基本不等式

重點難點

掌握基本不等式，能利用基本不等式求最大（小）值問題；能應用基本不等式證明不等式的問題；能應用基本不等式解決實際問題；能應用基本不等式解決相關綜合性問題；突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練；訓練過程中注意對等價轉化、分類討論及邏輯推理能力的培養.

方法突破

1. 一個技巧

2. 兩個變形

這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們.

3. 三個注意

（1）使用基本不等式求最值，失誤的主要原因是對其存在的前提“一正、二定、三相等”的忽視. 要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.

（2）在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.

（3）連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母的取值存在且一致.

典例精講

思索 解決問題（1），關鍵在于利用基本不等式求出p的取值范圍；解決問題（2），關鍵在于恰當應用基本不等式的變形形式.

評注 本題（2）中的結論是由基本不等式簡單推導而來的一個不等式鏈，可作為結論使用.

評注 在利用基本不等式“和式≥積式”求最值時要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值，求積式最大值時應使和式為定值；三是考慮等號成立的條件.

思索 先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質相加得到.

評注 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理轉化為需要證明的問題.

已知正實數x，y滿足x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍為________.

評注 當不等式一邊的函數（或代數式）的最值較易求出時，可直接求出這個最值（最值可能含有參數），然后建立關于參數的不等式求解.

某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D1的休閑區和環公園人行道（陰影部分）組成. 已知休閑區A1B1C1D1的面積為4000 m2，人行道的寬分別為4 m和10 m（如圖1所示）.

（2）要使公園所占面積最小，則休閑區A1B1C1D1的長和寬該如何設計？

思索 用長寬比x表示出面積，利用基本不等式求最值即可. 還應注意定義域，函數取最小值時x是否在定義域內，若不在定義域內，則不能用基本不等式求最值，此時就考慮運用函數的單調性求解.

計為長100米，寬40 m.

評注 利用基本不等式解實際問題時要注意以下幾點：①設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數；②根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值；③在求函數的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內求解.

變式練習

7. 為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-■（k為常數）. 如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件. 已知2014年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2014年該產品的利潤y（萬元）表示為年促銷費用t（萬元）的函數；

（2）該廠家2014年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？

參考答案

1. B 2. C 3. C