四種策略解三角形最值問題

陳映森　劉延霞

摘要：解三角形是高考常考的一個考點，會涉及到正弦定理，余弦定理以及三角形面積公式，等一起聯合考查，難度屬于中檔層次.一般著重求三角形的邊長、周長、面積等的最值.主要的應對策略有四種：①基本不等式法，將所求用“邊”表示;②三角函數的有界性法，將所求用“角”表示;③幾何法，利用動點的幾何性質求解;④三角換元法，利用換元代替求解.

關鍵詞：基本不等式;三角函數;余弦定理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2021）28-0046-02

一、題根研究

點評在解三角形的題型時常常要用到“化角為邊”或者“化邊為角”，此題通過三角形的正弦定理將邊關系用角的關系表示，再通過三角函數的有界性去求解最值問題.

點評通過數形結合和幾何性質，將解三角形面積的最值問題，等價為圓上動點問題，進而得出結論.

點評此方法類似三角函數的有界性，但是思想與解法二有所不同，最終運算方法相同，解法2應用的正弦定理，而解法4是通過構造參數方程的方法求解，主要思想是換元.

二、變式訓練

點評此題的解題思想是將邊的關系式轉化為只含有角的關系式，利用三角函數的有界性即可.

點評幾何法是歸到動點問題，無論面積還是周長，都可以通過數形結合的方法構造出運動軌跡，從而進行求解.

三、解后反思

總之，解三角形最值問題的這四種策略，有相似之處，也有它們不同的地方.面對變化多端的題型，我們需要從不同的角度挖掘，理解題目的本質，考查的知識點是哪些，思考這個問題后再選擇合適的方法去解題.相對來說，學生可以根據自身對知識點的掌握程度合理地去選擇方法.

參考文獻：

[1]高磊.一題多變，玩轉解三角形最值問題[J].高中數理化，2020（17）：13-15.

[2]鐘國城.三角形中的最值問題[J].數理天地（高中版），2021（01）：3-6.

[責任編輯：李璟]

作者簡介：陳映森（1995.3-），男，江西省贛州人，碩士，從事高中數學教學研究.

劉延霞（1997.11-），女，江西省贛州人，碩士，從事高中數學教學研究.