磁懸浮準滑模目標跟蹤控制器設計

薛 鵬，任鵬飛，盧金燕

(河南工程學院，河南 鄭州 451191)

1 引言

在非接觸支撐控制技術中，磁懸浮技術的理論研究推進較為迅速。磁懸浮衍生的產品技術又以交通和航天領域的應用推進較快[1-3]。受到對象建模不確定和隨機干擾因素的影響，為磁懸浮系統設計對模型精度依賴程度低，抗干擾能力強的控制方案成為值得長期研究的方向。

基于線性時不變模型，PID控制以其結構簡單、參數整定方便的優點常見于控制方案的設計[4，5]，但存在穩態精度低、抗干擾能力差的缺點[6]。采用變參數PID控制或非線性PID控制可增強系統剛度，提高其抵抗外力沖擊的能力[7]。為提高系統抗干擾能力和穩定性，采用增加干擾觀測器的方式，以可控參數更多的分數階PID為基礎[8-10]，并融合遺傳算法、粒子群算法等人工智能的復雜算法更多地被用于磁懸浮控制[11，12]，以期待得到更好的控制效果。既有研究結論表明，對象建模的不確定性不利于系統有效控制方案的設計，有必要討論對精確模型依賴程度低的控制方案。

滑模控制律通過迫使狀態軌跡沿滑模曲面的切換線快速滑動到原點，具有響應快、結構簡單的特點[13-15]。又因滑模變結構控制不完全依賴對象模型，本文通過滑?？刂品桨笇崿F被控小球對目標懸浮位置的有效跟蹤?？刂菩盘栐诨Ｃ娴姆磸颓袚Q使得系統具有天然的抖振現象，為了保證系統輸出的平滑性，在滑模滑動階段采用連續控制的方法達到削弱輸出抖振的目的。最后，通過PID、滑模SMC1和準滑模SMC2三種方案控制效果的對比驗證了所得方案的有效性。

2 磁懸浮裝置動態模型分析

磁懸浮裝置的工作原理如圖1所示。被懸浮小球通過電磁引力克服來克服重力，實現在目標位置的穩定懸浮?？梢孕∏虻牧W方程、線圈的電磁方程為基礎建立其動態數學模型。

圖1 懸浮裝置原理分析

忽略小球受到的不確定干擾力，則被控對象小球在此系統中只受電磁引力和自身重力的影響，其在豎直方向的動力學方程可描述為

(1)

式中，x為小球質心與電磁鐵磁極之間的氣隙(以磁極面為零點)，m為小球的質量，重力加速度g=9.8m/s2。

在圖1所示磁懸浮系統中，小球到電磁鐵磁極的氣隙為x，而磁阻主要集中在電磁鐵磁極和小球所組成的氣隙上。又因為鐵芯由鐵磁材料制成，其磁阻與氣隙磁阻相比很小，故，磁阻為

(2)

式中，l為鐵芯的導磁長度；μ0，μ為鐵芯的相對磁導率；A，A0為鐵芯導磁截面積。

由磁路的基爾霍夫定律有

Ni=φ(i，x)R(x)

(3)

則

(4)

式中，N為電磁線圈繞線匝數。

假設電磁鐵沒有工作在磁飽和狀態下，且每匝線圈中通過的磁通量都是相同的，則線圈的磁通鏈數為

(5)

又由畢奧-薩伐爾定律可知，在空間任意一點所產生的磁感應強度都與回路中的電流強度成正比，因此磁通量φ也與I成正比，即

Nφ=Li

(6)

則瞬時電磁鐵繞組線圈電感為

(7)

磁場的能量

(8)

則小球受到的電磁引力為

(9)

可知，電磁引力與氣隙是非線性的反比關系，這也是磁懸浮系統不穩定的根源所在。

再分析電磁鐵中控制電壓和電流的模型，將電磁鐵線圈用一電阻和電感線圈串聯來代替。由電磁感應定律及電路的基爾霍夫定律可知

(10)

當小球處于平衡狀態時，其加速度為零，此時小球所受合力為零。小球受到向上的電磁引力與小球自身的重力相等，因此得系統平衡邊界條件

mg+F(i0，x0)=0

(11)

至此，磁懸浮系統方程聯合描述為

(12)

在(12)式中，電磁系統中的電磁引力F和電磁鐵繞組中的瞬時電流i、氣隙x之間存在著較復雜的非線性關系。考慮系統懸浮目標范圍不大，對系統在目標位置處進行線性化處理。應用泰勒級數，并略去高階項，可得

F(i，x)=F(i0，x0)+Fi(i0，x0)(i-i0)

+Fx(i0，x0)(x-x0)

(13)

式中，F(i0，x0)是當磁極與小球間的氣隙為x0，平衡電流為i0時電磁鐵對小球的電磁引力，該引力與小球的重力平衡，所以有

F(i0，x0)=-mg

(14)

(15)

(16)

那么，系統方程(12)中的第一個等式可寫作

(17)

進行拉普拉斯變換，得

(18)

再由邊界條件(11)，得

(19)

定義系統對象的輸入量為功率放大器的輸入電壓，也即控制電壓Uin，系統對象輸出量為懸浮位置所反映出來的輸出電壓，也即傳感器后處理電路輸出電壓Uout，則該系統控制對象的模型可描述為

(20)

式中，ka，ks為相應控制電壓信號對應的增益系數。

以線圈電壓uin為輸入，小球懸浮位置y=x為系統輸出，可由(20)式得系統狀態表述模型為

(21)

