利用最小二乘法擬合水位流量關(guān)系曲線探討

王 偉，蔡文生，鄧 科

（江蘇省水文水資源勘測局徐州分局,江蘇 徐州 221000）

1 引言

水位流量關(guān)系曲線是用來描述測站基本斷面的水位與通過該斷面的流量兩者之間關(guān)系的曲線。對于給定的水位和流量數(shù)據(jù),由于受變動回水與洪水漲落等因素的影響,因此數(shù)據(jù)本身并不一定可靠,個別數(shù)據(jù)的誤差可能比較大,從一堆看上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出一定的規(guī)律,即設(shè)法構(gòu)造一條曲線,能夠比較真實地反映水位與流量之間的關(guān)系,常用的方法是構(gòu)造兩者之間的關(guān)系式[1],通過相關(guān)關(guān)系擬合曲線,并求出相關(guān)方程式。

當(dāng)前,多數(shù)地區(qū)多采用人工定線,通過實測的流量資料,反復(fù)修正后編制水位流量關(guān)系結(jié)點進(jìn)行推求流量。傳統(tǒng)的人工定線工序繁多,需反復(fù)計算,同時受人的經(jīng)驗影響較大,不同的人定出不同的關(guān)系線,有較大的主觀性,定線任意性大[2]。利用MATLAB擬合語句,不僅能實現(xiàn)對水位流量曲線的擬合,而且曲線完全按照設(shè)定的數(shù)學(xué)模型擬合,優(yōu)選好參數(shù)后,通過程序運算得到最終的曲線及曲線方程,避免了人的主觀性。隨著當(dāng)前水文信息化水平的不斷提高和計算機技術(shù)的普及,利用最小二乘法對水位流量曲線擬合將是對水文信息進(jìn)行處理的重要途經(jīng),對開展流量自動測報和水文站無人值守工作具有重要的應(yīng)用價值。

2 最小二乘法擬合原理

最小二乘法是通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配,只要求擬合的曲線合理的反應(yīng)數(shù)據(jù)的基本趨勢,而并不要求曲線一定經(jīng)過每個數(shù)據(jù)點,被視為從一組測量值中求出一組未知量的最可信賴的方法之一[3],利用最小二乘法可以簡便的求得未知數(shù)據(jù),并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

從數(shù)學(xué)上講,最小二乘法就是尋找與給定點（xn,yn）（n=1,2,…,m）的距離平方和最小的曲線g（x）。g（x）稱為擬合函數(shù)或者最小二乘解,求解擬合函數(shù)g（x）的方法就是曲線擬合的最小二乘法。本文將其應(yīng)用于水位流量的關(guān)系曲線擬合,具體原理如下：

設(shè)某函數(shù)的線性組合為：其中f1（x）,f2（x）,f3（x）…fn（x）為已知函數(shù),c1,c2,c3…cn為待定系數(shù)。

其中

且c=［c1, c2…cn］T

該方程的最小二乘解為c=A/y,將c值代入到方程（1）,即可得到相應(yīng)多項式擬合方程。

3 實例分析

現(xiàn)以某實用堰閘站2018 年、2019 年、2020 年25 組實測水位流量數(shù)據(jù)為例,應(yīng)用本文提出的最小二乘法原理進(jìn)行曲線擬合,并對其進(jìn)行“三項檢驗”。根據(jù)《水文資料整編規(guī)范（SL 247-2012）》中堰閘站推流規(guī)定,堰閘站自由孔流流量計算公式為：

式中：Q為流量,m3/s；Mi為流量系數(shù)；B為閘門總寬或開啟凈寬,m；e為閘門開啟高度,m；hu為上游水頭,即上游水位減去閘底高程,m[4]。

堰閘站自由孔流流量相關(guān)關(guān)系為e/hu-Mi,通過實測流量,計算流量系數(shù)Mi,確定e/hu與Mi關(guān)系函數(shù)模型,并求出相關(guān)函數(shù)方程,率定出擬合曲線圖,據(jù)此推流。將整理好的25 組相關(guān)關(guān)系e/hu-Mi數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB,得到散點圖見圖1。

圖1 e/hu-Mi數(shù)據(jù)散點圖

常見的幾種擬合曲線函數(shù)模型有冪函數(shù)y=axb+c、指數(shù)函數(shù)y=a﹡ebx+c、y=a﹡ebx+c﹡edx、雙曲線函數(shù)及對數(shù)函數(shù)y=alnx+c,其中a、b、c、d為常數(shù),x、y為變量。觀察圖1,根據(jù)e/hu-Mi點分布規(guī)律,與上述幾種數(shù)學(xué)模型的曲線圖比較,可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)模型與相應(yīng)關(guān)系點的走勢比較吻合。比較y=a×ebx+c與y=a×ebx+c×edx兩種指數(shù)函數(shù)模型,y=a×ebx+c使用擬合出的曲線,在閘門開啟高度e不變的前提下,上游水位越低,e/hu值越大,擬合出的曲線與實際測量值的變化趨勢一致；反之當(dāng)上游水位較高時,擬合出的曲線基本呈現(xiàn)平行狀態(tài),與實測值誤差較大；相比較y=a×ebx+c×edx在上游水位較高時能更好地反映e/hu-Mi點的趨勢。因此,選擇y=a×ebx+c×edx函數(shù)模型對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合,得到擬合曲線圖。

觀察擬合曲線圖,找出并剔除偏離較大的e/hu-Mi點,進(jìn)一步優(yōu)化擬合曲線。運行相關(guān)程序,求解函數(shù)模型的待定系數(shù),得a=2.385,b=-40.51,c=2.974,d=-0.1456,統(tǒng)計系數(shù)SSE=0.02699,RMSE= 0.03585,R-square= 0.9639。將a、b、c、d的值代入函數(shù)模型,得到關(guān)于e/hu-Mi的擬合方程（4）及其曲線圖,見圖2。

通過計算得到對象要素的缺省度為51%,環(huán)境要素的缺省度為73%,時間要素的缺省度為75%,由此可看出,環(huán)境要素和時間要素的缺省程度較大.但這里對對象要素的統(tǒng)計沒有區(qū)分主體與客體,不能準(zhǔn)確表示對象要素的缺省度,所以又對主體與客體的數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計,如表6所示.

