細(xì)心閱讀 深入理解 綜合運(yùn)用
——點(diǎn)擊2021年中考概率新題型

文／施曉丹

概率是研究不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，也是中考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。近年來，各地中考試題中出現(xiàn)了一些背景豐富、題型新穎的概率題，對(duì)同學(xué)們的閱讀理解、綜合分析、實(shí)際應(yīng)用等能力提出了新的要求。下面，我們就一起走進(jìn)2021年中考，看一看概率新題型。

例1 （2021·湖北十堰）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100 周年，某校舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)。賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)，按得分劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖。

_____________等級(jí)____A B________________C____D成績(jī)（x）______90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80________x＜70人數(shù)__15___a____18___7____

根據(jù)圖表信息，回答下列問題：

（1）表中a=________；扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C等級(jí)所占百分比是________；D等級(jí)對(duì)應(yīng)的扇形圓心角為________度；若全校共有1800名學(xué)生參加了此次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有________人。

（2）若95 分以上的學(xué)生有4 人，其中甲、乙兩人來自同一班級(jí)，學(xué)校將從這4 人中隨機(jī)選出兩人參加市級(jí)比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求甲、乙兩人至少有1 人被選中的概率。

【分析】（1）先由A等級(jí)的圓心角度數(shù)和人數(shù)，求出樣本總數(shù)，作差即可得到a的值，再根據(jù)C和D占總?cè)藬?shù)的比例，求出百分比或圓心角度數(shù)，利用樣本估計(jì)總體的方法求出全校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)。

（2）利用“樹狀圖”或“表格”，列出所有等可能的結(jié)果，根據(jù)概率公式即可求解。

（2）記這4 人分別為甲、乙、丙、丁，用樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果：

共有12 種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人至少有1人被選中的結(jié)果有10種，

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，我們要認(rèn)真閱讀、觀察、分析扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，從中準(zhǔn)確獲取相關(guān)信息。計(jì)算等可能條件下事件發(fā)生的概率時(shí)，可以通過列表或畫樹狀圖法，不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。

例2 （2021·四川成都）我們對(duì)一個(gè)三角形的頂點(diǎn)和邊都賦給一個(gè)特征值，并定義：從任意頂點(diǎn)出發(fā)，沿順時(shí)針或逆時(shí)針方向依次將頂點(diǎn)和邊的特征值相乘，再把三個(gè)乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和或逆序旋轉(zhuǎn)和。如圖1，ar+cq+bp是該三角形的順序旋轉(zhuǎn)和，ap+bq+cr是該三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和。已知某三角形的特征值如圖2，若從1，2，3 中任取一個(gè)數(shù)作為x，從1，2，3，4 中任取一個(gè)數(shù)作為y，則對(duì)任意正整數(shù)z，此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差都小于4的概率是________。

圖1

圖2

【分析】首先，同學(xué)們要通過閱讀，理解什么是“順序旋轉(zhuǎn)和”與“逆序旋轉(zhuǎn)和”，然后根據(jù)定義，用代數(shù)式表示“三角形的順序旋轉(zhuǎn)和與逆序旋轉(zhuǎn)和的差”，最后畫出樹狀圖或列出表格求解。

解：根據(jù)題意，得

此三角形的順序旋轉(zhuǎn)和為4x+2z+3y，

此三角形的逆序旋轉(zhuǎn)和為3x+2y+4z，

∴（4x+2z+3y）-（3x+2y+4z）=x+y-2z＜4，

∴x+y＜4+2z。

用表格列出所有等可能的結(jié)果：

x+y___x y 1_________________2_________________3 1 2 3_____4_____2 3 4_____5_____3 4 5_____6_____4 5___6__7__

【點(diǎn)評(píng)】本題以一個(gè)新定義為問題背景，設(shè)計(jì)了一道求概率的題目，在考查用列表法或畫樹狀圖法求概率的同時(shí)，考查了同學(xué)們的閱讀理解能力和推理能力。運(yùn)用“表格”或“樹狀圖”能不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果。對(duì)于兩步能完成的事件，且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時(shí)，運(yùn)用這兩種方法求解都比較有效；對(duì)于兩步能完成的事件，且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí)，運(yùn)用“表格”則顯得較為清晰、便捷；對(duì)于三步能完成的事件，則一般運(yùn)用“樹狀圖”較為方便。

例3 （2021·福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）。一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利。面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強(qiáng)的經(jīng)典案例。

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o疑？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率。

【分析】（1）通過理解題意分析得出結(jié)論，用列舉法求出獲勝的概率；（2）通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對(duì)陣，求出概率。

解：（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝。

此時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣為：（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），共4種。

其 中 田 忌 獲 勝 的 對(duì) 陣 有（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），共2種，

（2）不是。

齊王的出馬順序?yàn)锳1，B1，C1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（C2A1，A2B1，B2C1）；

齊王的出馬順序?yàn)锳1，C1，B1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（C2A1，B2C1，A2B1）；

齊王的出馬順序?yàn)锽1，A1，C1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（A2B1，C2A1，B2C1）；

齊王的出馬順序?yàn)锽1，C1，A1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（A2B1，B2C1，C2A1）；

齊王的出馬順序?yàn)镃1，A1，B1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（B2C1，C2A1，A2B1）；

齊王的出馬順序?yàn)镃1，B1，A1時(shí)，田忌有6種對(duì)陣方式，其中獲勝的對(duì)陣是（B2C1，A2B1，C2A1）。

綜上所述，田忌獲勝的所有對(duì)陣是（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（A2B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C1，C2A1），（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）。

【點(diǎn)評(píng)】本題以“田忌賽馬”的故事為問題背景，考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了統(tǒng)計(jì)與概率思想，對(duì)同學(xué)們的推理能力、應(yīng)用意識(shí)的要求較高。列舉出所有對(duì)陣情況，是解題的關(guān)鍵。