細心閱讀 深入理解 綜合運用
——點擊2021年中考概率新題型

文／施曉丹

概率是研究不確定現象的數學模型，也是中考考查的熱點內容之一。近年來，各地中考試題中出現了一些背景豐富、題型新穎的概率題，對同學們的閱讀理解、綜合分析、實際應用等能力提出了新的要求。下面，我們就一起走進2021年中考，看一看概率新題型。

例1 （2021·湖北十堰）為慶祝中國共產黨成立100 周年，某校舉行黨史知識競賽活動。賽后隨機抽取了部分學生的成績，按得分劃分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下不完整的統計表和統計圖。

_____________等級____A B________________C____D成績（x）______90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80________x＜70人數__15___a____18___7____

根據圖表信息，回答下列問題：

（1）表中a=________；扇形統計圖中，C等級所占百分比是________；D等級對應的扇形圓心角為________度；若全校共有1800名學生參加了此次知識競賽活動，請估計成績為A等級的學生共有________人。

（2）若95 分以上的學生有4 人，其中甲、乙兩人來自同一班級，學校將從這4 人中隨機選出兩人參加市級比賽，請用列表或畫樹狀圖法求甲、乙兩人至少有1 人被選中的概率。

【分析】（1）先由A等級的圓心角度數和人數，求出樣本總數，作差即可得到a的值，再根據C和D占總人數的比例，求出百分比或圓心角度數，利用樣本估計總體的方法求出全校成績為A等級的人數。

（2）利用“樹狀圖”或“表格”，列出所有等可能的結果，根據概率公式即可求解。

（2）記這4 人分別為甲、乙、丙、丁，用樹狀圖列出所有等可能的結果：

共有12 種等可能的結果，其中甲、乙兩人至少有1人被選中的結果有10種，

【點評】本題綜合考查了統計與概率的相關知識，我們要認真閱讀、觀察、分析扇形統計圖和統計表，從中準確獲取相關信息。計算等可能條件下事件發生的概率時，可以通過列表或畫樹狀圖法，不重復、不遺漏地列出所有等可能出現的結果。

例2 （2021·四川成都）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉和或逆序旋轉和。如圖1，ar+cq+bp是該三角形的順序旋轉和，ap+bq+cr是該三角形的逆序旋轉和。已知某三角形的特征值如圖2，若從1，2，3 中任取一個數作為x，從1，2，3，4 中任取一個數作為y，則對任意正整數z，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的概率是________。

圖1

圖2

【分析】首先，同學們要通過閱讀，理解什么是“順序旋轉和”與“逆序旋轉和”，然后根據定義，用代數式表示“三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差”，最后畫出樹狀圖或列出表格求解。

解：根據題意，得

此三角形的順序旋轉和為4x+2z+3y，

此三角形的逆序旋轉和為3x+2y+4z，

∴（4x+2z+3y）-（3x+2y+4z）=x+y-2z＜4，

∴x+y＜4+2z。

用表格列出所有等可能的結果：

x+y___x y 1_________________2_________________3 1 2 3_____4_____2 3 4_____5_____3 4 5_____6_____4 5___6__7__

【點評】本題以一個新定義為問題背景，設計了一道求概率的題目，在考查用列表法或畫樹狀圖法求概率的同時，考查了同學們的閱讀理解能力和推理能力。運用“表格”或“樹狀圖”能不重復、不遺漏地列出所有等可能出現的結果。對于兩步能完成的事件，且所有等可能出現的結果數較少時，運用這兩種方法求解都比較有效；對于兩步能完成的事件，且所有等可能出現的結果數較大時，運用“表格”則顯得較為清晰、便捷；對于三步能完成的事件，則一般運用“樹狀圖”較為方便。

例3 （2021·福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）。一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利。面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創造了以弱勝強的經典案例。

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率。

【分析】（1）通過理解題意分析得出結論，用列舉法求出獲勝的概率；（2）通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對陣，求出概率。

解：（1）田忌首局應出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝。

此時，比賽的所有可能對陣為：（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），共4種。

其 中 田 忌 獲 勝 的 對 陣 有（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），共2種，

（2）不是。

齊王的出馬順序為A1，B1，C1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（C2A1，A2B1，B2C1）；

齊王的出馬順序為A1，C1，B1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（C2A1，B2C1，A2B1）；

齊王的出馬順序為B1，A1，C1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（A2B1，C2A1，B2C1）；

齊王的出馬順序為B1，C1，A1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（A2B1，B2C1，C2A1）；

齊王的出馬順序為C1，A1，B1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（B2C1，C2A1，A2B1）；

齊王的出馬順序為C1，B1，A1時，田忌有6種對陣方式，其中獲勝的對陣是（B2C1，A2B1，C2A1）。

綜上所述，田忌獲勝的所有對陣是（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（A2B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C1，C2A1），（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）。

【點評】本題以“田忌賽馬”的故事為問題背景，考查簡單隨機事件的概率等基礎知識，也考查了統計與概率思想，對同學們的推理能力、應用意識的要求較高。列舉出所有對陣情況，是解題的關鍵。