帶有非局部條件半線性中立型測度方程的可控性*

劉文杰

(安徽城市管理職業(yè)學院公共教學部，安徽 合肥 230011)

引言

假設(X，‖·‖)是一個Banach空間，A：D(A)?X→X是C0半群{T(t)，t≥0}無窮小生成元，J∈[0，b]，b>0，U是一個Banach空間，L2(J，U)是一個允許控制函數的Banach空間，算子B：U→X是有界的線性算子，記號C(J，X)表示從J到X上全體連續(xù)函數構成的空間，G(J，X)為J上的正則函數空間.

考慮如下帶有非局部條件的半線性中立型測度方程：

(1)

其中變量x(·)在Banach空間X上取值，g：J→R不減的左連續(xù)函數，f，h：J×X→X，控制函數u∈L2(J，U)，p：C(J，X)→X后面給出定義.

測度方程由Das[1]提出并研究，在許多應用數學領域都有應用，如控制論、博弈論、物理學等[2-4].眾所周知，常微分方程描述的系統受到擾動時，擾動是連續(xù)或可積的，則擾動后的系統仍是常微分方程；若擾動是脈沖型的，擾動后的系統就成為測度方程.測度方程涵蓋了一些常見的方程模型，如：常微分方程、差分方程、脈沖微分方程.在最優(yōu)控制問題中，若控制函數u(t)是脈沖型的，控制系統會產生瞬動性態(tài)，描述這樣的系統，就要用測度方程.更多關于測度方程的介紹見文獻[5].近年來，許多學者研究Banach空間中具有非局部條件的微分積分方程可控性問題[6-8].如：申明圓[6]等人利用分數階緊算子理論和Kuratowski不動點定理討論帶有非局部條件的分數階中立型微分系統近似可控性.杜珺[7]等人應用非緊測度性質和不動點理論，給出一類具有無窮時滯非局部條件下分數階中立型積分微分演化系統可控性的充分條件.受到上述啟發(fā)，文章在強連續(xù)半群非緊的條件下，通過將可控問題轉化為積分算子不動點問題，使用Kuratowski非緊性測度估計及不動點定理討論帶有非局部條件的半線性中立型測度方程的可控性.

1 預備知識

回顧一些相應的概念及正則函數空間中Kuratowski非緊性測度的若干性質.

h(t+)=h(t)+f(t)Δ+g(t)，t∈[a，b)，h(t-)=h(t)-f(t)Δ-g(t)，t∈(a，b]

定義2[4]一個集合A?G([a，b]，X)稱為等度正則的，當且僅當?ε>0，t0∈[a，b]，存在δ>0，使得：

定義3 函數x∈G(J，X)被稱為方程(1)的溫和解，若x(0)+p(x)=x0成立，且滿足如下測度積分方程：

定義4 若?x0，x1∈X，存在控制函數u∈L2(J，U)，使方程(1)的解滿足x(b)+p(x)=x1，則方程(1)稱為在J上非局部可控.

引理4[10]設X是Banach空間，D是X中的有界集，存在D的可數子集D0?D，使得α(D)≤2α(D0).

引理5[6]設Ω是Banach空間X上的閉凸非空集合，P，Q的映射是從Ω→X,且滿足：

1)Px+Qy∈Ω(?x,y∈Ω)，2)P是壓縮映射，3)Q是緊的和連續(xù)的，則Px+Qx=x存在一個不動點在Ω中.

2 主要結論

討論帶有非局部條件半線性中立型測度方程的可控性，為方便敘述，假設如下：

(H2)若?x∈G(J，X)，函數f(·，x(·))∈LSg(J，X)，且映射x→f(·，x(·))從G(J，X)到LSg(J，X)是連續(xù)的.

(H3)存在函數φ∈LSg(J，R+)和一個非減的連續(xù)函數φ：R+→R+使得‖f(t,x(t))‖≤

(H4)在函數m∈LSg(J，R+)，對于任意的有界集合B?X，得α(f(t，B))≤m(t)α(B).

