追本溯源，走進(jìn)中考

文／季葉紅

近幾年的各地中考題，選題越來越貼近生活，也逐漸向教材回歸，很多題目是教材的例題或習(xí)題的變式與延伸。下面，老師從教材的一道例題出發(fā)，探索它的變形問題，總結(jié)解題規(guī)律，逐步走進(jìn)中考題。

【原題呈現(xiàn)】（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第136 頁例4）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2 個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1 個(gè)球。求兩次都摸到紅球的概率。

詳解見教材，這里不再多述。

原題延伸 上例中，如果第1 次摸出的球不放回，那么兩次都摸到紅球的概率是多少？

解：對(duì)“不放回”的情況，列出的表格為：

第二次摸球結(jié)果白紅2紅1第一次摸球____白（白，紅1）_____________紅1_____________紅2（紅1，白）___________（紅2，白）（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅1）___________

【點(diǎn)評(píng)】教材的原題和其延伸題，都是用表格列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而利用等可能條件下的概率（古典概型）計(jì)算公式求出事件發(fā)生的概率。用“樹狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果也是可以的。解決此類問題時(shí)，一定要看清楚“放回”和“不放回”兩種情況，區(qū)分列出表格的不同。

變式1 一只不透明的袋子中裝有紅、橙、黃、綠、藍(lán)五種顏色的球各一個(gè)，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1 個(gè)球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1 個(gè)球。求兩次摸到相同顏色球的概率。

解：將“紅、橙、黃、綠、藍(lán)”顏色的球分別編號(hào)1、2、3、4、5，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

1第二次摸球結(jié)果2 3 4 5第一次摸球_____________________________________________________________1_______________2_______________3_______________4_______________5（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）

由表格可知，共有25 種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“兩次摸到相同

【點(diǎn)評(píng)】變式1 中所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較大，用列表的方法分析較為清晰、便捷，用“樹狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果也可以，但不夠清晰。

變式2 一只不透明的袋子中裝有1 個(gè)白球和1 個(gè)紅球，兩個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出1 個(gè)球，記錄顏色后放回，再重復(fù)兩次。求三次都摸到紅球的概率。

解：用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

【點(diǎn)評(píng)】變式2 的試驗(yàn)分為三步，一般運(yùn)用“樹狀圖”列出所有等可能的結(jié)果，進(jìn)而利用等可能條件下的概率（古典概型）計(jì)算公式求事件發(fā)生的概率。

【小結(jié)】“樹狀圖”和“表格”可以用來解決等可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的而又易于分類的求等可能條件下的概率問題。當(dāng)試驗(yàn)分為兩步，并且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時(shí)（如教材原題及其延伸題），運(yùn)用這兩種方法求解都比較有效；當(dāng)試驗(yàn)分為兩步，但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí)（如變式1），運(yùn)用“表格”則顯得較為清晰、便捷；當(dāng)試驗(yàn)分為三步時(shí)（如變式2），則一般運(yùn)用“樹狀圖”列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，此時(shí)若用“表格”求解，就會(huì)得到一個(gè)三維的立體表格，而這在二維平面上表示出來是比較困難的。

【中考題1】（2021·江蘇蘇州）4 張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、-2、3，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1 張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的3 張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來。

（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為________；

（2）小敏設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝。小敏設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹狀圖或列表等方法說明理由）

（2）列表如下：

第二次差1-2 3第一次________________________0____________________1__________--1___2_______0 1_________-2___-3________2___3__________________________________________________________-3_-2_-5_____________________33____2____5______

【中考題2】（2021·江蘇泰州）江蘇省第20 屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物。在一次宣傳活動(dòng)中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2 張放在一個(gè)不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相同。小張從中隨機(jī)抽取2 張換取相應(yīng)的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1 張不放回，再抽取1 張；第二種是一次性抽取2張。

（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率________（填“相同”或“不同”）；

（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率。

解：（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率相同。

（2）把“泰寶”和“鳳娃”兩種吉祥物分別記為A、B，畫樹狀圖如下：