以固高磁懸浮實驗裝置GML1001為參照對象，表1給出了試驗中所采用的磁懸浮系統的主要參數。那么，式(21)中，c=2502.96，a0=981.511。

表1 懸浮系統主要參數列表

3 控制器設計

以(20)(21)式作為系統模型，進行磁懸浮控制器設計。

3.1 PID控制器設計

在文獻[15]中，給出了一種PID控制器的設計思路，這里引用作為控制效果比較對象。其控制參數Kp，Ki，Kd，設計過程簡述如下：

(22)

(23)

(24)

記跟蹤誤差e=r-y=r-cx1，控制律設計為

(25)

這種控制方案以欠阻尼閉環穩定為設計目標。

3.2 SMC控制器設計

在系統方程(21)中，由輸出方程可得

y=cx1

(26)

那么，懸浮位置跟蹤目標r為給定常數，跟蹤動態誤差為

e=r-y=r-cx1

(27)

由系統方程(21)中的狀態方程可得

(28)

誤差e決定控制系統的控制律。為使得系統完全漸近穩定，對任意初始值e(t0)，需要

(29)

設計磁懸浮系統滑模曲面為

(30)

那么，由(28)(29)式，可得

(31)

(32)

(33)

此時，系統漸近穩定，誤差以1/λ為時間常數按指數律趨近于零。

為了使得系統能夠快速到達滑模面，進入滑動階段，考慮擾動上界，采用控制律

(34)

式中，β≥e為不確定擾動的上界，當懸浮目標位置為20mm時，可取β≥20a0=981.511×20。f(·)是滑動階段的切換函數。切換函數的限幅依賴控制電壓，其范圍限制在[-10+10]。

由(31)和(34)得系統控制量為

uin=ueq+Δup

(35)

式中，Δup是與擾動相關的補償控制量，有

(36)

對于(34)和(36)式中切換函數的選擇問題，在滑?？刂频牡竭_階段考慮快速性，在滑動階段考慮平穩性。分別記

(37)

(38)

記李雅普諾夫函數為

(39)

有

(40)

這表明兩種滑?？刂品桨妇墒沟盟O計系統的穩定性是滿足的。仿真分析中進一步對控制系統的動態性能進行分析。

4 仿真分析

以表1中列寫數據為被控對象主要參數，通過所設計的控制律實現懸浮小球在目標位置懸浮的仿真分析。如表中所示，小球平衡時球心到電磁鐵底面的距離為20mm，而小球半徑為12mm，因此，小球上切面到電磁鐵底面的距離為8mm。

4.1 目標跟蹤分析

圖2所示為三種控制方案的仿真結果。其中PID控制方案為文獻[18]中的方案，采用(34)和(35)式所得方案時，分別用SMC1和SMC2進行標識。在圖2結果中，PID方案的控制效果和參數調節直接相關，僅實現了系統的欠阻尼穩定輸出控制，仿真結果具有較大的超調量；SMC1方案采用符號函數設計等速趨近律，在系統進入滑動階段后存在明顯的抖振現象；采用飽和函數后，SMC2控制方案呈現平滑穩定的控制效果。

圖2 小球懸浮位置的階躍響應

表2對三種控制方案的目標跟蹤性能指標進行了對比，可見，SMC2方案在保證快速性的同時，實現了無超調平穩跟蹤，并且在穩態階段沒有明顯抖振現象。

表2 目標跟蹤性能指標

滑模控制方案SMC2的動態相函數在圖3中給出，可見：滑模控制在到達階段具有快速收斂特性，并在滑動階段非常平穩。

圖3 SMC2控制方案中的滑模曲面趨近

4.2 抗擾能力分析

進一步分析所得控制方案的抗干擾能力。在小球位置輸出的反饋環節加入幅值為給定信號2.5%的隨機干擾，分別采用三種控制方案得到小球懸浮位置輸出如圖4所示。與PID方案和SMC1方案相比，準滑模控制方案SMC2的優勢在于速度快并且沒有超調。在外部干擾存在的情況下，t=1秒時跟蹤目標的變化導致SMC1方案出現較大的輸出波動。圖5給出了在1.2s-1.5s時三種控制方案的輸出比較，可見，切換控制SMC1出現明顯抖動，而方案SMC2仍然保持快速平穩的控制效果。

圖4 干擾影響下小球的懸浮位置輸出

圖5 系統穩態振幅(1.2s-1.5s)

方案SMC2對于外部干擾具有較強的魯棒性，其代價是需要更強的控制作用。圖6給出了圖4中三種控制方案所對應的控制律，可見，方案SMC1的控制律在[-1，1]，而方案PID的控制律在[-3，3]，而SMC2方案對應的控制律范圍為[-50，50]，即便在穩態階段，控制律也在[-15，15]范圍內波動，明顯比另外兩種方案大得多。

圖6 三種方案在干擾影響下的控制律

5 結束語

針對模型不確定性問題，本文采用滑模變結構方法為單自由度磁懸浮小球的控制問題設計了準滑模控制方案，分析結果顯示：

1)給出的PID、切換變結構滑模SMC1和連續滑動結構準滑模SMC2三種方案均實現了對目標位置的穩定、快速跟蹤。

2)采用連續滑動結構的準滑?？刂票惹纷枘酨ID控制具有更平穩的過渡過程，比切換變結構滑?？刂凭哂懈交姆€態輸出。

3)在滑動階段采用連續控制律的SMC2抖振較小，具有更強的抗干擾能力。

材料技術的成熟和快速處理器的不斷出現為復雜算法的實時應用提供了基礎。所得結論為后續研究及實證試驗測試提供了參考方案。