌道包含面積的裂紋識別方法，并對含蒙皮裂紋點陣夾芯梁的動力學特性進行了分析。

2 裂紋梁的動力學方程

圖1(a)為點陣夾芯梁芯層的一個單胞，其中rc表示桿件半徑，α表示桿件的傾角，l表示桿件長度。此外，h表示梁的總厚度，hc=lsinα表示芯層的厚度，hf表示蒙皮的厚度。

本文基于Allen的經典夾芯梁理論展開研究[20]。圖1(b)為一段含裂紋簡支夾芯梁的示意圖，蒙皮裂紋位于上面板距離z軸L0的位置，裂紋深度為a，梁長度為L。夾芯梁的等效模型如圖1(c)所示，其中μ和m分別表示系統的等效阻尼和等效質量。

圖1 含裂紋點陣夾芯梁模型

在振動過程中，等效剛度隨裂紋位置和深度的變化而變化，且被描述成一個隨時間變化的周期函數，用下式表示

k(t)=ko+kΔC[1+cos(ωt)]

(1)

其中ko為夾芯梁在裂紋完全張開時的等效剛度，kΔC為等效剛度變化的幅度。考慮系統承受簡諧激勵，獲得外激勵作用下單自由度含蒙皮裂紋簡支點陣夾芯梁的動力學方程為[16]

(2)

其中，f為激勵幅值，ω為激勵頻率。對上述方程進行無量綱化處理，獲得含蒙皮呼吸裂紋點陣夾芯梁的無量綱動力學方程如下[16]，具體過程詳見參考文獻。

3 裂紋參數對夾芯梁振動響應的影響

3.1 裂紋參數對夾芯梁相圖的影響

取夾芯梁蒙皮和芯層的材料參數及夾芯梁的結構參數為：材料密度ρ=2770kg/m3，彈性模量E=71GPa，泊松比ν=0.33，芯層桿件半徑r=1mm，桿件傾斜角α=45°，芯層高度hc=15mm，蒙皮厚度hf=1.5mm，夾芯梁長度方向取25個單胞，單胞的底邊長取a=28mm。將芯層等效為連續均勻的材料，其相對密度和等效剪切模量由文獻[21]給出。利用龍格庫塔法對方程(3)進行數值仿真，取μ=0.2，f=6。采用主共振頻率ω=4作為激勵頻率，將夾芯梁振動的位移與速度看作裂紋位置比(β=Lo/ L)和裂紋深度比(ξ=a / hf)的函數，得到夾芯梁在不同裂紋參數下的相圖。

圖2 激振頻率為ω=4，裂紋位置比為β=0.5時，夾芯梁在不同裂紋深度比下的相圖

圖2表示裂紋位置比β=0.5時，夾芯梁在不同裂紋深度比下的相圖。相圖曲線呈較規則的單環形，且裂紋參數的變化必然導致相圖面積的變化。在主共振頻率激勵下，梁的振幅隨著裂紋深度的增加而增加。由于相圖同時包含了位移和速度的豐富信息，可利用相圖的幾何特征進行裂紋識別。

3.2 相圖的定量分析

本文采取“像素法”計算相圖上各閉合曲線的面積。為獲得分辨率一致的相圖，保持圖形中XY軸的區間刻度一致，然后在MATLAB默認窗口截取圖像。激振力f=6時將X軸的橫坐標區間設為[-8， 8]，Y軸縱坐標區間設為[-30， 30]。保持裂紋深度比或位置比不變，用主共振頻率ω=4作為激勵頻率繪制夾芯梁的相圖，在默認成圖窗口截取只含X軸、Y軸和相圖曲線的圖片。

圖3 MATLAB對相圖的處理過程

圖3是MATLAB對相圖的處理過程。用MATLAB讀取圖像，對其進行二值化處理，對封閉區域進行邊緣檢測，去除邊界，對封閉區域標號，并提取各連通封閉區域為白色區域，分別得到相圖在各個象限分布的區域如圖3(b)所示，計算白色區域的像素。

本文采用主共振激振頻率(激振頻率ω=4)對夾芯梁進行激勵，研究夾芯梁在不同裂紋參數下相圖面積的變化情況。

3.2.1 裂紋深度ξ變化對參數η的影響

由圖2可以看出隨著裂紋深度的變化，相圖面積呈現緩慢變化的趨勢。并且，具有不同裂紋參數的點陣夾芯梁的相圖面積比較接近。為形象描述這種“微小變化量”且使識別指標更具有區分度，本文采用“準標準差”處理相圖面積，給出下式

圖4 裂紋位置比β=0.4，裂紋深度比和激振力變化對參量η的影響

M表示不含裂紋的相圖面積；xn表示裂紋位置比β不變時，裂紋深度比ξ在0.2～0.8范圍內變化的相圖面積(即x1，x2…x7分別表示ξ=0.2， 0.3， …， 0.8的相圖面積)。定義相圖面積參量η，該參量表示當裂紋深度比ξ由0.2到0.8變化時，含裂紋相圖面積和無裂紋相圖面積的差值與準標準差的比值，即

(5)

圖4是主共振發生時，在裂紋位置比β=0.4處，激振力f與裂紋深度比ξ的變化對相圖面積參量η的影響。圖4中可以看出，隨著裂紋深度比ξ的增加，η呈逐漸上升趨勢；隨著激振力的增加，參量η的變化不明顯。