(H5)p，h：G(J，X)→X連續(xù)且緊，存在正常數G1>0，使得‖p(x)‖≤G1，?x∈G(J，X).

(H6)存在常數c1，c2，Lh，使得(-A)βh(t,x)連續(xù)且滿足：

‖(-A)βh(t，x)‖≤c1‖x‖+c2，‖(-A)βh(t，φ)-(-A)βh(t，φ)‖≤Lh‖φ-φ‖.

(h′)W的逆算子W-1存在，它取值于L2(J，U)/kerW，且存在常數M2，M3，使得‖B‖≤M2，

‖W-1‖≤M3.

(h″)存在Kw∈L1(J，R+)，對任意有界集合Q?X，有：α((W-1Q)(t))≤Kw(t)α(Q(t)).

定理1假設(H1)～(H7)成立，記:

M0=‖(-A)-β‖，

M=‖x1‖+G1(1+M1)+M1(‖x0‖+M0(c1(‖x(0)‖+‖x(b)‖)+c2))+

則系統(1)在J上非局部可控.

證明通過(H7)，對任意的函數x(·)，定義控制函數：

u=W-1{x1-p(x)-T(b)[x0+h(0，x(0))-p(x)]+h(b，x(b))+

定義算子Γ：G(J，X)→G(J，X)

若可以證明Γ有一個不動點，則該不動點就是方程(1)的解.顯然，Γ(x)(b)=x1-p(x)，即指明控制函數u(·)將方程(1)從初始狀態(tài)控制到時刻b的狀態(tài).

設l>0，Bl={x∈G(J，X)：‖x‖∞≤l}，Bl是有界閉凸集，記：Γ(Bl)={Γ(x)：x∈Bl}.

步驟1：一定存在一個正數l>0，使得Γ(Bl)?Bl.反之，則存在一個函數xl∈Bl，使得Γ(xl)?Bl，即Γ(xl)(t)>l，于是

不等式兩邊同時除以l，并取l→+∞時的極限，得出:

這與假設條件矛盾.因此，一定存在一個正數l>0，使得N(Bl)?Bl.

設Γ=Γ1+Γ2，其中Γ1，Γ2分別定義為如下形式：

接下來，證明算子Γ1是壓縮的，Γ2是緊算子.

步驟2：證明算子Γ1是壓縮的，對任意的x，y∈Bl，由條件(H6)及假設條件可知

‖Γ1(x)(t)-Γ1(y)(t)‖≤‖T(t)(-A)α(-A)-α(h(0，x(0))-h(0，y(0)))‖+

因此，得出算子Γ1是壓縮的.

步驟3：為證明算子Γ2是緊的.首先證明Γ2是連續(xù)的.設{xn，n∈N+}∈Bl，且xn→x(n→∞)，由(H5)(H6)和T(t)的有界性，對每一個t∈[0，a]，當n→∞時，有

其中p(V)是相對緊的且T(t)是強連續(xù)算子，應用Arzela-Ascoli定理可知集{T(·)p(V):V?Bl}相對緊的，所以α(T(·)p(V))=0.而由條件(H1)～(H7)可推出：

從而得出：

故α(V(t))=0，t∈J.得出V是相對緊的，由引理5知Γ有一個不動點，即方程(1)是可控的.

3 例子

考慮以下帶有有非局部條件的半線性測度方程：

(2)

令X=L2([0，π])，v，k：[0，π]×[0，π]→R是連續(xù)函數，定義A：X→X,由Az=z″,并滿足：

D(A)={z∈X：z絕對連續(xù),z″∈X，z(0)=z(π)=0}

顯然g：[0，1]→R是一個左連續(xù)不減函數.并假設以下條件成立：

(h1)函數v(τ，x)是可測的，v(τ，0)=v(τ，π)=0，且滿足：

(h2)令F(t，ω(x))=f(t，ω)(x)，t∈[0，1]，x∈[0，π].F(t，ω(x))=2sin(ω(x))，則

(h3)對任意有界集D?X,有α(f(t，D))≤2α(D).

W-1∈L2(J，X)/kerW.