為解題教學找“理由”

【摘 要】在教學資源泛濫的背景下，數學解題教學中“教考掛鉤”“拿來主義”的現象日趨嚴重，導致解題教學偏離了正常的軌道。“大概念”學科領域中最精華、最有價值的核心內容是學科教學的靈魂。在“大概念”的統攝下，有助于教師樹立解題教學的理念，明確解題教學的目標，規劃解題教學的流程。

【關鍵詞】解題教學;大概念;拿來主義

【作者簡介】呂增鋒，正高級教師，甬城教育名家，寧波市領軍拔尖人才。

【基金項目】2021年寧波市教育科學規劃重點課題 “大概念視角下高中數學單元教學的研究”（2021YZD079）;2021年浙江省教研課題“基于核心素養的高中數學課改進的實踐研究”（G2021073）

解題和解題教學在數學教育中具有舉足輕重的作用。尤其在高三復習階段，例題講解、解題訓練幾乎占用了師生的大部分時間。雖然解題與解題教學對于提升學生的解題水平與數學思維能力具有重要的作用，但它們本身也存在一些不足。在學術界，解題教學也存在不少爭議，比如，“解題教學是模仿教學還是思維教學”“堅持題海戰術還是倡導精講精練”“是否應當劃分問題類型”等[1]。不僅如此，解題成效持續時間短更是普遍存在的問題。我們暫且不去深究解題與解題教學的是與非，但它們所指向的教學現實值得大家深思。

一、解題教學需要“理由”

在一些教師眼里，解題教學是很隨性的一件事，發現“好”的題目或“好”的方法，教師就拿去課上講。例如，筆者最近觀摩的一節高三第二輪復習課，執教教師講授了以下題目。

例1（2011年浙江卷理22）設函數f（x）=（x-a）2lnx，a∈R。

（1）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a。

（2）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立。注：e為自然對數的底數。

這是一道高考數學壓軸題，第（2）問的難度比較大，一般的學生很難完全做對。針對此情況，授課教師提出了“必要性探路”的解題策略，即在x∈（0，3e]中找特殊值代入f（x）≤4e2，把a的大致范圍先確定出來，然后再縮小a的范圍，最后驗證充分性確認答案。當授課教師把x=e，e2，3e分別代入f（x）≤4e2后，得到a的取值范圍是3e-2eln（3e）≤a≤3e，而巧合的是，這就是最終的答案。當然，基于解題的嚴密性還需要進一步驗證其充分性，并且驗證的過程也不見得比常規解法簡單。

不可否認，“必要性探路”的解題策略在解題中是有一定價值的，但該方法是否值得教師花一節課去講？講了以后，又有多少學生能夠掌握？如何避免解法對學生造成思維干擾？在解題教學之前，教師應充分考慮這些問題。這些問題的答案直指解題教學的“理由”，即為什么教、教什么、怎么教、教了有什么用。這些“理由”不僅支撐起解題教學的理念，決定教師的教學行為，還決定解題教學的預期成效。

在本節課，教師應關注以下三個方面的問題。首先，“必要性探路”的解題策略不屬于解題的通性通法，而是一種解題的輔助技巧，在某些情況雖然能夠提高解題速度，但不具備一般性，因此，“為什么教”“教什么”的理由不充分。其次，即使這種方法有用，但只通過一節課，學生能否領悟其中的精髓，結果不得而知，因此“怎么教”的理由不充分。最后，在運用“必要性探路”的解題策略解題后，驗證其充分性的過程有時會比較煩瑣，容易導致有的學生不去關心驗證的過程，而只關注這種方法在“湊對”答案時所帶來的快感，無形中助長了解題投機的心理。因此，“教了有什么用”的理由也不充分。

二、解題教學“理由”的窄化

受應試教育功利化的影響，一些教師的解題教學的“理由”易呈現“窄化”的趨勢。從理論上講，解題教學講哪些題、用什么思想方法、難度把控等問題應該由育人目標與課程標準決定，但事實上考試大綱或者高考導向，甚至是模擬考、聯考對解題教學的影響更大，基本上是“考什么題，就教什么”“考多難，教多難”。

