巧設妙解　殊途同歸

摘要：平面內圓與多邊形問題是中考，高考常見題型，中考常以平面圖形中幾何方法處理解決，高考中常與三角、不等式、向量等代數問題結合求解，是一類難度較大的題目.解決此類題目的方法多樣，但選取不同的策略，會造成求解的難度不一，本文一道高三診斷性試題的求解出發，談談此類問題的解題策略.

關鍵詞：最值;圓;策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0031-02

問題呈現如圖1，兩同心圓圓心為O，r=6，r=8，矩形ABCD內接于圓，AB，CD分別為兩圓的弦，求矩形ABCD面積最大值？（2021年四川省數學會高三模擬測試題）

分析本題為2021年四川省數學會命制的高三文科模擬測試題填空壓軸題，求解本題時學生對平面幾何相關知識忘記太多，對問題轉化的能力欠缺，求解四邊形面積策略單一（轉化為長度之積），計算量大，利用不等式相關知識不易處理.下面我們從不同角度探究一下本題的解法策略.

評注將四邊形面積轉化為三角形面積，利用三角形面積公式S=1/2ah.本題易知三角形AOD的一邊為定值，高在變化過程中有最大值為另一條邊，將面積最值問題轉化為三角最值問題，簡潔明了，思維清晰，是初中學生最易想到解決問題的方法.

評注將四邊形面積轉化為三角形面積，利用三角形面積公式S=1/2absinC.本題易知三角形AOD有兩條邊為定值，故將三角形面積最值轉化為角度的正弦值最值，將面積最值問題轉化為三角最值問題，簡潔明了，思維清晰

評注直接利用邊長之積求四邊形面積直觀明晰，利用題目中圓內相關關系找到兩邊之間關系，通過同一未知數代換，這一種求解策略解題時易思維入手，但運算較為不易，若不利用柯西不等式則極不方便求解最值，對考生不等式知識要求較高.

評注將幾何問題轉化為代數中三角問題求解，是由初中到高中思維能力提升的一個標志，利用同一長度建立不同角度之間的等量關系，進而將幾何問題轉化為三角函數最值求解.充分利用角度之間的等量關系，利用三角變換，輔助角公式將三角函數化為“三個一”（同一角度、同一函數、一次式）便于求解.

從初中平面幾何到高中解析幾何的學習，實質上是從幾何到代數的一個學習大一統，從不同角度去思考平面圖形的相關性質，充分利用數形結合，簡化思維，提升運算能力.利用三角，向量，不等式、函數等策略去思考與圓相關問題，其本質上殊途同歸，但能起到事半功倍的效果，雖解法策略有所不同，但本質上均利用了化歸與轉化的思想，殊途同歸.

參考文獻：

[1]李良.初等數學最值問題的解法探討[J].中學教學參考，2021（02）：20-22.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文為成都市名師專項課題《初高中數學銜接與教材整合實踐探究》（編號CY2018M30）研究成果.