圖2 e/hu-Mi關(guān)系曲線（由孔）

SSE（和方差）越接近于0,說明模型選擇和擬合更好,數(shù)據(jù)預(yù)測也越成功；RMSE（均方根）也叫回歸系統(tǒng)的擬合標(biāo)準(zhǔn)差,表示預(yù)測數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點誤差的平方和的均值的平方差；R-square（確定系數(shù)）的正常取值范圍為[0,1],越接近1,表明方程的變量對y的解釋能力越強,這個模型對數(shù)據(jù)擬合的也較好。

將方程（4）帶入方程（3）得到流量擬合方程

4 成果檢驗

4.1 三項檢驗

穩(wěn)定的水位流量關(guān)系曲線及經(jīng)單值化處理的單一線,均應(yīng)計算關(guān)系點對關(guān)系線的標(biāo)準(zhǔn)差和隨機不確定度,且測點在10個以上者,還需要對其進(jìn)行符號檢驗、適線檢驗和偏離檢驗,以判斷能否用于流量推算[4]。在此基礎(chǔ)上,將實測的e/hu值代入擬合方程,計算相應(yīng)地流量系數(shù)Mi,并對計算結(jié)果檢驗,是否符合相關(guān)規(guī)范要求。擬合曲線流量檢驗計算表見表2,檢驗結(jié)果見表3。

表2 某閘站水位流量擬合曲線檢驗計算表

（1）符號檢驗

偏離曲線正號個數(shù)K= 14（負(fù)號個數(shù) 11）,n=25。

統(tǒng)計量：

取顯著性水平α=0.25,查流量整編規(guī)范中表2.4.1-1得1-α/2= 1.15與 比較, ＜1-α/2 ,則接受假設(shè),定線合理。

（2）適線檢驗：

統(tǒng)計符號變換次數(shù)K=14,因K＞0.5×（25-1）=12,此線免做此檢驗。接受假設(shè),定線合理。

（3）偏離數(shù)值檢驗：

取顯著性水平α= 0.20,查流量整編規(guī)范中表2.4.1-2得t1-a/2= 1.31與|t|比較|t|

表2 月潭水庫下泄流量控制方案二 單位：m3/s

（4）定線精度計算

4.2 定線比較

為了進(jìn)一步對曲線擬合成果進(jìn)行分析,將擬合成果與人工定線成果進(jìn)行對比分析,以人工定線成果為標(biāo)準(zhǔn)值,計算相對誤差,統(tǒng)計結(jié)果見表2。從表2 中可以看出,除在高水位區(qū)域相對誤差加大外,人工定線與利用MATLAB函數(shù)擬合成果誤差都較小。分析其在高水位區(qū)域誤差較大的原因是在高水位區(qū)域,實測流量數(shù)據(jù)較少,人工與函數(shù)都不能對曲線走勢進(jìn)行科學(xué)的控制,因此,人工定線與計算機定線都有較大任意性。從圖2 中也可以看出,在低水位實測點較多區(qū)域,人工定線與函數(shù)擬合曲線幾乎重合,且與實測點也大部分重合,隨著水位增高,加之實測點變少,人工定線部分近乎與水平軸平行,其相對誤差要比擬合曲線誤差偏大。

5 結(jié)論與建議

（1）通過對擬合出的曲線進(jìn)行“三項檢驗”,結(jié)果表明,使用最小二乘法擬合出的水位流量關(guān)系曲線,符合三項檢驗及標(biāo)準(zhǔn)差的定線標(biāo)準(zhǔn),且精度完全符合相關(guān)規(guī)范要求,可以用于流量預(yù)報以及水文資料整編。

（2）上述檢驗與實例應(yīng)用結(jié)果顯示,確定好相關(guān)系數(shù)后,應(yīng)用最小二乘法可以很容易實現(xiàn)對水位流量關(guān)系曲線的擬合,而且操作人能根據(jù)擬合成的曲線與實測點位置的偏離程度,實時剔除偏差較大的點,避免了人工定線時反復(fù)計算的麻煩。曲線完全按照給定的數(shù)學(xué)模型擬合,避免了人的主觀性,提高了定線精度與效率。

（3）水位流量關(guān)系線或系數(shù)線分析定線工作,是測報方式改革的最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié),直接影響自動測報工作資料精度。因此,選擇合理高效的率定水位流量曲線的方法,對開展流量自動測報和水文站無人值守工作具有重要的實用價值,同時,也對水文事業(yè)走向現(xiàn)代化,提高社會對水文工作認(rèn)可度具有重要意義。

（4）此次擬合曲線使用的數(shù)據(jù)偏少,尤其是高水位流量數(shù)據(jù),不同水位測流次數(shù)、相同水位測流次數(shù)都比較少,可能會造成擬合出的曲線方程與高水位實際流量有較大偏差。因此,在以后的工作過程中,必須加強與水利部門的溝通與協(xié)作,抓住機遇,搶測高水位流量,完善水位流量基礎(chǔ)數(shù)據(jù),增加擬合方程的精準(zhǔn)度。