不可否認，把解題教學與考試直接掛鉤的做法在短期內確實能夠提高學生的答題速度與準確率，但容易導致思維固化，應變能力弱化。尤其是遇到創新性與靈活性比較強的問題時，學生更容易出現思維固化的現象。以下面兩道高考題為例。

例2（2008年浙江卷理15）已知t為常數，函數y=|x2-2x-t|在區間[0，3]上的最大值為2，則t=。

在課堂上，由于教師平時講二次函數比較多，學生習慣上把函數y=|x2-2x-t|當作含絕對值的二次函數來處理，對參數t進行分類討論，雖然最后能解出正確答案，但解題過程煩瑣。實際上，令m=x2-2x，則y=|m-t|，就可將問題轉化為含絕對值的一次函數，結合函數圖象，易得到t=1。

例3（2012年浙江卷理17）設a∈R，若x>0時均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=。

當看到這么復雜的問題，很多學生馬上慌了手腳，根本不會想到可以通過變形，把 [（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0轉化為[ax-（x+1）][ax-（x2-1）]≤0，再類比一元二次不等式解集的幾何意義，得到y=ax的圖象介于y=x+1與y=x2-1圖象之間，即y=ax過y=x+1與y=x2-1的交點（2，3），則a=32。

很多教師把學生不會做上述兩道題的原因歸結為遇到了陌生題。本著“一回生，二回熟”的理念，很多教師認為短期內最有效的方法就是讓學生在考前大量刷題，這無形中助長了“拿來主義”之風。隨著網絡的發展，試題分析與解題方法的獲得比較便利，很多時候也不需要教師親自去整理題目，就已經有人幫歸類。于是，“拿來主義”成為數學解題教學的“理由”，各種怪題、偏題、難題，眼花繚亂的解題技巧充斥著解題教學的課堂。

我們知道，數學解題能力的提升不是在于教師的灌輸和純粹的記憶與模仿，而是要立足學生已有的解題經驗，讓學生觸發對數學思維認知結構的意義建構。解題經驗是基本知識、基本方法與條件的有序組合，是學生面對問題時，頭腦中出現的解題模式或者算法流程。在解題時，學生首先把題目所蘊含的語義納入已有解題經驗中去理解，對題意進行加工，從而建構起其自己所理解的題意，并在此過程中對題目進行模式識別，尋找思路[2]。這就意味著，如果解題教學難度過大，與學生已有的解題經驗脫節嚴重，那么題意的理解與模式的識別就失去了經驗依據，解題就成了“無源之水，無本之木”，導致“聽得懂，不會用”;如果解題教學中，相同的解題經驗被反復調用，就容易形成思維定式，導致“解題思路不開闊”。不僅如此，由于學生的智力結構特征和學習基礎不同，解題經驗也存在明顯差異。因此，“拿來主義”無法達到教學難度與學生實際認知水平之間的平衡，也無法發揮解題教學的應有功能。

三、數學解題教學中的“大概念”

由此可見，把“教考掛鉤”與“拿來主義”作為解題的理由是不“充分”的。那么，數學解題教學的“理由”到底是什么？ 筆者認為是數學“大概念”。“大概念”是一種聯結，居于學科的核心，是反映專家思維方式的概念、觀念或論題[3]，用于整體理解和聯結相對分散的事實、知識、技能或經驗，促進學習內容、思想方法、情感態度等方面發生遷移的思想或看法。“大概念”引領下的數學解題教學不僅有利于教師統攝教學內容，促進課程的一體化建設，實現跨學科的融合，而且使學生的學習變得有意義、有深度，促進學科核心素養的發展。

（一）“大概念”的內涵

“大概念”的“大”不是指龐大，而是指核心、高位或上位，即學科領域中最精華、最有價值的核心內容，是力圖對學生的認知基礎進行集成與融合，具有較強的遷移價值。在高中數學中，核心概念、中心問題和主要思想方法因具備上述的屬性，而成為“大概念”的主要表現形式。比如，函數是刻畫客觀世界變化規律的重要模型;平面向量是溝通代數、三角、幾何的橋梁;解析幾何的核心是用代數方法解決幾何問題等，這些都可以稱作數學中的“大概念”。