3.2.2 裂紋位置β變化對參數η′的影響

x′n表示裂紋深度比ξ不變，裂紋位置比β在0.1～0.5范圍內變化時相圖的面積(即x′1，x′2， …，x′5分別表示β=0.1， 0.2， …， 0.5的相圖面積)，準標準差記為

(6)

η′表示當裂紋位置比β由0.1到0.5變化時，含裂紋相圖面積和無裂紋相圖面積的差值與準標準差的比值，得到下式：

(7)

圖5 裂紋深度比ξ=0.5時激振力與裂紋位置比的變化對參量η′的影響

圖5是主共振發生時，在裂紋深度比ξ=0.5處，激振力與裂紋位置比β的變化對相圖面積參量η′的影響。圖5中可以看出，隨著裂紋位置比β的增加，η′的值逐漸上升；隨著激振力的增加，參量η′的變化同樣不明顯。外力作用對η和η′的影響極小，這有利于利用參量η和η′的關系來識別并確定裂紋參數。

3.2.3 裂紋位置β和裂紋深度ξ同時變化對參量η、η′的影響

圖6 裂紋參數變化對參量η和η′的影響

圖6是裂紋參數變化對相圖面積參量η和η′的影響。為便于觀察參量的數值分布情況，在圖6(a)、(b)中標出七條等高線。圖6(a)是分別在β=0.1， 0.2， …，0.5的五個裂紋位置上，裂紋深度比ξ在0.2～0.8之間變化得到的參量η的等高線圖。例如，在圖6(a)中，過β=0.2作垂直于橫坐標的輔助線，在該輔助線上，裂紋位置比β=0.2保持不變。可以看到隨著裂紋深度比ξ增大，η呈逐漸增加的趨勢。圖3(b)是分別在ξ=0.2， 0.3， …， 0.8的七個裂紋深度中，裂紋位置比β在0.1～0.5之間變化得到的參量η′的等高線圖。例如，在圖6(b)中，過ξ=0.4作垂直于縱坐標的輔助線，在該輔助線上裂紋深度比ξ=0.4保持不變。可以看到隨著裂紋位置比β增大，η′呈逐漸增加的趨勢。等高線的存在表明在相同的η或η′值處會存在不同的裂紋參數，因此需要在相同條件下同時獲得一組η和η′值來實現對裂紋參數(位置、深度)的識別。

為了驗證該方法的合理性，現選取四種不同的裂紋情況，利用像素法求得不同裂紋參數的相圖面積參數η和η′如下表1所示。

表1 不同裂紋參數下η和η′的值

圖7 裂紋參數識別

在圖6(a)、(b)上分別找到對應于表1中不同裂紋參數的相圖面積參量η和η′的等高線，將η曲線和η′曲線置于同一圖中，進而可利用η和η′曲線對裂紋位置比和裂紋深度比進行識別。例如，已知裂紋位置比β=0.4，裂紋深度比ξ=0.8時，η=1.549、η′=1.404，在圖6(a)上找到η=1.549的等高線，并在圖6(b)上找到η′=1.404的等高線，將η=1.549曲線和η′=1.404曲線置于同一圖中，其交點對應的橫坐標和縱坐標分別為裂紋位置和深度。同理可得到β=0.4、ξ=0.6， 0.4， 0.2時，η和η′曲線的組合圖，如圖7所示。故憑借η和η′的數據可以實現對裂紋參數的準確定位。

4 結論

本文提出了利用相圖幾何特征進行裂紋識別的方法。采用“像素法”獲得主共振頻率激勵下含裂紋與不含裂紋的相圖面積，利用“準標準差公式”研究了主共振發生時，夾芯梁在不同激振力作用下，其相圖面積受裂紋深度或裂紋位置影響而變化的情況。定義相關的相圖面積參量為η和η′。研究結果顯示，在裂紋參數相同時，激振力大小對參量η和η′的影響極小。在同一激振頻率下，裂紋參數是影響相圖面積參量變化的主要因素。

隨著裂紋位置或者裂紋深度的增加，參量η和η′都呈現逐漸增大的趨勢。參量η的等高線近似水平方向分布，η′的等高線近似豎直方向分布，等高線的存在表明，對于相同的相圖面積參量，往往會對應不同的裂紋參數。找到η和η′這兩條關系曲線，可以得到與裂紋位置和裂紋深度有關的唯一交點。該方法的識別精度取決于相圖面積比的測算精度。

本文通過定量分析相圖的幾何特征，利用不同參量的等高線交點識別裂紋參數，取得了較為滿意的理論結果。該方法還可擴展為提取相圖的局部幾何特征來識別裂紋參數。但獲取“準標準差”的前提是需要獲得每組裂紋參數下夾芯梁振動的相圖面積，要獲得某組裂紋參數對應的等高線交點的前提也是需要預先計算出每組裂紋參數所對應的η和η′數值。換言之，只有預先通過理論計算或實驗得到如圖6的等高線圖，才能進一步對裂紋進行識別。因此，目前本方法僅適用于簡單結構的裂紋識別，對于復雜工程結構的裂紋參數識別仍需做進一步的研究。