“大概念”有三種表現形式：第一種指概念，是對一類具體事物本質特征的抽象概括，比如，向量的運算由幾何運算與代數運算組成;第二種指觀念，表現為一種看法和觀點，反映概念與概念的關系，比如，函數單調性的學習為函數其他性質的學習提供了一般認知經驗;第三種指論題，有些“大概念”很難有明確的答案，這時可能表現為論題，比如，數學是有趣的。[3]64-77

（二）解題教學中的“大概念”

“大概念”也有層級之分，從高到低一般依次為：課程大概念、單元大概念、課時大概念。由于課程大概念處于頂尖位置，其下面的兩個“大概念”相對于它來說就成了小概念或者次要概念;同樣，課時大概念、章節大概念，相對于單元大概念來說，也是小概念、次要概念，這也說明了“大概念”的“大”具有相對性，在每個層級中都有處于統攝地位的大概念。

在數學解題教學中，比如，“像專家那樣思考”“熟知通性通法”，直指課程目標，是課程大概念;函數方程思想、數形結合思想一般貫穿于整個單元，可以理解為單元大概念;錯位相減法、累乘法作為某節課的核心概念，屬于課時大概念。

（三）“大概念”引領下的解題教學

以“大概念”統攝解題教學的目標定位、過程設計、例題甄選，可以確保解題教學遵循認知規律。具體操作如下。

1.以課程大概念“領路”，形成教學理念，明確教學目標。比如，在課程大概念“像專家那樣思考”驅使下，教師首先會去研究“專家”思考方式的特征以及形成的機制，而不會只想著如何把題目講清楚、如何傳授更多的方法。教師自己也會以“專家”的身份，反思自己是如何學會解題的，如何對問題做出快速而準確的判斷，把“研究”“反思”的結論細化為解題教學的目標，并分階段實施。

2.以單元大概念“鋪路”，設計教學的流程，發展解題思維。比如，上文的例1是體現單元大概念分類討論與參數分離的較好載體。解題思路如下。

對函數f（x）=（x-a）2lnx直接求導，得f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax），要求f（x）的最大值，則需對參數a進行分類討論。

當x∈（0，1]時，f（x）≤0<4e2顯然成立;當x∈（1，3e]時，對（x-a）2lnx≤4e2進行參數分離，得x-2elnx≤a≤x+2elnx。

接著，教師可以“比較兩種思路孰優孰劣”為主線，設計教學流程。

3.以課時大概念“行路”，提煉解題技巧，明確探究任務。還是以上文例1為例，若以“簡化討論”作為課時大概念，那么對f′（x）=（x-a）（2lnx+x-ax）就可以用“必要性探路”的策略進行解答。若以“放縮變形”作為課時大概念，對于x-2elnx≤a≤x+2elnx，令g（x）=x-2elnx，顯然g（x）在定義域內單調遞增，則gmax（x）=g（3e）=3e-2eln3e;令h（x）=x+2elnx，求導不容易判斷h（x）的單調性，如果借助不等式lnx≤xe進行放縮，就會變得容易得多。因此，這節課就可以專門探討關于自然對數lnx的放縮技巧（x-1x≤lnx≤x-1）及其應用。

波利亞反對讓學生做大量的題目，他認為，如果一位數學教師把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練學生，那這位教師就扼殺了學生的學習興趣，妨礙了學生的智力發展，這是波利亞所信奉的解題教學“理由”。雖然每位教師都有自己的解題教學“理由”，但在以發展核心素養為育人目標的教育背景下，數學“大概念”理應成為解題教學“理由”的主要依據。

參考文獻：

[1]張輝蓉.數學解題教學是非之爭及思考[J].中國教育學刊，2010（5）：38-42.

[2]閆濱. 高中學生數學解題經驗對解題思路的影響[J]. 現代基礎教育研究，2012（4）：193-197.

[3]劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型：兼論素養導向的課堂變革[J].教育研究，2020（6）：64-77.

（責任編輯：陸順演）